著名机构初中数学培优讲义直线、射线、线段.第02讲（A级）.教师版

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1、 内容内容 基本要求基本要求 略高要求略高要求 较高要求较高要求 直线、射线、线直线、射线、线 段段 会表示点、线段、射线、直线， 知道它们之间的联系和区别；结 合图形理解两点之间的距离的概 念；会比较两条线段的大小，并 能进行与线段有关的简单计算 会用尺规作图：做一条线段等于 已知线段，做已知线段的垂直平 分线；会用线段中点的知识解决 简单问题；结合图形认识线段间 的数量关系 会运用两点间的 距离解决有关问 题 直线、射线、线段的概念：直线、射线、线段的概念： 在直线的基础上定义射线、线段： 直线上的一点和这点一旁的部分叫射线，这个点叫做射线的端点 直线上两点和中间的部分叫线段，这两个点叫线

2、段的端点 在线段的基础上定义直线、射线： 把线段向一方无限延伸所形成的图形叫射线， 把线段向两方无限延伸所形成的图形是直线 点与直线的关系：点与直线的关系：点在直线上；点在直线外 两个重要公理：两个重要公理： 经过两点有且只有一条直线，也称为“两点确定一条直线” 两点之间的连线中，线段最短，简称“两点之间，线段最短” 两点之间的距离：两点之间的距离：两点确定的线段的长度 点的表示方法：点的表示方法：我们经常用一个大写的英文字母表示点：A，B，C，D， 直线的表示方法：直线的表示方法： 用两个大写字母来表示，这两个大写字母表示直线上的点，不分先后顺序，如直线 AB，如下图 也可以写作直线 BA

3、(1) (2) lAB 用一个小写字母来表示，如直线l，如上图 注意：注意：在直线的表示前面必须加上“直线”二字；用两个大写字母表示时字母不分先后顺序 射线的表示方法：射线的表示方法： 用两个大写字母来表示第一个大写字母表示射线的端点，第二个大写字母表示射线上的点如射 线 OA，如图，但不能写作射线 AO 用一个小写字母来表示，如射线l，如图 例题精讲 中考要求 直线、射线、线段 (3) (4) lAO 注意：注意：在射线的表示前面必须加上“射线”二字用两个大写字母表示射线时字母有先后顺序，射线的 端点在前 线段的表示方法：线段的表示方法： 用两个大写字母来表示，这两个大写字母表示线段的两个端

4、点，无先后顺序之分，如线段 AB，如 图，也可以写作线段 BA 也可以用一个小写字母来表示：如线段l，如图 (5) (6) lAB 注意：注意：在线段的表示前面必须加上“线段”二字用两个大写字母表示线段时字母不分先后顺序 直线、射线、线段的主要区别：直线、射线、线段的主要区别： 类型 端点 延长线及反向延长线 用两个大写字母表示 直线 0个 无 无顺序 射线 1个 有反向延长线 第一个表示端点 线段 2个 两者都有 无顺序 中点：中点：把线段分成两条相等的线段的点叫做这条线段的中点 模块一 直线、射线、线段的概念 【例1】 下列说法正确的是（ ） A. 直线上一点一旁的部分叫做射线 B. 直线

5、是射线的 2 倍 C. 射线AB与射线BA是同一条射线 D. 过两点PQ、可画出两条射线 【解析】略 【答案】A 【巩固】下列说法中正确的是（ ） A. 直线的一半是射线 B. 延长线段AB至C，使BCAB C. 从北京到上海火车行驶的路程就是这两地的距离 D. 三条直线两两相交，有三个交点 【解析】略 【答案】C 【例2】 下列语句准确规范的是( ) A. 直线ab、相交于一点m B. 延长直线AB C. 反向延长射线AO (O是端点) D. 延长线段AB到C，使BCAB 【解析】略 【答案】D 【巩固】下面说法中错误的是( ) A. 直线AB和直线BA是同一条直线 B. 射线AB和射线BA

6、是同一条射线 C. 线段AB和线段BA是同一条线段 D. 把线段AB向两端无限延伸便得到直线BA 【解析】略 【答案】B 【巩固】下列叙述正确的是（ ） A孙悟空在天上画一条十万八千里的直线 B笔直的公路是一条直线 C点A一定在直线A B上 D过点A、B可以画两条不同的直线，分别为直线A B和直线B A 【解析】略 【答案】C 【例3】 根据直线、射线、线段各自的性质，如下图，能够相交的是（ ） D. C. D C BA D C BA B. D C BA A. DC B A 【解析】略 【答案】B 【巩固】下列四个图形中各有一条射线和一条线段，它们能相交的是（ ） D. C. B.A. 【解析

7、】略 【答案】C 【巩固】下列叙述正确的是( ) A可以画一条长5cm的直线 B一根拉紧的线是一条直线 C直线 AB 经过 C 点 D直线 AB 与直线 BA 是不同的直线 【解析】略 【答案】C 【例4】 如图所示根据要求作图：连结 AB；作射线 AC；作直线 BC A B C 【解析】略 【答案】如图 A B C 模块二 直线公理 公理：两点确定一条直线 【例5】 如图，图中共有 条线段. EDFCBA 【解析】1234515. 【答案】15 【巩固】平面上有三个点，经过两点画一条直线，则可以画几条直线? 【解析】略 【答案】1 条或 3 条. 模块三 线段的相关计算 【例6】 如图所示，

8、M是线段A B的中点，则 1_ 2 AM，2 _ _ _ _ _2 _ _ _ _ _A B ABM 【解析】 1 2 AMAB，22A BA MB M 【答案】AM；AM；BM 【巩固】判断：若3 c mA BB C ，则说明B是A C的中点 【解析】错误，如图，虽然3 c mA BB C ，但B不是A C的中点，要明确点B把线段A C分成两条相等 的线段才可 【答案】错误 A BC 【巩固】判断：已知A，B，C三点在同一条直线上， 1 2 ACAB，那么C是A B的中点 【解析】错误，几何中的题目如果无图，要特别注意读准题意，适时分类求解 如下图，均满足题意 【答案】错误 (1) (2)

9、AABBCC 【例7】 如图， 已知线段AB上依次有三个点C D E， ，把线段AB分成2:3:4:5四个部分，56AB ， 求BD 的长度. E DCBA 【解析】根据题意可设2345ACx CDx DEx EBx， 所以有：1456436ABACCDDEEBxxBDDEEB，. 【答案】36 【巩固】已知14cmAD ，B C，是AD上顺次两点，且:2:3:2AB BC CD ，E为AB的中点，F为CD 的中点，求EF的长. EDFCB A 【解析】设2ABx，3BCx，2CDx，23214xxx，2x ，510EFx 【答案】10 【例8】 如图， 已知线段A B上依次有三个点,C D

10、E把线段A B分成2:3:4:5四个部分，, , ,M PQN分 别是,A C C D D EE B的中点，若21,MN 求P Q的长度. NEQDPMCBA 【解析】根据题意可设234510.52123.57ACx CDx DEx EBx MNxxPQx， 【答案】7 【巩固】 摄影组从A市到B市有一天的路程， 计划上午比下午多走 100 千米到C市吃饭， 由于堵车， 中 午 才赶到一个小镇，只行驶了原计划的三分之一，过了小镇，汽车赶了 400 千米，傍晚才停下来休 息，司机说，再走从C市到这里路程的二分之一就到达目的地了，问A B，两市相距多少千米？ EDCBA 【解析】根据题意画图，D为

11、中午赶到的小镇，E为傍晚赶到的地方， 根据题意可得： 11 400 22 ADDC BECE DE， 所以有 111 200 222 ADBEDCCEDE， 则600ABADDEEB（千米）. 【答案】600 千米 模块四 两点之间线段最短 【例9】 从家到学校共有3条路可以走，如图所示，若想走最近的路，应选择 （填序号）. 这是根据 学校 家 【解析】略 【答案】；两点之间，线段最短. 【例10】 如图，已知A B，在直线l的两侧，在l上求一点P，使PAPB最小； B A l 图1 【解析】如图，连接,AB，A B与l的交点即为所求的P点，利用“两点之间线段最短”， 教师不妨可在 其他出处取

12、一点P，显然A PB PA B . PP B A l 图1-1 【答案】如图 PP B A l 图1-1 【巩固】如图，有一个正方体的盒子 1111 ABCDABC D，在盒子内的顶点A处有一只蜘蛛，而在对角的顶 点 1 C处有一只苍蝇。蜘蛛应沿着什么路径爬行，才能在最短的时间内捕捉到苍蝇？（假设苍蝇在 1 C处不动） 图3 D1 C1 B1 A1 D C BA 【解析】把盒面展开，使包含点A和 1 C的两个盒面在同一平面内，如图 3-1 是其中的一种，根据两点之间 线段最短，只要连接 1 A C即可，设 1 A C与 1 B B交于点B，则A B BC就是最短路线. B 图3-1 C1 B1

13、A1 CB A 【答案】把盒面展开，使包含点A和 1 C的两个盒面在同一平面内，如图 3-1 是其中的一种，根据两点之间 线段最短，只要连接 1 A C即可，设 1 A C与 1 B B交于点B，则A B BC就是最短路线. B 图3-1 C1 B1A1 CB A 板块六 线段长度总和 数线段： ana3a2a1 如果直线上有n个点（含有(1)n 条基本线段，把相邻两点间的线段叫做基本线段） ， 直线上的线段条数为： ( 1 ) ( 1 )( 2 )321 2 nn nn （条）. 【例11】 如图， 直线上有三个不同的点A B C， ， 且A B A C， 那么到A B C， ，三点距离的和

14、最小的点 （ ） A是B点 B是线段AC的中点 C是线段AC外的一点 D有无穷多个 C B A 【解析】略 【答案】A 【巩固】如图，C是线段AB上一点，D是线段CB的中点，已知图中所有线段的长度之和为23，线段AC 的长度和线段CB的长度都是正整数，则线段AC的长度为_。 DCB A 【解析】 设线段ACx CBy， 则有 7 22 y ADxDB， 于是有 7 323 2 xy。 上式中x y，均为正整数， 故y为偶数，又当6y时， 7 323 2 xy，故y只能取2或 4，当2y 时， 16 3 x 不是整数；于 是4y ，3x 。 【答案】3 【例12】 如图，线段1AB BC CD

15、DE厘米，那么图中所有线段长度之和等于多少厘米？ EDCBA 【解析】所有线段和为：466420AB BC CD DE 【答案】20 【巩固】已知C D E， ，是线段AB上顺次三点，1234ACCDDEEB，则这个图形中所有线段的 长度之和为多少？ 【解析】所有线段和为：46644 162634450ACCDDEEB 【答案】50 【例13】 一条直线从左到右依次排列着 2004 个点: 122004 PPP， ， ，已知点 k P是线段 11kk PP 的等分点中最靠 近 1k P 的那个分点22003k .例如，点 5 P就是线段 46 P P的五等份点中最靠近 6 P的那个点，如 果线

16、段 12 PP的长度是 1，线段 20032004 PP的长度为L，求证: 2001 1 2 3 L P4P3 P2P1 【解析】略 【答案】由题意， 2 P应是 13 PP的二等份点，所以 1223 1PPP P， 3 P应是 24 P P的三等分点中最靠近 4 P的那个 点， 所以 3423 11 22 PPP P一般地， k P是 11kk PP 的k等份点中最靠近 1k P 的那个点， 所以 11111 11 kkkkkkkk P PPPPPP P kk 移项化简得: 11 11 kkkk k P PPP kk 即 11 1 1 kkkk P PPP k 试看4 5 6k ，具体情 有

17、: 453456456756 111111 332443255432 P PPPPPP PP PPP ， 依次类推得， 2003200420022003 11 20022002200132 PPPPL 所以 2001 11 2 2002200133 L 【例14】 C是线段AB的中点，D是线段CB上的一点，如图所示，若所有线段的长度都是正整数，且线 段AB的所有可能数的乘积等于 140，则线段AB的所有可能的长度的和等于_ _ _ _ _ . DC B A 【解析】因为所有线段的长为正整数，且C是AB的中点，设CB的长度为x，则有24xABx2， (x 是正整数)又1402257 ，且140是

18、线段AB的所有可能的长度的乘积，所以 10AB 或 14AB .故AB的所有可能长度的和为101424. 【巩固】如图，已知B是线段AC上一点，M是线段AB的中点，N是线段AC的中点，P为NA的中点， Q为MA的中点，则:MN PQ等于（ ） A1 B2 C3 D4 NM Q PCBA 【解析】略 【答案】B 【巩固】如图，A是直线上的一个点，请你在A点的右侧每隔 1 厘米取一个点，共取三个点，那么， （1）用B C D， ，三个字母任意标在所取的三个点上，一共有_中不同标法； （2）在每种标法中，ABBCCD的长度与AD的长度的比分别是_。 【解析】 （1）将B C D， ，三个字母任意标在

19、所取的三个点上，第一个点有 3 种标法，第二个点有 2 种标法， 第三个点有 1 中标法，所以共有32 16 种标法。 （2）下面是 6 种标法： ABCDABCD ABCDABCD ABCDDCBA 中，:1 1 1 :3 1:1ABBCCDAD 中，:12 1 :22:1ABBCCDAD 中，:2 1 2 :35:3ABBCCDAD 中，:32 1 :23:1ABBCCDAD 中，:2 12 :15:1ABBCCDAD 中，:3 1 1 :15:1ABBCCDAD 板块七 线段长短比较 （1）叠合法：比较两条线段AB、CD的长短，可把它们移到同一条直线上，使一个端点A和C重合， 另一个端点

20、B和D落在直线上A（或C）的同侧，若点B、D重合，则ABCD；若D 在线段AB上，则ABCD；若D在线段AB外，则ABCD。 (D) (C) B A(C)D B A (C)DBA （2）度量法：分别度量出每条线段的长度，再按长度的大小，比较线段的大小，线段的大小关系和它 们长度的大小关系是一致的。 【例15】 如图，线段 3 2 2 ABBC DAAB，M是AD中点，NN是AC中点，试比较MN和ABNB的大小. 小. NMDCBA 【解析】略 【答案】 23BCx ABx ADx， 111 3 222 MNADACABx 2322.5ABNBxxxx MNABNB 【巩固】如图，已知B，C是线

21、段AD上的任意两点，M是AB的中点，N是CD的中点， 请你说明：2MNBCAD. ABCDMN 【解析】略 【答案】根据题意可得：2 () ( )MNMNMBBCCNMNAMNDBCBCAD . 如图，C是A B上任意一点，D是A C的三等分点，E是B C的三等分点，1 2A Bc m，求D E的长度. ABCDE 【解析】 222 8cm 333 DEACBCAB 【答案】8cm 课后作业 . 如图，已知,AB在直线的同侧，在l上求一点P，使PAPB最小； B A l 图2 【解析】如图，作B关于l的对称点B，连接AB交l于点P，即为所求的点！教师可以另取任意一点P， 向学生说明为什么这样的

22、情况下符合提议！ B PP B A l 图2-1 【答案】如图，P点即为所求 B PP B A l 图2-1 . 如图，B C D， ，依次是线段AE上三点，已知8.9cmAE ，3cmDB ，则图中所有线段长度之和是 多少？ EDCBA 【解析】4241.6cmABACADAEBCBDBECDCEDEAEBD 【答案】41.6cm . 已知： 如图，ABC中，D，E，F，G均为BC边上的点， 且BDCG， 1 2 DEGFBD，3EFDE， 若1 ABC S，则图中所有三角形的面积之和为 A D E F G CB 【解析】如图所示的所有三角形均以A为一个顶点，一个底边在B C上，因此所有三角形都具有相等的高， 于是可将计算所有三角形面积之和的问题转化为计算B C上所有线段长度之和的问题因为所有 线段长之和是B C的n倍， 则图中所有三角形面积之和就是 A B C S 的n倍 设D E F G x，2B DC G x ，3EFx，9BCx 图中共有123451 5 个三角形，则它们在线段B C上的底边之和为： ( ) ( ) ( ) ( ) BCBDDC BEEC BFFC BGGC ()() DG DE EG DF FG EF 95533xxx 63x 已知1 ABC S，故图中所有三角形的面积之和为7 【答案】7