著名机构初中数学培优讲义中考复习.解直角三角形.第11讲(通用讲).教师版

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1、 内容 基本要求 略高要求 较高要求 勾股定理及逆定勾股定理及逆定 理理 已知直角三角形两边长，求第三 条边 会用勾股定理解决简单问题；会 用勾股定理的逆定理判定三角形 是否为直角三角形 会运用勾股定理解 决有关的实际问 题。 解直角三角形解直角三角形 知道解直角三角形的含义 会解直角三角形；能根据问题的 需要添加辅助线构造直角三角 形；会解由两个特殊直角三角形 构成的组合图形的问题 能综合运用直角三 角形的性质解决有 关问题 锐角三角函数锐角三角函数 了解锐角三角函数（正弦、余弦、 正切、余切），知道特殊角的三 角函数值 由某个角的一个三角函数值，会 求这个角其余两个三角函数值； 会求含有特

2、殊角的三角函数值的 计算 能用三角函数解决 与直角三角形有关 的简单问题 模块一、勾股定理 1勾股定理的内容：如果直角三角形的两直角边分别是 a、b，斜边为 c，那么 a2b2c2即直角三 角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。 注：勾最短的边、股较长的直角边、 弦斜边。 C A B 图2 c b a 2勾股定理的证明： （1）方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形： 知识点睛 中考要求 解直角三角形 2 2 222 1 4 2 . ABCD Sabcab abc 正方形 D CB A （2）方法二:将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形： 2 2 222 1 4 2 . Sc

3、abab abc 正方形EFGH G F E H （3）方法三：“总统”法.如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形： 2 ()()11 2 222 ABCD ab ab Sabc 梯形 222. abc c b a c b a E D C BA 3勾股定理的逆定理： 如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。即 222 ,ABCACBCABABC在中 如果那么是直角三角形。 4勾股数： 满足 a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数常用勾股数：3、4、 5； 5、12、13；7、24、25；8、15、17。 模块二、解直角三角形 一、

4、解直角三角形的概念 根据直角三角形中已知的量（边、角）来求解未知的量（边、角）的过程就是解直角三角形 二、直角三角形的边角关系 如图，直角三角形的边角关系可以从以下几个方面加以归纳： c b a CB A （1）三边之间的关系： 222 abc (勾股定理) （2）锐角之间的关系：90AB （3）边角之间的关系：sincos,cossin,tan aba ABABA ccb 三、 解直角三角形的四种基本类型 （1） 已知斜边和一直角边(如斜边c， 直角边a)， 由s i n a A c 求出 A， 则90BA， 22 bca ； （2）已知斜边和一锐角(如斜边c，锐角A)，求出90BA，sin

5、acA，cosbcA； （3）已知一直角边和一锐角(如a和锐角A)，求出90BA，tanbaB， sin a c A ； （4）已知两直角边(如a和b)，求出 22 cab ，由tan a A b ，得90BA 具体解题时要善于选用公式及其变式，如sin a A c 可写成sinacA， sin a c A 等 四、解直角三角形的方法 解直角三角形的方法可概括为：“有斜(斜边)用弦(正弦，余弦)，无斜用切(正切，余切)，宁乘毋除，取 原避中”这几句话的意思是：当已知或求解中有斜边时，就用正弦或余弦；无斜边时，就用正切或余切； 当所求的元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；既可由已知数

6、据又可用中间数据求得时， 则用原始数据，尽量避免用中间数据 五、解直角三角形的技巧及注意点 在Rt ABC中，90AB ，故sin cos(90)cosAAB ，cossinAB利用这些关系式，可在 解题时进行等量代换，以方便解题 六、如何解直角三角形的非基本类型的题型 对解直角三角形的非基本类型的题型，通常是已知一边长及一锐角三角函数值，可通过解方程(组)来 转化为四种基本类型求解； （1）如果有些问题一时难以确定解答方式，可以依据题意画图帮助分析； （2）对有些比较复杂的问题，往往要通过作辅助线构造直角三角形，作辅助线的一般思路是：作垂 线构成直角三角形；利用图形本身的性质，如等腰三角形顶

7、角平分线垂直于底边等 七、直角三角形中其他重要概念 （1）仰角与俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫 做俯角如图 （2）坡角与坡度：坡面的垂直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或叫做坡比） ，用字母表示为 h i l ， 坡面与水平面的夹角记作，叫做坡角，则tan h i l 坡度越大，坡面就越陡如图 （3）方向角（或方位角） ：方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向 旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达为北（南）偏东（西）度如图 图(3) 北 i=h:l 图(2) l h 图(1) 俯角 仰角 视线 视线 水平线

8、铅 垂 线 八、解直角三角形应用题的解题步骤及应注意的问题： （1）分析题意，根据已知条件画出它的平面或截面示意图，分清仰角、俯角、坡角、坡度、水平距 离、垂直距离等概念的意义； （2）找出要求解的直角三角形有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线，把它们分 割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）； （3）根据已知条件，选择合适的边角关系式解直角三角形； （4）按照题目中已知数据的精确度进行近似计算，检验是否符合实际，并按题目要求的精确度取近 似值，注明单位 模块三、三角函数 一、 锐角三角函数的定义 如图所示，在RtABC中，a、b、c 分别为A、B、C的对边 c b a C B A

9、 （1）正弦：Rt ABC中，锐角A的对边与斜边的比叫做A的正弦，记作sin A，即sin a A c （2）余弦：Rt ABC中，锐角A的邻边与斜边的比叫做A的余弦，记作cos A，即cos b A c （3）正切：Rt ABC中，锐角A的对边与邻边的比叫做A的正切，记作tan A，即tan a A b 注意：注意： 正弦、余弦、正切都是在直角三角形中给出的，要避免应用时对任意三角形随便套用定义 sin A、cos A、tan A分别是正弦、余弦、正切的数学表达符号，是一个整体，不能理解为sin与A、 cos与A、tan与A的乘积 在直角三角形中，正弦、余弦、正切分别是某个锐角的对边与斜边、

10、邻边与斜边、对边与邻边的 比值，当这个锐角确定后，这些比值都是固定值 二、 特殊角三角函数 三、锐角三角函数的取值范围 在Rt ABC中，90C，000abcacbc，又sin a A c ，cos b A c ，tan a A b ，所 以 0sin10cos1tan0AAA， 四、三角函数关系 1同角三角函数关系： 22 sincos1AA， sin tan cos A A A 2互余角三角函数关系： (1) 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值：sincos 90AA； (2) 任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值：cossin 90AA； (3) 任意锐角的正切值等于它的余角的余切值：

11、tancot 90AA 3锐角三角函数值的变化规律： (1)A、B 是锐角，若 AB，则sin AsinB；若 AB，则sin Asin B (2) A、B 是锐角，若 AB，则cos Acos B；若 AB，则cos AcosB (3) A、B 是锐角，若 AB，则tantanAB；若 AB，则tantanAB 板块一、勾股定理 三角函数 0 30 45 60 90 sin A 0 1 2 2 2 3 2 1 cos A 1 3 2 2 2 1 2 0 tan A 0 3 3 1 3 例题精讲 【例1】 如图，一个长为10米的梯子，斜靠在墙上，梯子的顶端距离地面的垂直距离为8米，如果梯子的

12、顶端下滑1米，那么，梯子底端的滑动距离 米（填“大于” 、 “等于” 、 “小于” ） 6 8 【解析】由勾股定理可知：大于 【答案】大于 【例2】 已知，如图所示，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，如果8cmAB ， 10cmBC ，求EC的长 【解析】由题意得，10cmAFAD. 在ABF中，应用勾股定理得， 6 c mBF . 所以1064FCBCBF. 在CEF中，应用勾股定理，设cmECx，得 2 22 84xx. 解得3x 即3cmEC . 【答案】3cm 【例3】 如图，M是Rt ABC斜边AB的中点，P，Q分别在AC，BC上，PMMQ，判断PQ，AP与 BQ的数量

13、关系并证明你的结论 Q P M C B A 【解析】 222 PQAPBQ 延长QM到N，使MNQM，连结AN、PN 显然PMQPMN，AMNBMQ PNPQ，ANBQ，MBQMAN 90CABABC 90PANPAMMAN APN为直角三角形 222 PQAPBQ N A B C M P Q 【答案】见解析 【例4】 如图， 已知ABC和ECD都是等腰直角三角形，90ACBDCED，为AD边上一点， 求证： 222 ADAEDE E D C B A 【解析】因为ECDC，AC BCACEBCD， ，所以可知ACEBCD,所以90EAD，得证 【答案】见解析 【例5】 在Rt ABC中，90C

14、，若54abc，则 ABC S . 【解析】 在Rt ABC中,由勾股定理得， 222 abc. 又有 2 22 2ababab, 所以 2 2 2abcab 所以 19 24 ABC Sab . 【答案】 9 4 ABC S 板块二、解直角三角形 【例6】 如图是教学用直角三角板，边 3 3090tan 3 ACcmCBAC，则边BC的长为（ ） A30 3cm B20 3cm C10 3cm D5 3cm C B A 0 0 03 【解析】解：在直角三角形 ABC 中，根据三角函数定义可知：tan BC BAC AC 又 3 30tan 3 ACcmBAC，则 3 tan3010 3 3

15、BCACBACcm 【答案】C 【例7】 如图所示，O的直径4AB ，点P是AB延长线上的一点，过P点作O的切线，切点为C， 连接AC （1）若30CPA，那么PC的长为 （2）若点P在AB的延长线上运动，CPA的平分线交AC于点M，CMP的大小是否会发生 变化 O P M C B A 【解析】解：（1）连接OC 4AB 2OC PC为O的切线，30CPO 2 2 3 tan303 3 OC PC （2）CMP的大小没有变化 11 22 1 () 2 1 9045 2 CMPAMPA COPCPO COPCPO CMP=A+MPA A B C M P O 【答案】见解析 【例8】 如图，某航天

16、飞机在地球表面点P的正上方A处，从A处观测到地球上的最远点Q，若 QAP ，地球半径为R，则航天飞机距地球表面的最近距离AP，以及P Q、 两点间的地面距离 分别是（ ） A sin180 RR ， B (90) sin180 RaR R ， C (90) sin180 RaR R ， D (90) cos180 RaR R ， A Q P OO P Q A 【解析】解：由题意，连接OQ，则OQ垂直于AQ，如图， 则在Rt OAQ 中有sin R RAP ，即 sin R APR 在Rt OAQ 中，则90O 由弦长公式得 (90) 180 R PQ 【答案】B 【例9】 在平面直角坐标系中，

17、设点P到原点O的距离为p，OP与x轴正方向的夹角为，则用 p， 表示点P的极坐标，显然，点P的极坐标与它的坐标存在一一对应关系例如：点P的坐标为（1， 1），则其极坐标为 245 ， 若点Q的极坐标为 460， ，则点Q的坐标为（ ） A(22 3)， B(22 3)， C(2 32)， D(2 2)， 【解析】根据特殊角的三角函数值求出 Q 点的坐标 Q y x A O 解：作QAx轴于点A，则460OQQOA， 故cos602sin602 3OAOQAQOQ， 点Q的坐标为(22 3)， 【答案】A 【例10】 如图， 从热气球C上测定建筑物AB、底部的俯角分别为30和60， 如果这时气球

18、的高度CD为 150 米，且点ADB、 、在同一直线上，建筑物AB、间的距离为（ ）米 A150 3 B180 3 C200 3 D220 3 60 30 FE D C B A 【解析】解：由题意得3060AB ， 150 3 tan CD AD A （米），50 3 tan CD BD B （米） 则150 350 3200 3ABADBD（米） 【答案】C 【例11】 周末， 身高都为 1 6 米的小芳、 小丽来到溪江公园， 准备用她们所学的知识测算南塔的高度 如 图，小芳站在 A 处测得她看塔顶的仰角为45，小丽站在B处（AB、与塔的轴心共线）测得她 看塔顶的仰角为30她们又测出AB、两

19、点的距离为 30 米假设她们的眼睛离头顶都为10cm， 则可计算出塔高约为（结果精确到 001，参考数据：21. 41431. 732，）（ ） A3621 米 B3771 米 C4098 米 D4248 米 【解析】解：已知小芳站在 A 处测得她看塔顶的仰角为45，小丽站在B处（A、B 与塔的轴心共线） 测得她看塔顶的仰角为30， A、 B 两点的距离为 30 米 假设她们的眼睛离头顶都为 10cm， 所以设塔高为x米则得： 1.60.13 tan30 1.60.1303 x x 解得：42. 48x 【答案】D 【例12】 如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1:3，堤高5BCcm，则坡

20、面AB的长是（ ） m A10 B10 3 C15 D5 3 C B A 【解析】解：河堤横断面迎水坡AB的坡比是1:3，即 3 3 BC AC 30BAC 22510ABBC 【答案】A 板块三、锐角三角函数 【例13】 如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处， 若将ACB绕着点A逆时针旋转得到 AC B， 则 tanB的值为（ ） A 1 2 B 1 3 C 1 4 D 2 4 C B C BA D AB C B C 【解析】过点C作CDAB于D,由题意得：BB 在RtCDB中， 1 tan 3 CD B BD 即 1 tan 3 B 【答案】B 【例14】 如果ABC中，sin A=

21、cosB= 2 2 ，则下列最确切的结论是（ ） AABC是直角三角形 BABC是等腰三角形 CABC是等腰直角三角形 DABC是锐角三角形 【解析】由特殊三角函数值易知：45AB 【答案】C 【例15】 如图，已知：4590A，则下列各式成立的是（ ） AsincosAA Bsin cosAA CsintanAA DsincosAA C B A 【解析】解法一：利用锐角三角函数的性质 解法二：代入特殊值法 【答案】B 【例16】 如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO长为半径 画弧，两弧交于点B，画射线OB，则cosAOB的值等于_ M B AO 【解析】

22、根据圆的性质可知：OAB是等边三角形 ，即60OAB，所以 1 cos 2 AOB 【答案】 1 2 【例17】 如图，点(0,4),(0,0), (5,0)EOC在A上，BE是A上的一条弦，则tanOBE= 【解析】根据圆的性质OBEECB ，所以tantan OE OBEECB OC 又已知4,5OEOC，即tantan OE OBEECB OC 又4,5OEOC，所以 4 tan 5 OBE E y x OC B A 【答案】 4 5 【例18】 （1）计算： 0 1 1 ( )8122sin60tan60 2 （2）计算： 0 84sin45(3)4 【解析】 （1）原式 3 22 2

23、123 2 2 2 （2）原式 2 2 2414 2 5 【答案】见解析 【例19】 计算： 20113 15 ( 1)( )(cos68)3 38sin60 2 【解析】原式=1813 =83 【答案】83 【例20】 已知是锐角，且 3 sin(15 ) 2 计算 01 1 84cos(3.14)tan( ) 3 的值 【解析】由 3 sin(15 ) 2 得45，原式 2 2 241 133 2 【答案】3 板块四、三角函数与几何综合 【例21】 如图，直径为 10 的A经过点(0,5)C和点(0,0)O，B是y轴右侧A优弧上一点，则OBC的 余弦值为( ) A 1 2 B 3 4 C

24、3 2 D 4 5 y x O C B A 【解析】由题意很容易推断出：AC=OC=OA=5， 所以60CAO由圆的性质可知：2 OBCCAO ， 即30OBC 【答案】C 【例22】 如图，在Rt ABC 中， 90 ,30 ,ABCACB 将 ABC 绕点A按逆时针方向旋转15后得到 1111 ,ABC BC 交AC于点D，如果 2 2AD ，则 ABC 的周长等于（ ） 2 1 D C1 B1 C B A 【解析】在RtABC中，90 ,30 ,ABCACB 所以60BAC 因为115 ，所以2145BAC 又在 1 RtAB D中，2 2AD ，所以 1 2ABAB，所以2 3,4BC

25、AC 即ABC的周长：62 3ABBCAC 【答案】62 3 【例23】 如图，ABC中， 23 cos,sin 25 BC，5AC ，则ABC的面积是（ ） A BC A 21 2 B12 C14 D.21 【解析】过点A作ADBC于D.由题意得：45B， 所以ADBD 又在ADC中， 3 sin 5 AD C AC ，5AC ，所以4,3CDADBD 所以ABC的面积： 11121 ()73 2222 BC ADBDCDAD CB A D 【答案】A 【例24】 如图，在平行四边形ABCD中，过点 A 分别作 AEBC 于点 E，AFCD 于点 F （1）求证：BAE=DAF； （2）若

26、AE=4，AF= 24 5 ， 3 sin 5 BAE，求 CF 的长 【解析】证明： （1）四边形 ABCD 是平行四边形， B=D. 又AEBC，AFCD， AEB=AFD. BAE=DAF. （2）在 RtABE 中，sinBAE= 5 3 ，AE=4,可求 AB=5 又BAE=DAF， sinDAF=sinBAE= 5 3 . 在 RtADF 中，AF= 5 24 , sinDAF = 5 3 ,可求 DF= 5 18 CD=AB=5. CF=5- 5 18 = 5 7 【例25】 如图，在梯形ABCD中，ABDC，5ADBC，10AB ，4CD ，连结并延长BD到E， 使DEBD，

27、作EFAB，交BA的延长线于点F （1）求tanABD的值； （2）求AF的长 F E DC B A 【解析】 （1）作 DMAB 于点 M，CNAB 于点 N ABDC，DMAB，CNAB， DMN=CNM=MDC=90 四边形 MNCD 是矩形. 4CD ， MN=CD= 4 在梯形ABCD中，ABDC， 5ADBC， DAB=CBA，DM=CN ADMBCN 又10AB ， AM=BN= 11 (104)3 22 ABMN MB=BN+MN=7 在 RtAMD 中，AMD=90，AD=5，AM=3， 22 4DMADAM 4 tan 7 DM ABD BM （2） EFAB， F=90

28、DMN=90， F=DMN. DMEF BDMBEF DEBD， 1 2 BMBD BFBE BF=2BM=14 AF=BFAB=1410=4 NM F E DC B A 【习题1】如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为 1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的 边数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 C B A 【解析】直接计算,只有 AC=5,为有理数.所以边长为无理数的边数为 2.选 C. 【答案】C 【习题2】如图， 在ABC中， 9060CBD ， 是AC上一点，DEAB于E， 且 21CDDE， ， 则BC的长为（ ） A2 B 4 3 3 C2 3 D4 3

29、E D C B A 【解析】解：在ABC中， 9060CB ， 30A 21CDDE， 24ADAC， 课后作业 由 90AADEAC ， ，得ABCADE BCAC DEAE 4 13 BC 4 3 3 BC 【答案】B 【习题3】如图，某游乐场一山顶滑梯的高为h，滑梯的坡角为，那么滑梯长l为（ ） A sin h B tan h C cos h Dsinh h l 【解析】解：由已知得：sin h l sin h l 【答案】A 【习题4】如图， ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sin A=_ C B A D C B A 【解析】正弦、余弦、正切、余切都是在直角三角形中给出的过点C作C

30、DAD交AB的延长线于D。 此钝角三角形在网格图中，在RtACD中，A的对边是个单位长度，邻边是个单位长度， 根据勾股可得斜边是2 5个单位长度，再根据正弦定义sin A 5 5 【答案】 5 5 【习题5】如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，若2EF ，5BC ，3CD ，则 tanC等于（ ） A. 3 4 B. 4 3 C. 3 5 D. 4 5 F E D C B A 【解析】连结BD，则24BDEF，又5BC ，3CD ，所以BCD是直角三角形，90BDC 所以 4 tan 3 BD C CD A B C D E F 【答案】B 【习题6】如图，在等边ABC中，D

31、为BC边上一点，E为AC边上一点，且60ADE， 4 4, 3 BDCE，则ABC的面积为 （ ） A8 3 B15 C9 3 D12 3 A B C D E 【解析】因为ADCBBADADEEDC ，60BADE，所以BADEDC 所以ABDDCE，所以 ABBD CDCE ，即 4 4 34 AB AB ，所以6AB 所以等边ABC的面积： 1 66sin609 3 2 【答案】C 【习题7】如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，BCE沿BE折叠为BFE，点F落在AD上. （1）求证： ABEDFE （2）若 1 sin 3 DFE ，求tanEBC的值. E F D CB A 【解析】 （1）证明：四边形ABCD是矩形 90ADC BCE沿BE折叠为BFE 90BFEC 18090AFBDFEBFE 又90AFBABF ABFDFE ABEDFE (2) 解：在RtDEF中， 1 sin 3 DE DFE EF .设DEa 则 22 3 ,2 2EFa DFEFDEa BCE沿BE折叠为BFE 3 ,4 ,4 ,CEEFa CDDECEa ABaEBCEBF 又ABEDFE 2 22 42 FEDFa BFABa 22 tan,tantan 22 FE EBFEBCEBF BF 【答案】 见解析