著名机构初中数学培优讲义直线与圆的位置关系.第03讲（A级）.学生版

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1、 内容 基本要求 略高要求 较高要求 直线与圆的位置 关系 了解直线与圆的位置关系；了解 切线的概念，理解切线与过切点 的半径之间关系；会过圆上一点 画圆的切线 能判定一条直线是否为圆的切 线；能利用直线和圆的位置关系 解决简单问题 能解决与切线有关 的问题 切线长 了解切线长的概念 会根据切线长知识解决简单问题 1理解直线与圆的位置关系； 2能够证明切线及利用切线解决相关问题 切线（tangent line ） 几何上， 切线指的是一条刚好触碰到曲线上某一点的直线。 更准确的说， 当切线经过曲线上的某点 （即 切点）时，切线的方向与曲线上该点的方向是相同的，此时，“切线在切点附近的部分”最接

2、近“曲线在切点 附近的部分”（无限逼近思想）。tangent 在拉丁语中就是 to touch 的意思。类似的概念也可以推广到平面相 切等概念中。 曲线切线和法线的定义 P 和 Q 是曲线 C 上邻近的两点，P 是定点，当 Q 点沿着曲线 C 无限地接近 P 点时，割线 PQ 的极限位 置 PT 叫做曲线 C 在点 P 的切线，P 点叫做切点；经过切点 P 并且垂直于切线 PT 的直线 PN 叫做曲线 C 在点 P 的法线（无限逼近的思想） 说明：平面几何中，将和圆只有一个公共交点的直线叫做圆的切线这种定义不适用于一般的曲线； PT 是曲线 C 在点 P 的切线，但它和曲线 C 还有另外一个交

3、点；相反，直线 l 尽管和曲线 C 只有一个交点， 但它却不是曲线 C 的切线 中考要求 重难点 课前预习 直线与圆的位置关系 模版一 直线与圆位置关系的确定 设O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线和圆的位置关系如下表： 位置关系 图形 定义 性质及判定 相离 l O d r 直线与圆没有公共点 dr直线l与O相离 相切 l O d r 直线与圆有唯一公共点，直线叫做 圆的切线，唯一公共点叫做切点 dr直线l与O相切 相交 l O d r 直线与圆有两个公共点，直线叫做 圆的割线 dr直线l与O相交 二切线的性质及判定 1. 切线的性质 （1） 定理：圆的切线垂直于过切点的半径 推论

4、 1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 推论 2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 （2） 注意：这个定理共有三个条件，即一条直线满足：垂直于切线过切点过圆心 过圆心，过切点垂直于切线AB过圆心，AB过切点M，则ABl 过圆心，垂直于切线过切点AB过圆心，ABl，则AB过切点M 过切点，垂直于切线过圆心ABl，AB过切点M，则AB过圆心 M B O l A 2. 切线的判定 （1） 定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； （2） 距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线； （3） 定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 注意：定理的题设是“经过半径外端”，“垂直

5、于半径”，两个条件缺一不可；定理的结论是“直 例题精讲 线是圆的切线”因此，证明一条直线是圆的切线有两个思路：连接半径，证直线与此半径垂 直；作垂直，证垂直在圆上 OOO AAAl l l 3. 切线长和切线长定理 （1） 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长 （2） 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切 线的夹角 三三角形的内切圆 1. 三角形的内切圆：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心， 这个三角形叫做圆的外切三角形 2. 多边形的内切圆： 和多边形的各边都相切

6、的圆叫做多边形的内切圆， 这个多边形叫做圆的外切多边形 3. 直角三角形内切圆的半径与三边的关系 c b a cb a O F E D CB A C B A CB A 设abc分别为ABC中ABC的对边，面积为S，则内切圆半径为 s r p ，其中 1 2 pabc若90C，则 1 2 rabc 【例1】 （2011成都）已知O的面积为 2 9 cm，若点O到直线l的距离为cm，则直线l与O的位置 关系是（ ） A相交 B相切 C相离 D无法确定 【巩固】 （2010湘西州）如果一个圆的半径是 8cm，圆心到一条直线的距离也是 8cm，那么这条直线和这 个圆的位置关系是（ ） A相离 B相交

7、C相切 D不能确定 【巩固】已知O 的半径为3cm，点P是直线l上一点，OP长为5cm，则直线l与O的位置关系为（ ） A相交 B相切 C相离 D相交相切相离都有可能 【巩固】ABC中，90C，3AC ，4BC 给出下列三个结论： （1）以点C为圆心，2.3 cm 长为半径的圆与AB相离； （2）以点C为圆心，2.4 cm 长为半径的圆与AB相切； （3）以点C为圆心，2.5 cm 长为半径的圆与AB相交； 则上述结论中正确的个数是（ ） A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 【拓展】已知：点P到直线L的距离为3，以点P为圆心，r为半径画圆，如果圆上有且只有两点到直线L 的距离均为2，则半径

8、r的取值范围是（ ） A1r B2r C24r D15r 【例2】 如图，在RtABC中，90C，30B，4BCcm，以点C为圆心，以2cm的长为半径作 圆，则C与AB的位置关系是（） A相离 B相切 C相交 D相切或相交 【巩固】如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，90C，且ABADBC，AB是O的直径，则 直线CD与O的位置关系为（ ） A相离 B相切 C相交 D无法确定 【巩固】正方形ABCD中，点P是对角线AC上的任意一点（不包括端点） ，以P为圆心的圆与AB相切， 则AD与P的位置关系是（ ） A相离 B相切 C相交 D不确定 【拓展】如图，矩形ABCG（ABBC）与矩形CDEF全

9、等，点BCD， ，在同一条直线上，APE的顶 点P在线段BD上移动，使APE为直角的点P的个数是（ ） A0 B1 C2 D3 【例3】 如图， 点P在y轴上，P交x轴于AB，两点， 连接BP并延长交P于C， 过点C的直线交x轴 于D，且P的半径为5，4AB 若函数 k y x （0x ）的图象过C点，则k的值是（ ） y xO P D C BA A4 B4 C2 5 D4 【巩固】已知在直角坐标系中，以点03A，为圆心，以3为半径作A，则直线2ykx（0k ）与A 的位置关系是（ ） A相切 B相交 C相离 D与k值有关 【例4】 如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为32，A的半径为 1，P

10、为x轴上一动点，PQ切 A点Q，则当PQ最小时，P点的坐标为（ ） y x P O Q A A （4，0） B （2，0） C （4，0）或（2，0） D （3，0） 【巩固】如图，在ABC中，15AB ，12AC ，9BC ，经过点C且与边AB相切的动圆与CB、CA 分别相交于点E、F，则线段EF长度的最小值是（ ） A 5 12 B 36 5 C 15 2 D8 B F E C A 【巩固】如图，已知 A、B 两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，C 的圆心坐标为(1，0)，半径为 1若 D 是C 上的一个动点，线段 DA 与 y 轴交于点 E，则ABE 面积的最小值是 A2 B1 C

11、2 2 2 D22 B（0,2） y xA（2,0） E O D C（-1,0） 模版二 切线的性质及判定 切线的性质 【例5】 如图，AB与O相切于点B，线段OA与弦BC垂直于点D，60AOB，4cmBC ，则切线 AB cm O D C B A 【巩固】如图，若O的直径AB与弦AC的夹角为30，切线CD与AB的延长线交于点D，且O的半 径为 2，则CD的长为（ ） A2 3 B4 3 C2 D4 A C D B O 【巩固】如图，P是半圆O的直径BC延长线上一点，PA切半圆于点A，AHBC于H，若1PA， 4PBPC，则PH _ P OHC B A 切线的判定 【例6】 如图所示，AB 是

12、O直径，OD弦BC于点F，且交O于点E，若AECODB 判断直线BD和O的位置关系，并给出证明； F E C O D BA 【巩固】 如图， 已知O的弦AB垂直于直径CD， 垂足为F， 点E在AB上， 且EAEC， 延长EC到点P， 连结PB，若PBPE，试判断PB与O的位置关系，并说明理由 O P F E D C B A 【巩固】已知：如图，ABC内接于O，AD是过A的一条射线，且BCAD 求证：AD是O的 切线 O D C B A 【巩固】 已知： 如图，AB是O的直径，C为O上一点，MN过C点，ADMN于D，AC平分DAB 求 证：MN为O的切线 O BA D C N M M N C D

13、 AB O 求线段长 【例7】 已知： 如图，ABC中，ABAC，PD是O的切线， 以AB为直径的O交BC于点P，PDAC 于点D若120CAB，2AB ，求BC的值 【巩固】 如图，在O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为E，连接AC， 将ACD沿AC翻折得到ACF， 直线FC与直线AB相交于点G若2OBBG，求CD的长 【巩固】 如图，O的直径13AC ， 弦12BC 过点A作直线MN， 使 1 2 B A MA O B 延长CB交MN 于点D，求AD的长 N M D B C O A 课堂检测 1 已知60ABC， 点O在ABC的平分线上，5cmOB ， 以O为圆心 3cm 为半径作圆， 则O

14、与BC 的位置关系是_ 2 如图，以等腰ABC中的腰AB为直径作O，交BC于点D过点D作DEAC，垂足为E （1）求证：DE为O的切线； （2）若O的半径为 5，60BAC，求DE的长 O E D C B A 1通过本堂课你学会了 2掌握的不太好的部分 3老师点评： 1 如图所示在Rt ABC中，90B，A的平分线交BC于D，E为AB上一点，DEDC，以D为 圆心，以DB的长为半径画圆求证： （1）AC是D的切线； （2）ABEBAC E DC B A F E DC B A 2 已知：如图，C为O上一点，DA交O于B，连结ACBC、，且DCBCAB求证： （1）DC 为O的切线； （2） 2 CDAD BD 课后作业 总结复习 O D C B A 3 如图，四边形ABCD内接于O，BD是O的直径，AECD，垂足为E，DA平分BDE （1）求证：AE是O的切线； （2）若301cmDBCDE，求BD的长 A BC D E O