著名机构初中数学培优讲义中考复习.二次函数.第06讲(通用讲).学生版

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1、 考试内容考试内容 基本要求基本要求 略高要求略高要求 较高要求较高要求 二次二次函数函数 了解二次函数的意义；会利用描 点法画出二次函数的图像 能通过分析实际问题中的情境 确定二次函数的表达式；能从图 像上认识二次函数的性质；会根 据二次函数的解析式求其图象 与坐标轴的交点坐标，会确定图 像的顶点、对称轴和开口方向； 会利用二次函数的图像求出一 元二次方程的近似解 能用二次函数解决 简单的实际问题；能 解决二次函数与其 他知识结合的有关 问题 一、二次函数的定义 黑体小四 一般地，形如 2 yaxbxc（a b c ，为常数，0a ）的函数称为x的二次函数，其中x为自变量， y为因变量，a、

2、b、c分别为二次函数的二次项、一次项和常数项系数 注意：和一元二次方程类似，二次项系数0a ，而b、c可以为零二次函数的自变量的取值范围是 全体实数 黑体小四 二、二次函数的图象 黑体小四 1二次函数图象与系数的关系 （1）a决定抛物线的开口方向 当0a 时，抛物线开口向上；当0a 时，抛物线开口向下反之亦然 a决定抛物线的开口大小：a越大，抛物线开口越小；a越小，抛物线开口越大 温馨提示：几条抛物线的解析式中，若a相等，则其形状相同，即若a相等，则开口及形状相同，若 a互为相反数，则形状相同、开口相反 （2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置（抛物线的对称轴： 2 b x a ） 当0b 时，

3、抛物线的对称轴为y轴； 当a、b同号时，对称轴在y轴的左侧； 当a、b异号时，对称轴在y轴的右侧 （3）c的大小决定抛物线与y轴交点的位置（抛物线与y轴的交点坐标为0 c，） 当0c 时，抛物线与y轴的交点为原点； 例题精讲 中考要求 二次函数（一） 当0c 时，交点在y轴的正半轴； 当0c 时，交点在y轴的负半轴 2.二次函数图象的画法 五点绘图法： 利用配方法将二次函数 2 yaxbxc化为顶点式 2 ()ya xhk，确定其开口方向、对 称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图一般我们选取的五点为：顶点、与y轴 的交点0c，、以及0c，关于对称轴对称的点2hc，、与x轴的交点

4、 1 0x ， 2 0x ，（若与x轴没有 交点，则取两组关于对称轴对称的点） 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点 3.点的坐标设法 一次函数yaxb（0a ）图像上的任意点可设为 11 x axb，.其中 1 0x 时，该点为直线与y轴 交点. 二次函数 2 yaxbxc（0a ）图像上的任意一点可设为 2 111 x axbxc，. 1 0x 时，该点为抛 物线与y轴交点，当 1 2 b x a 时，该点为抛物线顶点 点 11 xy，关于 22 xx，的对称点为 2121 22xxyy， 4.二次函数的图象信息 根据抛物线的开口方向判断a的正负性 根

5、据抛物线的对称轴判断 2 b a 的大小 根据抛物线与y轴的交点，判断c的大小 根据抛物线与x轴有无交点，判断 2 4bac的正负性 根据抛物线所经过的已知坐标的点，可得到关于a b c，的等式 根据抛物线的顶点，判断 2 4 4 acb a 的大小 三、二次函数的图象及性质 1 二次函数 2 yax0a （）的性质： 抛物线 2 yax的顶点是坐标原点（0，0） ，对称轴是0x （y 轴） 函数 2 yax的图像与a的符号关系 当0a 时抛物线开口向上顶点为其最低点； 当0a 时抛物线开口向下顶点为其最高点； 2二次函数 2 (0)yaxc a的性质 a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性

6、质 0a 向上 00， y轴 0x 时，y随x的增大而增大；0x 时，y随 x的增大而减小；0x 时，y有最小值0 0a 向下 00， y轴 0x 时，y随x的增大而减小；0x 时，y随 x的增大而增大；0x 时，y有最大值0 3 二次函数 2 yaxbxc0a （）或 2 ()ya xhk（0a ）的性质 开口方向： 0 0 a a 向上 向下 对称轴： 2 b x a （或xh） 顶点坐标： 2 4 (,) 24 bacb aa （或( , )h k） 最值： 图1 图2 O y x 0a 时有最小值 2 4 4 acb a （或k） （如图 1） ； 0a 时有最大值 2 4 4 acb

7、 a （或k） （如图 2） ； 单调性：二次函数 2 yaxbxc（0a ）的变化情况（增减性） 如图 1 所示， 当0a 时， 对称轴左侧 2 b x a ，y随着x的增大而减小， 在对称轴的右侧 2 b x a ， y随x的增大而增大； 如图 2 所示， 当0a 时， 对称轴左侧 2 b x a ， y 随着 x 的增大而增大， 在对称轴的右侧 2 b x a ， y随x的增大而减小； 与坐标轴的交点：与y轴的交点： （0，C） ；与x轴的交点：使方程 2 0axbxc（或 2 ()0a xhk） 成立的x值 四、二次函数与一次函数的联系 一次函数0ykxn k的图像l与二次函数 2 0

8、yaxbxc a的图像G的交点，由方程组 2 ykxn yaxbxc 的解的数目来确定： 方程组有两组不同的解时l与G有两个交点； 方程组只有一组解时l与G只有一个交点； 方程组无解时l与G没有交点. 五、二次函数与三角形 a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a 向上 0c， y轴 0x 时，y随x的增大而增大；0x 时，y随 x的增大而减小；0x 时，y有最小值c 0a 向下 0c， y轴 0x 时，y随x的增大而减小；0x 时，y随 x的增大而增大；0x 时，y有最大值c 在直角坐标系中，已知三角形三个顶点的坐标，如果三角形的三条边中有一条边与坐标轴平行，可以 直接运用三角形面积

9、公式求解三角形面积.如果三角形的三条边与坐标轴都不平行，则通常有以下方法： E D C B A F E D A B C D FED C B A h 45 D C B A 1.如图，过三角形的某个顶点作与x轴或y轴的平行线，将原三角形分割成两个满足一条边与坐标轴 平行的三角形，分别求出面积后相加 11 22 ABCACDADBCBACECEBAB SSSADyySSCExx 其中D,E两点坐标可以通过BC或AB的直线方程以及A或C点坐标得到 2.如图，首先计算三角形的外接矩形的面积，然后再减去矩形内其他各块面积 ABCDEBFDACAEBCBF SSSSS . 所涉及的各块面积都可以通过已知点之

10、间的坐标差直接求得 3.如图，通过三个梯形的组合，可求出三角形的面积.该方法不常用 111 222 ABCADEBCFEBADFCABABBCBcCACA SSSSxxyyxxyyxxyy 4.如图，作三角形的高，运用三角形的面积公式求解四边形的面积该方法不常用，如果三角形的一 条边与0xy平行，则可以快速求解 1 2 ABC Sh BC 【例1】函数 2 2 13 a yaxaxa 当 a 取什么值时，它为二次函数 当 a 取什么值时，它为一次函数 【例2】已知二次函数 2 223ymxmxm的图象的开口向上，顶点在第三象限，且交于y轴的 负半轴，则m的取值范围是_ 【例3】设设 2 3yx

11、axa ， 当x取任意实数时，y恒为非负数，求a的取值范围； 当22x 时，y的值恒为非负数，求实数a的取值范围 例题精讲例题精讲 【例4】已知函数 2 222 ()(32)2 mm ymm xmmxmm ，当m是什么数时，函数是二次函数？ 【例5】如下右图所示， 二次函数 2 (0)yaxbxc a的图象经过点12 ， 且与x轴交点的横坐标分别 为 1 x， 2 x，其中 1 21x ， 2 01x，下列结论： 2 1 -1-2 y x O 420abc；20ab；1b ； 2 84baac其中正确的有（ ） A.1个 B.2个 C . 3个 D . 4个 【例6】已知二次函数 2 yaxb

12、xc（其中a是正整数）的图象经过点1 4A ，和2 1B，且与x轴有两 个不同的交点，求bc的最大值 【例7】 2 yaxbxc的图象如图所示并设|2|2|Mabcabcabab，则（ ） O y x 1 -1 A0M B0M C0M D不能确定M为正，为负或为0 【例8】已知二次函数 2 yaxbxc符合下列条件，求它的解析式： 图象经过三点（1,4） ， （-1，-1） ， （2，-1） ； 顶点是（2,1） ，并且经过点（3， 2 3 ） ； 顶点在y轴上，最大值是 4，并且经过点（1,3） ； 顶点在x轴上，对称轴1x ，并且经过点（2,2） ； 对称轴是2x ，并且经过点（0，-3）

13、 （3,0） ； 与x轴的交点坐标为（1,0） ， （2,0） ，且经过点（3,6） ； 图象经过点（-1,8） ，对称轴是直线20x ，并且在x轴截得的线段长为 6. 【例9】如图，点G、D、C在直线a上，点E、F、A、B在直线b上，若ab，Rt GEF从如图所 示 的 位置出发，沿直线b向右匀速运动，直到EG与BC重合运动过程中GEF与矩形ABCD重合部 分 的面积 S随时间 t变化的图象大致是 （ ） FE G AB CD A t s O B t s O C t s O D t s O 【例10】某商场试销一种成本为每件 60 元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得 高

14、于 45%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数ykxb，且65x 时，55y ；75x 时，45y （1）求一次函数ykxb的表达式； （2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元 时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？ （3）场获得利润不低于 500 元，试确定销售单价x的范围 【例11】二次函数 2 1 14 44 m yxxm m 的图象与x轴相交于A，B两点. 求A,B两点的坐标（可用含字母m的代数式表示） 如果这个二次函数的图象与反比例函数 9 x y 的图象相交于点 C,且BAC的正弦值为 3 5 ，求 这个二次函

15、数的解析式. y x OD C B A 【例12】已知二次函数 2 (1)1yxmxm （1）求证：不论m为任何实数，这个函数的图象与x轴总有交点， （2）m为何实数时，这两个交点间的距离最小？这个最小距离是多少？ 【例13】已知二次函数 2 1 2 yxbxc的图象经过点( 36)A ，并且与x轴相交于点( 10)B ，和点C， 顶点 为P （1）求二次函数的解析式； （2）设D为线段OC上一点，满足DPCBAC ，求点D的坐标 B D C P O A y x 【例14】如图， 已知抛物线 2 yxpxq与x轴交于点A、B， 交y轴负半轴于C点， 点B在点A的右 侧， 90ACB， 112

16、OAOBOC (1)求抛物线的解析式； (2)求ABC的外接圆的面积； (3) 在抛物线 2 yxpxq上是否存在点P，使得PAB的面积为2 2 如果有，这样的点有 几个；如果没有，请说明理由 y x O B C A 【例15】一开口向上抛物线与 x 轴交于 A（2m ，0） ，B（m2，0）两点，记抛物线顶点为C，且 AC BC （1）若 m 为常数，求抛物线的解析式； （2）若 m 为小于 0 的常数，那么（1）中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点？ （3）设抛物线交 y 轴正半轴于 D 点，问是否存在实数 m，使得BCD 为等腰三角形？若存在，求 出 m 的值；若不存在，请说明

17、理由 【例16】已知一元二次方程 2 10xpxq 的一根为2 （1）求q关于p的解析式； （2）求证：抛物线 2 yxpxq与x轴有两个交点； （3） 设抛物线 2 yxpxq的顶点为M， 且与x轴相交于 12 00A xB x， 、，两点， 求使AMB 面积最小时的抛物线的解析式 【例17】如图，已知二次函数 2 yaxbxc的图像经过三点 A1,0，B3,0，C0,3，它的顶点为 M， 又正比例函数ykx的图像于二次函数相交于两点 D、E，且 P 是线段 DE 的中点。 （1）该二次函数的解析式，并求函数顶点 M 的坐标； （2）知点 E2,3，且二次函数的函数值大于正比例函数时，试根据

18、函数图像求出符合条件的自变 量x的取值范围； （3）02k时，求四边形 PCMB 的面积s的最小值。 【参考公式：已知点 11 D xy， 22 E xy，则线段 DE 的中点坐标为 1212 22 xxyy ，】 M P E D C BA O y x 1. 分别求出在下列条件下，函数 2 231yxx的最值： x取任意实数；当20x 时；当13x时；当12x 时 课后作业 2. 如图，在矩形矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD，DA运动 至点A停止设点P运动的路程为x，ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图 2 所示，则 ABC的面积是 ( ) A10 B16 C18 D20 C D BA P 94 Ox y 3. 已知函数 2 22yxx在1txt 范围内的最小值为s，写出函数s关于t的函数解析式，并 求出s的取值范围 4. 如图，已知平面直角坐标系中三点(20)(02)(0)ABP x， ， ，(0)x ，连结BP，过P点作PCPB 交过点A的直线a于点(2)Cy， （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当x取最大整数时，求BC与的交点Q的坐标。 C P a Q O B A y x