著名机构初中数学培优讲义直线与圆的位置关系.第03讲（A级）.教师版

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1、 内容 基本要求 略高要求 较高要求 直线与圆的位置 关系 了解直线与圆的位置关系；了解 切线的概念，理解切线与过切点 的半径之间关系；会过圆上一点 画圆的切线 能判定一条直线是否为圆的切 线；能利用直线和圆的位置关系 解决简单问题 能解决与切线有关 的问题 切线长 了解切线长的概念 会根据切线长知识解决简单问题 1理解直线与圆的位置关系； 2能够证明切线及利用切线解决相关问题 切线（tangent line ） 几何上， 切线指的是一条刚好触碰到曲线上某一点的直线。 更准确的说， 当切线经过曲线上的某点 （即 切点）时，切线的方向与曲线上该点的方向是相同的，此时，“切线在切点附近的部分”最接

2、近“曲线在切点 附近的部分”（无限逼近思想）。tangent 在拉丁语中就是 to touch 的意思。类似的概念也可以推广到平面相 切等概念中。 曲线切线和法线的定义 P 和 Q 是曲线 C 上邻近的两点，P 是定点，当 Q 点沿着曲线 C 无限地接近 P 点时，割线 PQ 的极限位 置 PT 叫做曲线 C 在点 P 的切线，P 点叫做切点；经过切点 P 并且垂直于切线 PT 的直线 PN 叫做曲线 C 在点 P 的法线（无限逼近的思想） 说明：平面几何中，将和圆只有一个公共交点的直线叫做圆的切线这种定义不适用于一般的曲线； PT 是曲线 C 在点 P 的切线，但它和曲线 C 还有另外一个交

3、点；相反，直线 l 尽管和曲线 C 只有一个交点， 但它却不是曲线 C 的切线 中考要求 重难点 课前预习 直线与圆的位置关系 模版一 直线与圆位置关系的确定 设O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线和圆的位置关系如下表： 位置关系 图形 定义 性质及判定 相离 l O d r 直线与圆没有公共点 dr直线l与O相离 相切 l O d r 直线与圆有唯一公共点，直线叫做 圆的切线，唯一公共点叫做切点 dr直线l与O相切 相交 l O d r 直线与圆有两个公共点，直线叫做 圆的割线 dr直线l与O相交 二切线的性质及判定 1. 切线的性质 （1） 定理：圆的切线垂直于过切点的半径 推论

4、 1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 推论 2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 （2） 注意：这个定理共有三个条件，即一条直线满足：垂直于切线过切点过圆心 过圆心，过切点垂直于切线AB过圆心，AB过切点M，则ABl 过圆心，垂直于切线过切点AB过圆心，ABl，则AB过切点M 过切点，垂直于切线过圆心ABl，AB过切点M，则AB过圆心 M B O l A 2. 切线的判定 （1） 定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； （2） 距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线； （3） 定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 注意：定理的题设是“经过半径外端”，“垂直

5、于半径”，两个条件缺一不可；定理的结论是“直 例题精讲 线是圆的切线”因此，证明一条直线是圆的切线有两个思路：连接半径，证直线与此半径垂 直；作垂直，证垂直在圆上 OOO AAAl l l 3. 切线长和切线长定理 （1） 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长 （2） 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切 线的夹角 三三角形的内切圆 1. 三角形的内切圆：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心， 这个三角形叫做圆的外切三角形 2. 多边形的内切圆： 和多边形的各边都相切

6、的圆叫做多边形的内切圆， 这个多边形叫做圆的外切多边形 3. 直角三角形内切圆的半径与三边的关系 c b a cb a O F E D CB A C B A CB A 设abc分别为ABC中ABC的对边，面积为S，则内切圆半径为 s r p ，其中 1 2 pabc若90C，则 1 2 rabc 【例1】 （2011成都）已知O的面积为 2 9 cm，若点O到直线l的距离为cm，则直线l与O的位置 关系是（ ） A相交 B相切 C相离 D无法确定 【难度】1 星 【解析】设圆O的半径是r，根据圆的面积公式求出半径，再和点O到直线l的距离 比较即可 【答案】设圆O的半径是r， 则 2 9r， 3

7、r ， 点O到直线l的距离为， 3， 即：rd， 直线l与O的位置关系是相离， 故选C 【点评】 本题主要考查对直线与圆的位置关系的理解和掌握， 解此题的关键是知道当rd时相离； 当rd 时相切；当rd 时相交 【巩固】 （2010湘西州）如果一个圆的半径是 8cm，圆心到一条直线的距离也是 8cm，那么这条直线和这 个圆的位置关系是（ ） A相离 B相交 C相切 D不能确定 【难度】1 星 【解析】欲求圆与AB的位置关系，关键是求出点C到AB的距离d，再与半径r进行比较若dr，则 直线与圆相交；若dr，则直线于圆相切；若dr，则直线与圆相离 【答案】圆的半径是8cm，圆心到直线的距离也是8c

8、m， 直线与圆相切 故选C 【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离 d 与圆半径大小关 系完成判定 【巩固】已知O 的半径为3cm，点P是直线l上一点，OP长为5cm，则直线l与O的位置关系为（ ） A相交 B相切 C相离 D相交相切相离都有可能 【难度】1 星 【解析】直线和圆的位置关系与数量之间的联系： 若dr，则直线与圆相交；若dr，则直线于圆相切；若dr，则直线与圆相离 【答案】垂线段最短，圆心到直线的距离小于等于5 此时和半径3的大小不确定，则直线和圆相交相切相离都有可能 故选D 【点评】判断直线和圆的位置关系，必须明确圆心到直线的距离 特别注意

9、：这里的5不一定是圆心到直线的距离 【巩固】ABC中，90C，3AC ，4BC 给出下列三个结论： （1）以点C为圆心，2.3 cm 长为半径的圆与AB相离； （2）以点C为圆心，2.4 cm 长为半径的圆与AB相切； （3）以点C为圆心，2.5 cm 长为半径的圆与AB相交； 则上述结论中正确的个数是（ ） A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 【难度】2 星 【解析】此题是判断直线和圆的位置关系，需要求得直角三角形斜边上的高先过C作CDAB于D，根 据勾股定理得5AB ，再根据直角三角形的面积公式，求得2.4CD （1） ，即dr，直线和圆 相离，正确； （2） ，即dr，直线和圆相切，

10、正确； （3） ，dr，直线和圆相交，正确共有 3 个正确 【答案】 （1） ，dr，直线和圆相离，正确； （2） ，dr，直线和圆相切，正确； （3） ，dr，直线和圆相交，正确故选D 【点评】此题首先根据勾股定理以及直角三角形的面积公式求得直角三角形斜边上的高掌握直线和圆的 位置关系与数量之间的联系时解决问题的关键 【拓展】已知：点P到直线L的距离为3，以点P为圆心，r为半径画圆，如果圆上有且只有两点到直线L 的距离均为2，则半径r的取值范围是（ ） A1r B2r C24r D15r 【解析】首先要确定所画的圆与直线的位置关系根据题意可知，圆与直线有两种情况符合题意：当圆与 直线l外离时

11、，1r 即可；当圆与直线相交时，要求5r ，所以15r 【答案】根据题意可知，若使圆上有且只有两点到直线 L 的距离均为 2， 则当圆与直线l外离时，1r ； 当圆与直线相交时，5r ； 所以15r 故选D 【点评】此题主要考查了圆与直线的位置关系要掌握直线与圆的三种位置关系中各自的特点，并根据特 殊的位置关系求出相对应的半径的长度是解题的关键 【例2】 如图，在RtABC中，90C，30B，4BCcm，以点C为圆心，以2cm的长为半径作 圆，则C与AB的位置关系是（） A相离 B相切 C相交 D相切或相交 【难度】2 星 【解析】作CDAB于点D根据三角函数求CD的长，与圆的半径比较，作出判

12、断 【答案】作CDAB于点D 30B，4BCcm， 2CDcm，等于半径 AB与C相切 故选B 【点评】此题考查直线与圆的位置关系的判定方法通常根据圆的半径 R 与圆心到直线的距离 d 的大小判 断：当Rd时，直线与圆相交；当Rd时，直线与圆相切；当Rd时，直线与圆相离 【巩固】如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，90C，且ABADBC，AB是O的直径，则 直线CD与O的位置关系为（ ） A相离 B相切 C相交 D无法确定 【难度】2 星 【解析】要判断直线CD与O的位置关系，只需求得AB的中点到CD的距离，根据梯形的中位线定理进 行求解根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系进行判断：若dr

13、，则直线与圆相交；若 dr，则直线于圆相切；若dr，则直线与圆相离 【答案】作OECD于E ADBC，90C，OECD， ADOEBC， 又OAOB， DECE 2 ADBC OE 又ABADBC， 2 AB OE ， 即圆心到直线的距离小于圆的半径，则直线和圆相交 故选C 【点评】此题要利用梯形的中位线定理，得到圆心到直线的距离和圆的半径之间的数量关系，从而解决问 题 【巩固】正方形ABCD中，点P是对角线AC上的任意一点（不包括端点） ，以P为圆心的圆与AB相切， 则AD与P的位置关系是（ ） A相离 B相切 C相交 D不确定 【难度】2 星 【解析】根据正方形的对角线平分一组对角，以及角

14、平分线上的点到角两边的距离相等，得点P到AD的 距离等于点P到AB的距离 所以若以P为圆心的圆与AB相切， 则AD与P的位置关系是相切 【答案】点P到AD的距离等于点PP 到AB的距离，以P为圆心的圆与AB相切， AD与P的位置关系是相切 故选B 【点评】综合运用了正方形的性质和角平分线的性质 【拓展】如图，矩形ABCG（ABBC）与矩形CDEF全等，点BCD， ，在同一条直线上，APE的顶 点P在线段BD上移动，使APE为直角的点P的个数是（ ） A0 B1 C2 D3 【难度】3 星 【解析】要判断直角顶点的个数，只要判定以AE为直径的圆与线段BD的位置关系即可，相交时有 2 个 点，相切

15、时有 1 个，外离时有 0 个，不会出现更多的点 【答案】连接AEACCE，如图在AEC中，ABCCDE，90ACE，然后画出以AE为 直径半圆，发现存在的P点实际上有两个 【点评】本题主要是根据直径所对的圆周角是直角，把判定顶点的个数的问题，转化为直线与圆的位置关 系的问题来解决 【例3】 如图， 点P在y轴上，P交x轴于AB，两点， 连接BP并延长交P于C， 过点C的直线交x轴 于D，且P的半径为5，4AB 若函数 k y x （0x ）的图象过C点，则k的值是（ ） y xO P D C BA A4 B4 C2 5 D4 【难度】3 星 【解析】本题的关键是求出C点的坐标，由于BC是P的

16、直径，那么连接AC后三角形ACB就是直角三 角形，已知BC，AB的长，可通过勾股定理求出AC的值，那么即可得出C点的坐标，将C的坐 标代入反比例函数的解析式中即可求出k的值 【答案】连接AC，则ACAB，如图所示： y xO P D C BA 在RtABC中，4AB ，2 5BC ， 2AC ， OPAB，ACAB， ACOP， BPPC，4AB ， 2OAOB， C的坐标为22，将C的坐标代入 k y x （0k ）中，可得4kxy 故选 B 【点评】本题主要考查了用待定系数法求反比例函数的方法，难度适中，主要掌握用数形结合的思想求出 C点的坐标是解题的关键 【巩固】已知在直角坐标系中，以点

17、03A，为圆心，以3为半径作A，则直线2ykx（0k ）与A 的位置关系是（ ） A相切 B相交 C相离 D与k值有关 【解析】要判断直线2ykx（0k ）与A的位置关系，只需求得直线和y轴的交点与圆心的距离， 再根据点到直线的所有线段中，垂线段最短，进行分析 【答案】因为直线2ykx与 y 轴的交点是02B，所以1AB 则圆心到直线的距离一定小于 1，所以直线和A一定相交故选B 【点评】考查了直线和圆的位置关系与数量之间的联系 【例4】 如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为32，A的半径为 1，P为x轴上一动点，PQ切 A点Q，则当PQ最小时，P点的坐标为（ ） y x P O Q A A

18、（4，0） B （2，0） C （4，0）或（2，0） D （3，0） 【难度】3 星 【解析】此题根据切线的性质以及勾股定理，把要求PQ的最小值转化为求AP的最小值，再根据垂线段 最短的性质进行分析求解 【答案】连接AQ，AP 根据切线的性质定理，得AQPQ； 要使PQ最小，只需AP最小， 则根据垂线段最短，则作APx轴于P，即为所求作的点P； 此时P点的坐标是03， 故选D y x P O Q A 【点评】此题应先将问题进行转化，再根据垂线段最短的性质进行分析 【巩固】如图，在ABC中，15AB ，12AC ，9BC ，经过点C且与边AB相切的动圆与CB、CA 分别相交于点E、F，则线段E

19、F长度的最小值是（ ） A 5 12 B 36 5 C 15 2 D8 B F E C A 【难度】3星 【解析】取EF中点O，作OGAB于点G点，连接CO，当连接CG，根据COG三边关系 CGCOOG，当COG、 、三点共线时，直径EF取得最小值， 36 5 AC BC EF AB G O E B A F C 【答案】B 【巩固】如图，已知 A、B 两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，C 的圆心坐标为(1，0)，半径为 1若 D 是C 上的一个动点，线段 DA 与 y 轴交于点 E，则ABE 面积的最小值是 A2 B1 C 2 2 2 D22 B（0,2） y xA（2,0） E O D

20、 C（-1,0） 【难度】3 星 【解析】过E点作EHAB，ABE 面积的最小值，即EH最小，故BAE最小，EAO最大，即AD为 C的切线，ADCAOE，故 2212 22 2222 ABE OEBESBE AO， H C（-1,0） D O E A（2,0）x y B（0,2） H C（-1,0） D O E A（2,0）x y B（0,2） 【答案】C 模版二 切线的性质及判定 切线的性质 【例5】 如图，AB与O相切于点B，线段OA与弦BC垂直于点D，60AOB，4cmBC ，则切线 AB cm O D C B A 【题型】填空 【解析】略 【答案】4 【巩固】如图，若O的直径AB与弦A

21、C的夹角为30，切线CD与AB的延长线交于点D，且O的半 径为 2，则CD的长为（ ） A2 3 B4 3 C2 D4 A C D B O 【难度】2 星 【解析】根据切线的性质结合三角函数求线段长度，所以答案选 A 【答案】A 【巩固】如图，P是半圆O的直径BC延长线上一点，PA切半圆于点A，AHBC于H，若1PA， 4PBPC，则PH _ P OHC B A 【考点】切线的性质及判定，公共边型的相似问题 【题型】填空 【难度】3 星 【关键词】 【解析】连结AO， 22PBPCPCBCPCPCCOPO， 2PO ， PA是半圆的切线，AOPA， 又AHBC， 2 PAPH PO， 2 1

22、2 PA PH PO 【答案】 1 2 切线的判定 【例6】 如图所示，AB 是O直径，OD弦BC于点F，且交O于点E，若AECODB 判断直线BD和O的位置关系，并给出证明； F E C O D BA 【难度】3 星 【解析】倒角 AB D O C E F 【答案】AECODB，AECABC， ABCODBODBC， 90DBCODB90DBCABC 即90DBO直线BD和O相切 【巩固】 如图， 已知O的弦AB垂直于直径CD， 垂足为F， 点E在AB上， 且EAEC， 延长EC到点P， 连结PB，若PBPE，试判断PB与O的位置关系，并说明理由 O P F E D C B A 【难度】3

23、星 【解析】略 A B C D E F P O 【答案】连结OBAC、 PBPE，PEBPBE EAEC，ECAEAC，2BECBAC 2BOCBAC ，BOCBECPBE ABCD，90BOCFBO 90PBEFBO，即90PBO PB与O相切 【巩固】已知：如图，ABC内接于O，AD是过A的一条射线，且BCAD 求证：AD是O的 切线 O D C B A 【难度】3 星 【解析】略 O B D C B A 【答案】如图，过A作O的直径AB，连接CB AB为O直径， 90ACB，90BB AC， 又BB，BCAD BCAD ， 90CADB AC，即90B AD， OAAD AD为O切线 点

24、评：若已知直线与圆有公共点时，则连接圆心和公共点，只要证明这条直线垂直于经过这个公 共点的半径(有时候过这个公共点作直径更方便)即可 【巩固】 已知： 如图，AB是O的直径，C为O上一点，MN过C点，ADMN于D，AC平分DAB 求 证：MN为O的切线 O BA D C N M M N C D AB O 【难度】3 星 【解析】略 【答案】连结OC AC平分DAB， CADCAO OAOC，OCAOAC OCACAD ， ADOC ADMN， OCMN MN为O的切线 求线段长 【例7】 已知： 如图，ABC中，ABAC，PD是O的切线， 以AB为直径的O交BC于点P，PDAC 于点D若120

25、CAB，2AB ，求BC的值 【难度】2 星 【解析】连接AP，根据已知可求得BP的长，从而可求得BC的长 【答案】连接AP， AB是直径， 90APB； 2ABAC，120CAB， 60BAP， 3BP ， 2 3BC 【巩固】 如图，在O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为E，连接AC， 将ACD沿AC翻折得到ACF， 直线FC与直线AB相交于点G若2OBBG，求CD的长 【难度】3 星 【解析】连接OC，证OCFG即可根据题意AFFG，证FACACO 可得OCAF，从而 OCFG，得证；根据垂径定理可求CE后求解在RtOCG中，根据三角函数可得 60COG结合2OC 求CE，从而得解 【答案

26、】连接CO OAOC，12 由翻折得，13 ，90FAEC 23 ，OCAF 90OCGF 直线FC与O相切 在RtOCG中， 1 cos 22 OCOC COG OGOB ， 60COG 在RtOCE中， 3 sin6023 2 CEOC 直径AB垂直于弦CD， 22 3CDCE 【点评】此题考查了切线的判定、垂径定理、解直角三角形等知识点，难度中等 【巩固】 如图，O的直径13AC ， 弦12BC 过点A作直线MN， 使 1 2 B A MA O B 延长CB交MN 于点D，求AD的长 N M D B C O A 【解析】先证明AD为O的切线，然后利用相似 【答案】 1 2 BAMAOB=

27、ACB 90ABCABD ABCDBA ABAD BCAC ， 5 1213 AD 65 12 AD 1 已知60ABC， 点O在ABC的平分线上，5cmOB ， 以O为圆心 3cm 为半径作圆， 则O与BC 的位置关系是_ 【难度】2 星 【解析】结合直角三角形 30 所对直角边是斜边一半求出 O 到直线 BC 的距离，从而根据圆半径判断直线 与圆的位置关系，答案是相交 【答案】相交 2 如图，以等腰ABC中的腰AB为直径作O，交BC于点D过点D作DEAC，垂足为E （1）求证：DE为O的切线； （2）若O的半径为 5，60BAC，求DE的长 O E D C B AA B C D E O 【

28、难度】3 星 【解析】 （1）证明：连接AD，OD AB是直径，90ADB，即ADBC 又ABAC，CDBD，ODAC 又DEAC，ODDE DE是O的切线 （2）易知 33 105 3 22 ADAB 15 3 22 DEAD 【答案】见解析 1通过本堂课你学会了 课堂检测 总结复习 2掌握的不太好的部分 3老师点评： 1 如图所示在Rt ABC中，90B，A的平分线交BC于D，E为AB上一点，DEDC，以D为 圆心，以DB的长为半径画圆求证： （1）AC是D的切线； （2）ABEBAC E DC B A F E DC B A 【难度】3 星 【解析】略 【答案】 （1）如图所示，过点D作D

29、FAC于F AB为D的切线，AD平分BAC， BDDF AC是D的切线； （2）在Rt BDE和RtDCF中， BDDF，DEDC， BDEFDC EBFC 又ABAF ABEBAC 2 已知：如图，C为O上一点，DA交O于B，连结ACBC、，且DCBCAB求证： （1）DC 为O的切线； （2） 2 CDAD BD O D C B A E A B C D O 【难度】3 星 【解析】略 【答案】 （1）连结OC并延长交O于E，连结BE 可知CE是O的直径，90CBE，90EBCE CABEDCBCAB，DCBE ， 90DCBBCE CE是直径，CD是O的切线 （2）DCBCABD，是公共角

30、， 课后作业 BDCCDA， CDBD ADDC ，即 2 CDAD BD 点评：不是所有证明切线的问题只要连半径就都能解决，例如此题，遇到圆周角的关系，只连半 径就不太好用了，就要变半径为直径“弦切角”已经从初中课本中删除，作为预习课我们这里也 不作介绍，如果学生水平较高，这里老师也可以稍微提一下 3 如图，四边形ABCD内接于O，BD是O的直径，AECD，垂足为E，DA平分BDE （1）求证：AE是O的切线； （2）若301cmDBCDE，求BD的长 A BC D E OO E D CB A 【难度】3 星 【解析】略 【答案】 （1）证明：连接OA，DA平分BDE，BDAEDA OAOD，ODAOAD OADEDA OACEAEDE，90AED，90OAEDEA AEOA AE是O的切线 （2）BD是直径，90BCDBAD 30DBC，60BDC 120BDE DA平分BDE，60BDAEDA 30ABDEAD 在R t A E D中，90AED，30EAD， 2ADDE 在R t A B D 中，90BAD，30ABD，24BDADDE DE的长时1cm，BD的长是4cm