著名机构初中数学培优讲义中考复习.二次函数.第07讲(通用讲).学生版

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1、 考试内容考试内容 基本要求基本要求 略高要求略高要求 较高要求较高要求 二次二次函数函数 了解二次函数的意义；会利用描 点法画出二次函数的图像 能通过分析实际问题中的情境 确定二次函数的表达式；能从图 像上认识二次函数的性质；会根 据二次函数的解析式求其图象 与坐标轴的交点坐标，会确定图 像的顶点、对称轴和开口方向； 会利用二次函数的图像求出一 元二次方程的近似解 能用二次函数解决 简单的实际问题；能 解决二次函数与其 他知识结合的有关 问题 一、二次函数的定义 黑体小四 一般地，形如 2 yaxbxc（a b c ，为常数，0a ）的函数称为x的二次函数，其中x为自变量， y为因变量，a、

2、b、c分别为二次函数的二次项、一次项和常数项系数 注意：和一元二次方程类似，二次项系数0a ，而b、c可以为零二次函数的自变量的取值范围是 全体实数 黑体小四 二、二次函数的图象 黑体小四 1二次函数图象与系数的关系 （1）a决定抛物线的开口方向 当0a 时，抛物线开口向上；当0a 时，抛物线开口向下反之亦然 a决定抛物线的开口大小：a越大，抛物线开口越小；a越小，抛物线开口越大 温馨提示：几条抛物线的解析式中，若a相等，则其形状相同，即若a相等，则开口及形状相同，若 a互为相反数，则形状相同、开口相反 （2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置（抛物线的对称轴： 2 b x a ） 当0b 时，

3、抛物线的对称轴为y轴； 当a、b同号时，对称轴在y轴的左侧； 当a、b异号时，对称轴在y轴的右侧 （3）c的大小决定抛物线与y轴交点的位置（抛物线与y轴的交点坐标为0 c，） 当0c 时，抛物线与y轴的交点为原点； 例题精讲 中考要求 二次函数（二） 当0c 时，交点在y轴的正半轴； 当0c 时，交点在y轴的负半轴 2.二次函数图象的画法 五点绘图法： 利用配方法将二次函数 2 yaxbxc化为顶点式 2 ()ya xhk，确定其开口方向、对 称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图一般我们选取的五点为：顶点、与y轴 的交点0c，、以及0c，关于对称轴对称的点2hc，、与x轴的交点

4、 1 0x ， 2 0x ，（若与x轴没有 交点，则取两组关于对称轴对称的点） 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点 3.点的坐标设法 一次函数yaxb（0a ）图像上的任意点可设为 11 x axb，.其中 1 0x 时，该点为直线与y轴 交点. 二次函数 2 yaxbxc（0a ）图像上的任意一点可设为 2 111 x axbxc，. 1 0x 时，该点为抛 物线与y轴交点，当 1 2 b x a 时，该点为抛物线顶点 点 11 xy，关于 22 xx，的对称点为 2121 22xxyy， 4.二次函数的图象信息 根据抛物线的开口方向判断a的正负性 根

5、据抛物线的对称轴判断 2 b a 的大小 根据抛物线与y轴的交点，判断c的大小 根据抛物线与x轴有无交点，判断 2 4bac的正负性 根据抛物线所经过的已知坐标的点，可得到关于a b c，的等式 根据抛物线的顶点，判断 2 4 4 acb a 的大小 三、二次函数的图象及性质 1 二次函数 2 yax0a （）的性质： 抛物线 2 yax的顶点是坐标原点（0，0） ，对称轴是0x （y 轴） 函数 2 yax的图像与a的符号关系 当0a 时抛物线开口向上顶点为其最低点； 当0a 时抛物线开口向下顶点为其最高点； 2二次函数 2 (0)yaxc a的性质 a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性

6、质 0a 向上 00， y轴 0x 时，y随x的增大而增大；0x 时，y随 x的增大而减小；0x 时，y有最小值0 0a 向下 00， y轴 0x 时，y随x的增大而减小；0x 时，y随 x的增大而增大；0x 时，y有最大值0 3 二次函数 2 yaxbxc0a （）或 2 ()ya xhk（0a ）的性质 开口方向： 0 0 a a 向上 向下 对称轴： 2 b x a （或xh） 顶点坐标： 2 4 (,) 24 bacb aa （或( , )h k） 最值： 图1 图2 O y x 0a 时有最小值 2 4 4 acb a （或k） （如图 1） ； 0a 时有最大值 2 4 4 acb

7、 a （或k） （如图 2） ； 单调性：二次函数 2 yaxbxc（0a ）的变化情况（增减性） 如图 1 所示， 当0a 时， 对称轴左侧 2 b x a ，y随着x的增大而减小， 在对称轴的右侧 2 b x a ， y随x的增大而增大； 如图 2 所示， 当0a 时， 对称轴左侧 2 b x a ， y 随着 x 的增大而增大， 在对称轴的右侧 2 b x a ， y随x的增大而减小； 与坐标轴的交点：与y轴的交点： （0，C） ；与x轴的交点：使方程 2 0axbxc（或 2 ()0a xhk） 成立的x值 【例1】把抛物线 2 yaxbxc的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位

8、，所得的图象的解析式 是 2 35yxx，则abc_ 【例2】如图，ABCD中，4AB ，点D的坐标是(0，8)，以点C为顶点的抛物线 2 yaxbxc经过 x轴上的点A，B a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a 向上 0c， y轴 0x 时，y随x的增大而增大；0x 时，y随 x的增大而减小；0x 时，y有最小值c 0a 向下 0c， y轴 0x 时，y随x的增大而减小；0x 时，y随 x的增大而增大；0x 时，y有最大值c 例题精讲例题精讲 求点A，B，C的坐标 若抛物线向上平移后恰好经过点D，求平移后抛物线的解析式 D C B A O 【例3】 设抛物线 2 2yx，把它向右

9、平移p个单位，或向下移q个单位，都能使抛物线与直线4yx 恰好有一个交点，求p、q的值 把抛物线 2 2yx向左平移p个单位，向上平移q个单位，则得到的抛物线经过点1 3，和 49，求p、q的值 把抛物线 2 yaxbxc向左平移3个单位，向下移2个单位后，所得抛物线为 2 yax，其图 象经过点 1 1 2 ，求原解析式 【例4】如图，在直角坐标系xOy中，点P为函数 2 1 4 yx在第一象限内的图象上的任一点，点A的坐标为 0 1，直线l过01B，且与x轴平行，过P作y轴的平行线分别交x轴、直线l于CQ、，连 结AQ交x轴于H，直线PH交y轴于R 求证：H点为线段AQ的中点； 求证：四边

10、形APQR为菱形； 除P点外， 直线PH与抛物线 2 1 4 yx有无其它公共点？若有， 求出其它公共点的坐标； 若没有， 请说明理由 A O l x y P R B H Q C 【例5】如图，已知抛物线(1)23 3()0ya xa经过点( 2)A ，0，抛物线的顶点为D，过O作射线 OMAD过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C，B在x轴正半轴上，连结BC （1）求该抛物线的解析式； （2）若动点P从点O出发，以每秒 1 个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为 ( )t s问当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？ （3）若OCOB，动点P和动点Q分

11、别从点O和点B同时出发，分别以每秒 1 个长度单位和 2 个 长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动设它 们的运动的时间为t( ) s，连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值 及此时PQ的长 Q P M O D C B A x y 【例6】在平面直角坐标系xOy中，二次函数 2 (3)3ymxmx（0m ）的图象与 x 轴交于A、B两 点（点A在点B的左侧） ，与y轴交于点C （1）求点A的坐标； （2）当45ABC时，求m的值； （3）已知一次函数ykxb，点( ,0)P n是x轴上的一个动点，在（2）的条件下，过点P垂直于x 轴

12、的直线交这个一次函数的图象于点M，交二次函数 2 (3)3ymxmx（0m ）的图象于 N若只有当22n 时，点M位于点N的上方，求这个一次函数的解析式 【例7】在平面直角坐标系xOy中，抛物线 22 15 32 44 mm yxxmm 与x轴的交点分别为原点O和 点A，点B(2,n)在这条抛物线上 （1）求点B的坐标； （2） 点P在线段OA上， 从O点出发向点运动， 过P点作x轴的垂线， 与直线OB交于点E 延长PE 到点D使得EDPE以PD为斜边，在PD右侧作等腰直角三角形PCD（当P点运动时， C点、D点也随之运动）,当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求OP的长； 若P点

13、从O点出发向A点作匀速运动，速度为每秒 1 个单位，同时线段OA上另一点Q从A点 出发向O点作匀速运动，速度为每秒2个单位（当Q点到达O点时停止运动，P点也同时停 止运动） 过Q点作x轴的垂线，与直线AB交于点F延长QF到点M，使得FMQF，以 QM为斜边，在QM的左侧作等腰直角三角形QMN（当Q点运动时，M点，N点也随之运 动） 若P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此 刻t的值 【例8】如图所示，抛物线 2 yaxbxc经过原点O，与x轴交于另一点N,直线4ykx与两坐标轴 分别交于A、D两点，与抛物线交于(1,)Bm、(2,2)C两点. （1）求直线与

14、抛物线的解析式. （2）若抛物线在x轴上方的部分有一动点( , )P x y，设PON，求当PON的面积最大时 B C A x y F O D E tan的值. （3）若动点P保持（2）中的运动路线，问是否存在点P，使得POA的面积等于PON面积的 8 15 ？若存在，请求出点P的坐标;若不存在，请说明理由. 【例9】如图，已知直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，2OAAB， 3OC ，过点B作BDBC，交OA于点D将DBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别 交y轴的正半轴、x轴的正半轴于E和F （1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式； （2）当BE经过（1）

15、中抛物线的顶点时，求CF的长； （3）连结EF，设BEF与BFC的面积之差为S，问：当CF为何值时S最小，并求出这个最小值 【例10】如图 13， 二次函数 2 (0)yxpxq p的图象与x轴交于A、B两点， 与y轴交于点 C （0，1） ， ABC的面积为 4 5 。 （1）求该二次函数的关系式； （2）过y轴上的一点(0,)Mm作y轴上的垂线，若该垂线与ABC的外接圆有公共点，求m的取 值范围； （3）在该二次函数的图象上是否存在点D，使四边形ABCD为直角梯形？若存在，求出点D的坐 标；若不存在，请说明理由。 【例11】已知：关于x的方程 2 3(1)230mxmxm 求证：m取任何实

16、数时，方程总有实数根； 若二次函数 2 1 3(1)21ymxmxm的图象关于y轴对称 求二次函数 1 y的解析式； 已知一次函数 2 22yx，证明：在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函 数值 12 yy均成立； 在条件下，若二次函数 2 2 yaxbxc的图象经过点( 50) ，且在实数范围内，对于x的 同一个值，这三个函数所对应的函数值 132 yyy，均成立，求二次函数 2 3 yaxbxc的解析 式 【例12】已知关于x的方程 2 (32 )(3)0mxm xm，其中0m。 （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）设方程的两个实数根分别为 1 x， 2 x，其

17、中 12 xx，若 2 1 1 3 x y x ，求y与m的函数关系式； （3）在（2）的条件下，请根据函数图象，直接写出使不等式ym 成立的m的取值范围。 【例13】已知关于x的方程 2 (1)(21)20mxmx有两个正整数根. (1) 确定整数m值； (2) 在（1）的条件下，利用图象写出方程 2 (1)(21)20 m mxmx x 的实数根的个数. 【例14】已知抛物线 2 yaxbxc与y轴交于点0,3A，与x轴分别交于1,0B，0,5C两点. （1） 求此抛物线的解析式； （2） 若点D为线段OA的三等分点，求直线DC的解析式； （3） 若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴

18、上得某点（设为点E） ，再到达抛物线的对 称轴上得某点 （设为F） ， 最后沿直线运动到点A.求使得点P运动的总路径最短的点EF、的 坐标，并求出这个最短总路径的长. 1.抛物线 2 54yaxxa与x轴相交于点AB、，且过点5 4C， 求a的值和该抛物线顶点P的坐标 请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落要第二象限，并写出平移后抛物线的解析式 2.如图，点O是坐标原点，点 (0)A n， 是x轴上一动点( 0)n .以AO为一边作矩形AOBC，点C在第二象 限， 且2OBOA 矩形AOBC绕点A逆时针旋转90得矩形AGDE 过点A的直线ykxm(0)k 交y 轴于点F，FBFA抛物线 2 yaxbxc过点E、F、G且和直线AF交于点H，过点H作HMx 轴，垂足为点M 求k的值； 点A位置改变时，AMH的面积和矩形AOBC 的面积的比值是否改变？说明你的理由 课后作业 y xO M H G F E D C B A