著名机构初中数学培优讲义整式加减与找规律.第02讲（A级）.教师版

《著名机构初中数学培优讲义整式加减与找规律.第02讲（A级）.教师版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《著名机构初中数学培优讲义整式加减与找规律.第02讲（A级）.教师版（14页珍藏版）》请在七七文库上搜索。

1、 内容内容 基本要求基本要求 略高要求略高要求 较高要求较高要求 代数式代数式 了解代数式的值概念 会求代数式的值,能根据代数式的值或 特征,推断这些代数式反映的规律 能根据特定的问题 所提供的资料,合理 选用知识和方法,通 过代数式的适当变 形求代数式的值. 整式整式有关概念有关概念 了解整式及其有关概念 整式的加减运算整式的加减运算 理解整式加减运算法则 会进行简单的整式加减运算 能用整式的加减运 算对多项式进行变 型,进一步解决有关 问题. 1. 能根据图，表，数，式中的排列特征，探究期中蕴藏的数式规律 德国著名大科学家高斯(17771855)出生在一个贫穷的家庭.高斯在还不会讲话就自己

2、学计算，在三 岁时有一天晚上他看着父亲在算工钱时，还纠正父亲计算的错误. 长大后他成为当代最杰出的天文学家、数学家。他在物理的电磁学方面有一些贡献，现在电磁学的一个单 位就是用他的名字命名。数学家们则称呼他为“数学王子”. 他八岁时进入乡村小学读书。 教数学的老师是一个从城里来的人， 觉得在一个穷乡僻壤教几个小猢狲读书， 真是大材小用。而他又有些偏见：穷人的孩子天生都是笨蛋，教这些蠢笨的孩子念书不必认真，如果有机 会还应该处罚他们，使自己在这枯燥的生活里添一些乐趣. 这一天正是数学教师情绪低落的一天。同学们看到老师那抑郁的脸孔，心里畏缩起来，知道老师又会在今 天捉这些学生处罚了. “你们今天替

3、我算从 1 加 2 加 3 一直到 100 的和.谁算不出来就罚他不能回家吃午饭。”老师讲了这句话 中考要求 重难点 课前预习 规律探索 后就一言不发的拿起一本小说坐在椅子上看去了. 教室里的小朋友们拿起石板开始计算：“1 加 2 等于 3，3 加 3 等于 6，6 加 4 等于 10”一些小朋友加 到一个数后就擦掉石板上的结果，再加下去，数越来越大，很不好.。有些孩子的小脸孔涨红了，有些手 心、额上渗出了汗来. 还不到半个小时，小高斯拿起了他的石板走上前去.“老师，答案是不是这样？” 老师头也不抬，挥着那肥厚的手，说：“去，回去再算！错了。”他想不可能这么快就会有答案了. 可是高斯却站着不动

4、，把石板伸向老师面前：“老师！我想这个答案是对的.” 数学老师本来想怒吼起来，可是一看石板上整整齐齐写了这样的数：5050，他惊奇起来，因为他自己曾经 算过，得到的数也是 5050，这个 8 岁的小鬼怎么这样快就得到了这个数值呢？ 高斯解释他发现的一个方法，这个方法就是古时希腊人和中国人用来计算级数 1+2+3+n 的方法。高斯 的发现使老师觉得羞愧，觉得自己以前目空一切和轻视穷人家的孩子的观点是不对的。他以后也认真教起 书来，并且还常从城里买些数学书自己进修并借给高斯看。在他的鼓励下，高斯以后便在数学上作了一些 重要的研究了 模块一 规律探索 在解数学题时，往往从特殊的，简单的，局部的事例出

5、发，探求一般的规律；或者从现有的结论，信 息，通过观察，类比，联想，进而猜想未知领域的奥秘，这种思想方法叫归纳猜想. 归纳猜想是学习和研究数学的最基本而又十分重要的方法它能使复杂问题简单化，抽象问题具体化， 是探索解题思路的有效方法，也是科学发展史上的一种重要的方法. 注释：归纳猜想是建立在细致而深刻的观察基础上，解题中观察活动主要有三条途径； 1. 从数与式的特征观察； 2. 从几何图形的结构观察； 3. 通过对简单，特殊情况的观察，再推广到一般情况. 规律类的中考试题，无论在素材的选取、文字的表述、题型的设计等方面都别具一格，令人耳目一新，其 目的是继续考察学生的创新意识与实践能力，在往年

6、“数字类”、“计算类”、“图形类”的基础上，今年又推 陈出新，增加了“设计类”与“动态类”两种新题型，现将今年中考规律类中考试题分析如下： 一、一、 设计类设计类 【例1】 将连续的自然数 1 至 36 按如图的方式排成一个长方形阵列，用一个长方形任意圈出其中的 9 个 数，设圈出的 9 个数的中心的数为a，用含有a的代数式表示这 9 个数的和为 . 例题精讲 【难度】1 星 【解析】解决本题的关键是认真审题，仔细观察图形，找数字之间的关系，发现规律，利用代数式的规律 命题是近年来代数式命题的热点. 本题主要考察列代数式，寻找长方形中 9 个数之间的大小关系，若中心数为a，则a上方的数可记 为

7、6a ，下方的数记为6a ,左边的数记为1a ，右边的数记为1a ，左上方的数记为7a ， 右上方的数记为5a ，左下方的数记为5a ，右下方的数记为7a ，所以这九个数相加的和为 9a. 【答案】9a 【例2】 观察算式： 222 2 2 11 ;1 32 ;1 353 ; 1 357164 ; 1 3579255 用代数式表示这个规律（n 为正整数）1 357921n =_ 【难度】1 星 【解析】用代数式表示数的规律，要认真观察特例，然后有特殊得到一般规律，特别注意n的表示意义. 认真观察已知等式的数字变化规律，左边为从 1 开始的连续奇数的和，右边为数字个数的平方. 【答案】 2 n

8、【例3】 某体育馆用大小相同的长方形木块镶嵌地面，第 1 次铺 2 块，如图（1） ；第 2 次把第 1 次铺的完 全围起来，如图（2）所示；第 3 次把第 2 次铺的完全围起来，如图（3） 依此方法，第n次铺完后，用字母n表示第n次镶嵌所使用的木块数为_ 【难度】1 星 【解析】由图可知，可列表 由上表发现， 后面每次镶嵌的木块都比前一次增加 8 块， 即第n次镶嵌木块数为28186nn 次 数 1 2 3 木 块 数 2 10 18 （块）观察图形变化可找规律，从表格中数量变化也可寻找规律，因此可以从“数” “形”两方面解 决此类问题。 【答案】86n 【例4】 如图所示，下列每个图形都是

9、由若干枚棋子围成的正方形图案，图案的每条边(包括两个顶点)上 都有n2n枚棋子，每个图案中棋子总数为s，则s与n之间的关系可以表示为 . 【难度】1 星 【解析】由图(1)可知，2,4ns；由图（2)可知，3,444 2ns；由图(3)可知， 4,4444 3ns；由图可知，5,44444 4ns，s与n之间的关系可用 式子 41sn表示. 【答案】41sn 巩固练习 1. 如图（1）所示的是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图（2） ，再分别连接图（2）中间 的小三角形三边的中点，得到图（3） ，按此方法继续连接，请你根据每个图中三角形的个数的规律完成 下列问题. （1）将下表填写

10、完整； 图形编号 （1） （2） （3） （4） （5） 三角形个数 1 5 9 （2）在第n个图形中有 个三角形.(用含n的式子表示) 【难度】1 星 【解析】略 【答案】(1)13,17 (2)43n 2. (09 梅州市） 如图，每一幅图中有若干个大小不同的菱形，第 1 幅图中有 1 个，第 2 幅图中有 3 个， 第 3 幅图中有 5 个，则第 4 幅图中有 个，第 n 幅图中共有 个 【难度】2 星 【解析】略 【答案】7，21n 3. （2007 湖南湘潭）为庆祝“六 一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛如图所示： 按照上面的规律，摆n个“金鱼”需用火柴棒的根数为（ ）

11、A26n B86n C44n D8n 【难度】1 星 【解析】由图知,一个金鱼要 8 根火柴,两个金鱼要 14 根火柴,三条金鱼要 20 根火柴,以此类推彼此差 6,所 以n个金鱼要26n根火柴 【答案】A 4. （2007 广西河池非课改）填在下面三个田字格内的数有相同的规律，根据此规律，C = . C B A5 567 5 3 20 5 31 【难度】2 星 【解析】观察法知,四方框左上角的数成1,3,5,721n排列,右上角的数成3,5,7,921n排列,左下角的 数成5,7,922n排列.那么右下角的数是四方框第一行两个数的和与左下角数的乘积.所以 7,9,579108ABC 【答案】

12、108 第 1 幅 第 2 幅 第 3 幅 第 n 幅 5. （ 09 梧 州 市 ） 图 （ 3 ） 是 用 火 柴 棍 摆 成 的 边 长 分 别 是 1 ， 2 ， 3 根 火 柴 棍 时 的 正 方 形 当边长为n根火柴棍时，设摆出的正方形所用的火柴棍的根数为s，则s （用n的代数式 表示s） 【难度】2 星 【解析】 观察法,由图知边长为 1 的正方形要火柴 4 根,边长为 2 的正方形要火柴 12 根,边长为 3 的正方形要 火柴 24 根,以此类推答案是2 (1)n n 【答案】2 (1)n n 二、 数字类 【例5】 按照规律填上所缺的单项式并回答问题： (1)a、 2 2a、

13、 3 3a、 4 4a，_，_； (2)试写出第 2007 个和第 2008 个单项式 (3) 试写出第 n 个单项式 【难度】1 星 【解析】略 【答案】(1) 56 5,6aa (2) 20072008 2007,2008aa (3) 1 1 n n na 【例6】 观察下列顺次排列的等式： 2222 1 3321,3 51541,5 73561,7 96381 ，猜想：第 n 个等式 （n 为正整数）应为 【难度】1 星 【解析】观察法解此题.根据前面的式子知第一项与第二项的乘积等于他们中间项的平方减 1 所以答案是 2 212121nnn 【答案】 2 212121nnn 图（3） n

14、=1 n=2 n=3 【例7】 第 3 页写 3、4、5，依此规则，即第n页从n开始，写n个连续正整数求他第一次写出数字 1000 是在第几页？（ ） A.500 B. 501 C.999 D.1000 【难度】2 星 【解析】第 1 页 1 第 2 页 2、3 第 3 页 3、4、5 第 4 页 4、5、6、7 第n页 则第 500 页开始，从 500 写到 500+（500-1）=999 第 501 页开始，从 501 写到 501+（501-1）=1001 数字 1000 在第 501 页第一次出现 故选择 B 【答案】B 总结: 本题主要考查通过分析各页写的数的变化归纳总结规律，解题的

15、关键在于找到每一页上所写的数是 从几到几变化的 巩固练习 6. 已知2 1 2 2 1 2 4 3 4 4 3 4 3 2 3 3 2 3 ，若1010 b a b a （a，b 都是正整数） ，则 a+b 的 最小值是_ 【难度】1 星 【解析】通过观察已有的三个等式，其左边的一个因式的分母比分子小 1，另一个因式就是第一个因式的 分子；而右边的两个加数又分别为左边的两个因数。通过观察知满足条件的109ab，。所以 应填 19 【答案】19 【变形】已知： 2 22 22 33 ， 2 33 33 88 ， 2 44 44 1515 ， 2 55 55 2424 ，若 2 1010 bb a

16、a 符合前面式子的规律，则ab的值为 A179 B140 C109 D210 【难度】2 星 【解析】略 【答案】C 7. （2007 四川自贡）一个叫巴尔末的中学教师成功地从光谱数据 5 9 ， 12 16 ， 21 25 ， 32 36 ，中得到巴尔末公 式，从而打开了光谱奥秘的大门，请你按照这种规律，写出第n（n1）个数据是_ 【难度】2 星 【解析】每个分数的分子之间都是成 2 3nn且n为正整数排列,且每个分数的分子与分母差 4,所以答案 是 )4( )2( 2 nn n 或 4)2( )2( 2 2 n n 【答案】 )4( )2( 2 nn n 或 4)2( )2( 2 2 n

17、n 8. （09 崇文）一组按规律排列的数：2，0，4，0，6，0，其中第 7 个数是 ， 第n个数是 （n为正整数） 【难度】2 星 【解析】观察法,数字规律按奇偶分开,偶数位的都是 0,奇数位成偶数排列,所以答案是 8, 2 0 nn n 是奇数 是偶数 【答案】8, 2 0 nn n 是奇数 是偶数 9. 观察下列等式： 第一行 34-1 第二行 59-4 第三行 716-9 第四行 925-16 第五行 1136-25 按照上述规律，第 n 行的等式为 . 【难度】1 星 【解析】等式左边是成奇数排列,右边是比这个奇数小两位的那两数的平方差,所以答案是 2 2 211nnn 【答案】

18、2 2 211nnn 10. 下面是一个三角形数阵： 1-第 1 行 2 3 -第 2 行 4 5 6-第 3 行 7 8 9 10-第 4 行 根据该数阵的规律,第 8 行第 2 个数是 【难度】2 星 【解析】由图知每行的数的个数与行数是相同的,所以每行最后一个数是前面行数数的和,到第 7 行的最后 一个数应该是 28,故答案是 30. 【答案】30 11. （2007 山东威海）观察下列等式： 22 39 41401， 22 48 52502， 22 56 64604， 22 65 75705， 22 83 97907 请你把发现的规律用字母表示出来：m n 【难度】2 星 【解析】观察

19、法知,前面两个数的乘积等于他两数的和的平均的平方减去这两个数差得平均的平方.所以答 案是 22 22 mnmn 【答案】 22 22 mnmn 模块二 新型题 【例8】 (2007 湖北潜江）根据下列图形的排列规律，第 2008 个图形 是 (填序号即可). (；.) ; 【难度】1 星 【解析】观察法看图知选 【答案】 【例9】 定义一种新运算： 1 2 abab，那么 4*（-1）= 【难度】1 星 【解析】根据题意可知，该运算是a的一半与b的差 【答案】3 巩固练习 12. 现定义一种新运算：，对于任意整数 a、b，有 ab=a+b-1，求 4（68）（35）的值 【难度】1 星 【解析

20、】ab=a+b-1 4（68）（35） =4（6+8-1）（3+5-1） =4（137） =4（13+7-1） =419=4+19-1=22 【答案】22 13. 用“”、 “”定义新运算： 对于任意实数 a， b， 都有 ab=a 和 ab=b， 例如 32=3， 32=2 则 （20102009）（20072008）的值是 . 【难度】1 星 【解析】：（20102009）（20072008） ， =20102008， =2010 故答案为 2010 【答案】2010 【练习 1】（2011重庆）下列图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成，其中，第个图形中 一共有 1 个平行四边形

21、， 第个图形中一共有 5 个平行四边形， 第个图形中一共有 11 个平行四边形， 则第个图形中平行四边形的个数为（ ） 课堂检测 A.55 B.42 C.41 D.49 【难度】1 星 【解析】：图平行四边形有 5 个122， 图平行四边形有 11 个12323， 图平行四边形有 19 个1234234， 图的平行四边形的个数为1234562345641 故选 C 【答案】C 【练习 2】（2011日照）观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数 2011 应标在（ ） A、 第 502 个正方形的左下角 B、 第 502 个正方形的右下角 C、 第 503 个正方形的左上角 D、 第 50

22、3 个正方形的右下角 【难度】2 星 【解析】通过观察发现：正方形的左下角是 4 的倍数，左上角是 4 的倍数余 3，右下角是 4 的倍数余 1， 右上角是 4 的倍数余 2 20114502余 3， 数 2011 应标在第 503 个正方形的左上角 故选 C 【答案】C 【练习 3】 （2011济南）观察下列各式： （1） 2 1 1； （2） 2 2343 ； （3） 2 345675； （4） 2 456789 107 请你根据观察得到的规律判断下列各式正确的是（ ） A、 2 1005 1006 100730162011 B、 2 1005 1006 100730172011 C、 2

23、 1006 1007100830162011 D、 2 10071008 100930172011 【难度】2 星 【解析】根据（1） 2 1 1； （2） 2 2343 ； （3） 2 345675； （4） 2 456789 107 可得出： 2 121aaaanana , 依次判断各选项，只有 C 符合要求， 故选 C 【答案】C 1.通过本堂课你学会了 2.掌握的不太好的部分 3.老师点评： 1. （2010安顺）四个电子宠物排座位，一开始，小鼠、小猴、小兔、小猫分别坐在 1，2，3，4 号座位 上（如图所示） ，以后它们不停地变换位置，第一次上下两排交换，第二次是在第一次换位后，再左

24、 右两列交换位置，第三次再上下两排交换，第四次再左右两列交换这样一直下去，则第 2005 次交 换位置后，小兔所在的号位是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 总结复习 课后作业 【难度】1 星 【解析】小兔所在的号位的规律是 4 个一循环因为20053501余 1，即第 2005 次交换位置后，小兔所 在的号位应和第一次交换后的位置相同，即图 2故选 A 【答案】A 2. （2007 哈尔滨）柜台上放着一堆罐头，它们摆放的形状见右图： 第一层有2 3听罐头， 第二层有3 4听罐头， 第三层有4 5听罐头， 根据这堆罐头排列的规律，第n（n为正整数）层有 听罐头（用含n的式子表示） 【难度】

25、1 星 【解析】略 【答案】 2 (32)nn 3. （2008淄博）观察下面几组数： 1，3，5，7，9，11，13，15， 2，5，8，11，14，17，20，23， 7，13，19，25，31，37，43，49， 这三组数具有共同的特点现在有上述特点的一组数，并知道第一个数是 3，第三个数是 11则其第 n个数为（ ） A.85n B. 2 2n C. 41n D. 2 25n 【难度】2 星 【解析】第一个数是 3，第三个数是 11，则第二个数为 7；即每个数比前一个大 4，故其第n个数为41n. 【答案】C 4. （2008赤峰）给定一列按规律排列的数： 1111 1, 3579 它

26、的第 10 个数是（ ） A. 1 15 B. 1 17 C. 1 19 D. 1 21 【难度】2 星 【解析】 分子都为 1， 分母分别为 1，2213 ，23 15 都是奇数 第 10 个数的分母是2 10119 【答案】 ：19. 5. （2007玉溪）观察表一，寻找规律，表二、表三、表四分别是从表一中截取的一部分，其中 a，b，c 的值分别为（ ） A、20，29，30 B、18，30，26 C、18，20，26 D、18，30，28 【难度】3 星 【解析】表二截取的是其中的一列：上下两个数字的差相等，所以 a=15+3=18 表三截取的是两行两列的相邻的四个数字：右边一列数字的差应比左边一列数字的差大 1，所 b=24+25-20+1=30 表四中截取的是两行三列中的 6 个数字：18 是 3 的 6 倍，则 c 应是 4 的 7 倍，即 28 故选 D 【答案】D