著名机构初中数学培优讲义直线与圆的位置关系.第07讲（B级）.教师版

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1、 内容 基本要求 略高要求 较高要求 直线与圆的位置 关系 了解直线与圆的位置关系；了解 切线的概念，理解切线与过切点 的半径之间关系；会过圆上一点 画圆的切线 能判定一条直线是否为圆的切 线；能利用直线和圆的位置关系 解决简单问题 能解决与切线有关 的问题 切线长 了解切线长的概念 会根据切线长知识解决简单问题 1理解直线与圆的位置关系； 2能够证明切线及利用切线解决相关问题 模版一 直线与圆位置关系的确定 设O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线和圆的位置关系如下表： 位置关系 图形 定义 性质及判定 相离 l O d r 直线与圆没有公共点 dr直线l与O相离 相切 l O d

2、r 直线与圆有唯一公共点，直线叫做 圆的切线，唯一公共点叫做切点 dr直线l与O相切 相交 l O d r 直线与圆有两个公共点，直线叫做 圆的割线 dr直线l与O相交 二、切线的性质及判定 例题精讲 中考要求 重难点 直线与圆的位置关系 1. 切线的性质 （1） 定理：圆的切线垂直于过切点的半径 推论 1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 推论 2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 （2） 注意：这个定理共有三个条件，即一条直线满足：垂直于切线过切点过圆心 过圆心，过切点垂直于切线AB过圆心，AB过切点M，则ABl 过圆心，垂直于切线过切点AB过圆心，ABl，则AB过切点M 过切点，

3、垂直于切线过圆心ABl，AB过切点M，则AB过圆心 M B O l A 2. 切线的判定 （1） 定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； （2） 距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线； （3） 定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 注意：定理的题设是“经过半径外端”，“垂直于半径”，两个条件缺一不可；定理的结论是“直 线是圆的切线”因此，证明一条直线是圆的切线有两个思路：连接半径，证直线与此半径垂 直；作垂直，证垂直在圆上 OOO AAAl l l 3. 切线长和切线长定理 （1） 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长

4、 （2） 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切 线的夹角 三、三角形的内切圆 1. 三角形的内切圆：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心， 这个三角形叫做圆的外切三角形 2. 多边形的内切圆： 和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆， 这个多边形叫做圆的外切多边形 3. 直角三角形内切圆的半径与三边的关系 c b a cb a O F E D CB A C B A CB A 设a、b、c分别为ABC中A、B、C的对边，面积为S，则内切圆半径为 s r p ，其中 1 2 pabc若90C，则 1 2 rabc

5、 【例1】 如图，已知O是以数轴的原点O为圆心，半径为 1 的圆，45AOB，点P在数轴上运动， 若过点P且与OA平行的直线与O有公共点，设OPx，则x的取值范围是 A0x2 B2x2 C1x1 Dx2 P BO A 【难度】3 【解析】 考察根据直线与圆的交点状况判断圆与直线的位置关系 有公共点， 说明是相切或相交两种状态， 所以 P 运动到直线与圆相切的状态便可 但还要考虑 OP 是线段长度且非负， 而 p 在数轴上运动， 所以答案是 A 【答案】A 【例2】 Rt ABC中，90C，3cmAC ，4cmBC ，给出下列三个结论： 以点C为圆心，3 cm 长为半径的圆与AB相离；以点C为圆

6、心，4cm 长为半径的圆与AB相切；以点C为圆心， 5cm 长为半径的圆与AB相交上述结论中正确的个数是（ ） A0 个 Bl 个 C2 个 D3 个 【难度】3 星 【解析】考察根据圆心到直线距离结合半径判断直线与圆的位置关系，同时还用到了直角三角形利用面积 法求斜边上高，所以选 B 【答案】B 【巩固】在Rt ABC中，90C，12cmAC ，16cmBC ，以点C为圆心，r为半径的圆和AB有怎 样的位置关系？为什么？ （1）9cmr ； （2）10cmr ； （3）9.6cmr D C B A 【难度】3 星 【解析】过C作CDAB于D， 则 11 22 ABC SAC BCAB CD

7、12cmAC ，16cmBC ，90C， 22 20(cm)ABACBC， 11 12 1620 22 CD 9.6(cm)CD （1）当9cmr 时，CDr，AB与O相离； （2）当10cmr 时，CDr，AB与O相交； （3）当9.6cmr 时，CDr，AB与O相切 【答案】 （1）当9cmr 时，AB与O相离； （2）当10cmr 时，AB与O相交； （3）当9.6cmr 时， AB与O相切 【例3】 如下左图，在直角梯形ABCD中，ADBC，90C ，且ABADBC，AB是O的直径， 则直线CD与O的位置关系为( ) A相离 B相切 C相交 D无法确定 O BC DA 【难度】3 星

8、【解析】过O作OMCD于M， 可知，OM为直角梯形ABCD的中位线， 1 () 2 OMADBC， ABADBC， 11 () 22 ABADBC， 1 2 OMAB， 直线CD与O的位置关系为相交，故选C 【答案】C 【巩固】 如图，BC是半圆O的直径， 点D是半圆上的一点， 过点D作O的切线AD，BADA，10BC ， 4AD ，那么直线CE与以点O为圆心， 5 2 为半径的圆的位置关系是 O E D CB A 【难度】4 星 【解析】连结OD交CE于F F A BC D E O AD是切线，ODAD BADA，ODAB BC是直径，BECE，即90BEC ODCE，F是CE中点，四边形A

9、DFE是矩形 228CECFAD 在Rt BCE中，90BEC， 22 6BEBCCE 1 3 2 OFBE， 以点O为圆心， 5 2 为半径的圆与直线CE相离 点评：看切线连半径是我们处理切线问题的“通法”，这一点需要反复强调，使学生牢记于心 【答案】相离 模版二 切线的性质及判定 作垂直证半径 【例4】 已知：O为BAC平分线上一点，ODAB于D， 以O为圆心 以OD为半径作圆O 求证：O 与AC相切 O D C B A 【难度】3 星 【解析】证明与切线有关的问题的辅助线一般有如下两种： E O D C B A 已知直线过圆上某点，那么连接该点与圆心，如第题； 如果不知直线与圆有无公共点

10、，则过圆心作已知直线的垂线 【答案】如图所示，过O作OEAC，垂足为E O为BAC平分线上一点，ODAB于D OEOD， O与AC相切 【巩固】 如图，ABC为等腰三角形，ABAC，O是底边BC的中点，O与腰AB相切于点D， 求证AC 与O相切 O D CB A 【难度】3 星 【解析】略 【答案】解法一：连结OD，过O点作OEAC于E E A BC D O ABAC，BC ， O是BC中点，OBOC O与AB相切于D，ODAB BODCOE， OEOD， OEAC， AC与O相切 解法二：连结ODOA、，过O点作OEAC于E ABAC，O是BC中点， AO平分BAC， O与AB相切于D，OD

11、AB OEAC，ODOE， AC与O相切 连半径证垂直 证明直线是圆的切线是中考的一种常见问题，证明的基本方法有： （1）利用定义，证明直线与圆只有一个交点； （2）当所证直线与圆有一个公共点时，连接圆心和这个公共点，证明这条半径与所证直线垂直； （3）当所证直线与圆没有确定的公共点时，过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径。 总结： 连接圆心与切点是一条常用辅助线， 由此可构造出直角三角形， 在圆的证明与计算中有广泛的应用。 求值：圆的证明大题第二问通常是考到了求线段的长度，求值的基本方法有： （1）设出要求的线段，然后找出直角三角形，利用勾股定理列出方程求出线段的长 （2）找出相

12、似三角形，利用边的比例求出线段的长，这种方法的应用在一二模和中考中用的非常多。必 须要熟练掌握。 （3）牵涉到了锐角三角函数时，需要利用相等的角转换，然后利用三角函数去求解。 （4）利用射影定理，或切线长定理求解 【例5】 （10 年海淀二模）已知：如图，点C在以AB为直径的O上，点D在AB的延长线上， BCDA . （1）求证：CD为O的切线； （2） 过点C作CEAB于E.若 4 2,cos 5 CED,求O的半径. O B D C A 【难度】3 星 【解析】 （1）证明：连接CO. AB是O 直径， 190OCB . AOCO， 1A 5 4 3 2 1 E O B D C A 5A

13、， 590OCB . 即90OCD. OCCD. 又 OC是O 半径， CD为O的切线 （2） OCCD于C， 390D . CEAB于E， 3290 . 2D . cos2cosD . 在OCD中，90OCD， c o s2 CE CO ， 4 c o s 5 D ，2CE ， 24 5CO 5 2 CO O的半径为 5 2 【答案】见解析 【巩固】 （10 年朝阳二模）已知：如图, AB 是O 的直径, AB=AC，BC 交O 于点 D，延长 CA 交O 于 点 F，连接 DF，DECF 于点 E （1）求证：DE 是O 的切线； （2）若 AB=10， 4 cos 5 C，求 EF 的长

14、 O F E D C BA 【难度】3 星 【解析】 （1）连接 OD， OBOD，B1 AB=AC, B=C1=C ODAC DECF 于点 E，CED90 1 O F E D C BA ODECED90 DE 是O 的切线 (2) 连接 AD，AB 是O 的直径， ADB90 cosC=cosB= 5 4 AB=10，BD=AB cosB=8 F=B =C DF=DC=8且 cosF=cosC= 5 4 在 RtDEF 中，EF=DF cosF= 5 32 【答案】见解析 【拓展】 （10 西城一模）如图，ABC内接于O，ABAC，点D在O上，ADAB于点A，AD与 BC交于点E，点F在D

15、A的延长线上，AFAE （1）求证：BF是O的切线； （2）若4AD ， 4 cos 5 ABF，求BC的长 E F C A D B O 【难度】3 星 【解析】 （1）如图，连结BD ADAB， DB是O的直径 1290D 又AEAF， BEBF，23 ABAC， 23DC 12390 即OBBF于B 直线BF是O的切线 32 1 G E O F B A C D （2）作AGBC于点G 23D 4 coscos3 5 D 在RtABD中，90DAB，4AD ， 4 cos 5 D， 5 cos AD BD D ， 22 3ABBDAD 在RtABG中，90AGB，3AB ， 4 cos2 5

16、 ， 12 cos2 5 BGAB ABAC ， 24 2 5 BCBG 【答案】见解析 【例6】 （10 年西城二模）如图，在ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的O 分别交 BC、AC 于点 D、E， 连结 EB 交 OD 于点 F （1）求证：ODBE； （2）若 DE= 2 5 ，AB= 2 5 ，求 AE 的长 F D E C B O A 【难度】3 星 【解析】 （1）连结 AD AB 是O 的直径，ADB=AEB=90 AB=AC， DC=DB 2 1 F D E C B O A OA=OB，ODACOFB=AEB=90 ODBE （2）设 AE=x，由（1）可得12， BD

17、 = ED= 2 5 ODEB ，FE=FB OF= AE 2 1 = x 2 1 ，DF=ODOF= x 2 1 4 5 在 RtDFB 中， 22222 ) 2 1 4 5 () 2 5 (xDFDBBF 在 RtOFB 中， 22222 51 ( )() 42 BFOBOFx 22 ) 2 1 4 5 () 2 5 (x 22 ) 2 1 () 4 5 (x 解得 2 3 x，即 2 3 AE 【答案】见解析 【巩固】 （10 年密云一模）如图，等腰三角形ABC中，6ACBC，8AB 以BC为直径作O交AB 于点D，交AC于点G，DFAC，垂足为F，交CB的延长线于点E （1）求证：直线

18、EF是O的切线； （2）求sinE的值 D F G COBE A 【难度】3 星 【解析】 （1）证明：如图，连结CD，则90BDC D F G COBE A CDAB ACBC， ABBD D是AB的中点 O是BC的中点， DOACEFAC于 F EFDO EF是O的切线 ( 2 ) 连结BG，BC是直径, 90BGCCFE BGEF sin FCCG E ECBC 设CGx，则6AGx 在RtBGA中， 222 BGBCCG 在RtBGC中， 222 BGABAG 2 222 686xx 解得 2 3 x 即 2 3 CG 在RtBGC中 2 1 3 sin 69 CG E BC 【答案】

19、见解析 【例7】 （10 年昌平一模）已知：如图，点D是O的直径CA延长线上一点，点B 在O上，且 .OAABAD （1）求证：BD是O的切线； （2）若点E是劣弧BC上一点，AE与BC相交 于点F，且8BE ， 5 tan 2 BFA，求 O的半径长. F E C O A B D 【难度】3 星 【解析】 （1）证明：连接OB. ,OAAB OAOB， OAABOB. ABO是等边三角形. 1 2 3 4 F E C O A B D 160BAO . ABAD，230D . 1290 . DBBO . 又点B在O上，DB是O的切线 . （2）解：CA是O的直径， 90ABC.在RtABF中，

20、 5 tan 2 AB BFA BF , 设5 ,ABx则2BFx， 22 3AFABBFx . 2 3 BF AF . ,34CE , BFE AFC. 2 3 BEBF ACAF . 8BE ,12AC .6AO . 【答案】见解析 【巩固】 （10 年石景山一模）已知：如图，AB为O的直径，弦ACOD, BD切O于B,联结CD （1）判断CD是否为O的切线，若是请证明；若不是请说明理由 （2）若2AC ,6OD ,求O的半径 O D C A B 【难度】3 星 【解析】 （1）判断：CD是O的切线 证明：联结OC ACOD ABOD ,ACOCOD OAOC AACO BODCOD OB

21、OC, OD为公共边BODCOD BOCD BD是O的切线，AB 为直径 90ABD 90OCD CD是O的切线 E O D C A B （2) 联结BC交OD于E CD和BD都是O的切线 CD=BD，CDOBDO BCOD,BECE，90OBDOBEODB OBOE ODOB 由BECE, OAOB得OE为ABC的中位线 即 1 1 2 OEAC 1 6 OB OB 得6OB (舍负) O的半径为6 【答案】见解析 【巩固】 （10 年顺义二模）如图，AB 是O 的直径，BD 交O 于点 C，AE 平分BAC，EFAB，垂 足为 F，DCAB （1）求证：AD 为O 的切线； （2）若 4

22、sin 5 D ，6AD，求 CE 的长 O F E C D B A 【难度】3 星 【解析】 （1）证明：AB 是O 的直径， 90ACB 90CABB DCAB，90DB 90DABAD 为O 的切线 （2）解： 4 sin 5 D ，6AD， 在 RtACD中， 24 sin 5 ACADD， 18 5 CD 在 RtDAB中， sinD 4 5 AB DB 8AB，10DB AE 平分BAC， EFAB，90ACB， CEEF 设CEEFx， 则 18 10 5 BEx， 90EFBDAB，BB ， BEFBDA EFBE DABD ， 即 18 10 5 610 x x 12 5 x

23、 即 CE 的长为12 5 【答案】见解析 【例8】 （09 年中考）已知：如图，在ABC 中，AB=AC,AE 是角平分线，BM 平分ABC 交 AE 于点 M,经过 B,M 两点的O 交 BC 于点 G,交 AB 于点 F,FB 恰为O 的直径. （1）求证：AE 与O 相切； （2）当 BC=4,cosC= 1 3 时，求O 的半径. O F B G E M C A 【难度】3 星 【解析】 （1）证明：连接OM ，则OMOB 12BM ，平分ABC 3 2 1 O F B G E M C A 13 ，23 OMBC AMOAEB 在ABC中，ABACAE，是角平分线 9090AEBCA

24、EBAMOOMAE，, AE与O相切 （2）在ABC中， ABACAE，是角平分线 1 2 BEBCABCC ， 1 4cos 3 BCC，在ABE中， 90AEB ，6 cos BE AB ABC （2）在ABC中，ABACAE，是角平分线 1 2 BEBCABCC ， 1 4cos 3 BCC，在ABE中， 90AEB ，6 cos BE AB ABC 设O的半径为r，则6AOr OMBCAOMABE， ， OMAO BEAB 6 26 rr 解得 3 2 r O的半径为 3 2 【答案】见解析 【巩固】已知：如图，在RtABC中，90C，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与 AC

25、AB，分别交于点DE，且CBDA （1）判断直线BD与O的位置关系，并证明你的结论； （2）若:8:5AD AO ，2BC ，求BD的长 【难度】3 星 【解析】 （1）直线BD与O相切 如图 1，连结OD OAOD，AADO 90C， 90CBDCDB 又CBDA， 90ADOCDB 90ODB 直线BD与O相切 （2）解法一：如图 1，连结DE AE是O的直径， 90ADE :8:5AD AO， 4 cos 5 AD A AE 90C，CBDA， 4 cos 5 BC CBD BD 2BC ， 5 2 BD 【答案】见解析 课堂检测 D C O A B E 图 1 D C O A B E

26、1 已知60ABC，点O在ABC的平分线上，5cmOB ，以O为圆心 3cm 为半径作圆，则O 与BC的位置关系是_ 【难度】2 星 【解析】结合直角三角形 30 所对直角边是斜边一半求出 O 到直线 BC 的距离，从而根据圆半径判断直线 与圆的位置关系，答案是相交 【答案】相交 2 如图，以等腰ABC中的腰AB为直径作O，交BC于点D过点D作DEAC，垂足为E （1）求证：DE为O的切线； （2）若O的半径为 5，60BAC，求DE的长 O E D C B AA B C D E O 【难度】3 星 【解析】 （1）证明：连接AD，OD AB是直径，90ADB，即ADBC 又ABAC，CDBD

27、，ODAC 又DEAC，ODDE DE是O的切线 （2）易知 33 105 3 22 ADAB 15 3 22 DEAD 【答案】见解析 1通过本堂课你学会了 2掌握的不太好的部分 3老师点评： 1 如图所示在Rt ABC中，90B，A的平分线交BC于D，E为AB上一点，DEDC， 以D 课后作业 总结复习 为圆心，以DB的长为半径画圆求证： （1）AC是D的切线； （2）ABEBAC E DC B A F E DC B A 【难度】3 星 【解析】略 【答案】 （1）如图所示，过点D作DFAC于F AB为D的切线，AD平分BAC， BDDF AC是D的切线； （2）在Rt BDE和RtDCF

28、中， BDDF，DEDC， BDEFDC EBFC 又ABAF ABEBAC 2 已知：如图，C为O上一点，DA交O于B，连结ACBC、，且DCBCAB求证： （1） DC为O的切线； （2） 2 CDAD BD O D C B A E A B C D O 【难度】3 星 【解析】略 【答案】 （1）连结OC并延长交O于E，连结BE 可知CE是O的直径，90CBE，90EBCE CABEDCBCAB，DCBE ， 90DCBBCE CE是直径，CD是O的切线 （2）DCBCABD，是公共角， BDCCDA， CDBD ADDC ，即 2 CDAD BD 【点评】不是所有证明切线的问题只要连半径就都能解决，例如此题，遇到圆周角的关系，只连半径就不 太好用了，就要变半径为直径“弦切角”已经从初中课本中删除，作为预习课我们这里也不作介 绍，如果学生水平较高，这里老师也可以稍微提一下