著名机构初中数学培优讲义整式的乘除运算．第02讲（A级）．教师版

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1、 考试内容考试内容 A（基本要求）（基本要求） B（略高要求）（略高要求） C（较高要求）（较高要求） 幂的运算幂的运算 了解整数指数幂的意义和 基本性质 能用幂的性质解决简单问题 整式的乘法整式的乘法 理解整式乘法的运算法则， 会进行简单的整式乘法运 算 （其中的多项式乘法仅指 一次式相乘） 会进行简单的整式乘法与加 法的混合运算 能选用适当的方法进行相应 的代数式变形 模块一 整式的乘法 单项式与单项式相乘：单项式与单项式相乘：系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，只有一个单项式里含有的字母，则连同 它的指数作为积的一个因式. 以下举例说明单项式与单项式相乘的规则如下： 232342 33a

2、ba b ca b c，两个单项式的系数分别为 1 和 3， 乘积的系数是 3，两个单项式中关于字母a的幂分别是a和 2 a，乘积中a的幂是 3 a，同理，乘积中b的幂 是 4 b，另外，单项式ab中不含c的幂，而 232 3a b c中含 2 c，故乘积中含 2 c. 单项式与多项式相乘：单项式与多项式相乘：单项式分别与多项式中的每一项相乘，然后把所得的积相加， 公式为：()m abcmambmc，其中m为单项式，abc为多项式. 多项式与多项式相乘：多项式与多项式相乘：将一个多项式中的每一个单项式分别与另一个多项式中的每一个单项式相乘，然 后把积相加，公式为：()()mn abmambna

3、nb 模块二 整式的除法 单项式除以单项式：单项式除以单项式：系数、同底数的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中含有的字母，则连 同它的指数作为商的一个因式.如： 23222 33a b cabab c，被除式为 232 3a b c，除式为ab，系数分别为 3 和 1，故商中的系数为 3，a的幂分别为 2 a和a，故商中a的幂为 2 1 aa ，同理，b的幂为 2 b，另外， 被除式中含 2 c，而除式中不含关于c的幂，故商中c的幂为 2 c. 多项式除以单项式：多项式除以单项式：多项式中的每一项分别除以单项式，然后把所得的商相加， 公式为：()abcmambmcm，其中m为单项式，ab

4、c为多项式. 多项式除以多项式后有专题介绍. 知识点睛 中考要求 整式乘除运算整式乘除运算 【例1】 化简 ()y dbc； 1212 () nnn xxxx ； ()(2 )xy xy 233222 () ()x yx yxy； (2)(2)(21)aaa 【解析】 原式ydbycy ；原式 31223nnn xxx ； 原式 2222 222xxyxyyxxyy；原式 43255234 x yx yx yx y； 原式 2232 (224)(21)(4)(21)284aaaaaaaaa. 【答案】见解析 【巩固】 若 183 33 m nmn aa ba b ，则m ，n 【解析】 略 【

5、答案】 3m ，2n 【巩固】 计算： 242422 (32)(523)(53)(33)xxxxxx 【解析】 原式 242422 (32)(523)(53) (32 1)xxxxxx 24224242 (32)(523)(32)(53)(53)xxxxxxxx 2424242 (32)(523)(53) (53)xxxxxxx 2242 (32)(53)xxxx 4242 3253xxxx 42 23xx 【答案】 见解析 【例2】 已知 22 ()()26xmy xnyxxyy，求()mn mn的值 【解析】 22 ()()26xmy xnyxxyy， 22 ()()()xmy xnyxm

6、n xymny， 2222 ()26xmn yxmnyxxyy， 比较等式两边得2mn，6mn ，所以()2 ( 6)12mn mn 定理：如果 11 110110 nnnn nnnn a xaxa xab xb xbxb ， 那么 nn ab， 11nn ab ， 11 ab， 00 ab 【答案】 见解析 【巩固】 若 2 23 45xxaxbxc，则a ，b ，c 【解析】 略 【答案】 10a ，7b ，12c 【巩固】 已知多项式 43222 2(1)(2)xxxxmxxnx，求m与n的值 【解析】 解法一：(系数比较法) 432 2xxx 22 (1)(2)xmxxnx 432 (

7、)(3)(2)2xmn xmnxmn x 比较对应项的系数，得 1 31 20 mn mn mn (1) ( 2 ) ( 3 ) ，由得1m ，将1m 代入，得2n 例题精讲 当1m ，2n 时，显然成立所以1m ，2n 解法二:(数值代入法)由 43222 2(1)(2)xxxxmxxnx，分别用 1 和1代入上式， 可得 3210 3230 mnmn mnmn ,解得1m ，2n 【答案】 见解析 【例3】 已知 2 1axbx与 2 231xx的积不含 3 x的项，也不含x的项，试求a与b的值 【解析】 有 230 30 ba b ，解得 2 3 a b . 【答案】 见解析 【巩固】

8、计算 2332 536 ()()()() 1245 xyxyxyyx 【解析】 原式 2332 536 () () ()() 1245 xyxyxyxy 2332 536 ( 1)()() ()() 1245 xyxyxyxy 55 3( )() 8 xyxy 【答案】 见解析 【巩固】 计算 322 (25)(231)xxxx 【解析】 原式 5434322 2346210155xxxxxxxx 5432 2778155xxxxx 【答案】 见解析 【巩固】 计算： 242422 (32)(523)(53)(33)xxxxxx 【解析】 原式 242422 (32)(523)(53) (32

9、 1)xxxxxx 24224242 (32)(523)(32)(53)(53)xxxxxxxx 2424242 (32)(523)(53) (53)xxxxxxx 2242 (32)(53)xxxx 4242 3253xxxx 42 23xx 【答案】 见解析 【例4】 已知 2 1axbx与 2 231xx的积不含 3 x的项，也不含x的项，试求a与b的值 【解析】 有 230 30 ba b ，解得 2 3 a b . 【答案】 见解析 【巩固】 使 22 (8)(3)xpxxxq的积中不含 2 x和 3 x，求p，q的值. 【解析】 将原式展开得 2243 (8)(3)(3)(38)x

10、pxxxqxpxqp 2 (24)8xpqxq，因为积中不含 2 x和 3 x，所以 30 380 p qp ，解得 3 1 p q . 【答案】 见解析 【例5】 计算： 472632 211 ()() 393 a ba bab ； 8234232 36 (1.8)0.6 55 a ba ba bab 【解析】 原式 4726262 211 ()61 399 a ba ba ba b；原式 722 23aa bab. 【答案】 见解析 【巩固】 计算： 222 (4)8x yy； 23223 93 m nm nnm abca b . 32322 13 ()() 34 a bab； 2322

11、(0.8)(4) nn x yx y 【解析】 原式 4224 1682x yyx；原式 22332 3 m nm nnm abc ； 原式 962472 1916 2716243 a ba ba b；原式 63422 644 16 125125 nnn x yx yx y. 【答案】 见解析 【巩固】 计算： 32 121866xxxx ； 计算： 2 6273xxx 【解析】 略 【答案】 2 231xx； 9x 【例6】 将一多项式 22 1734xxaxbxc ，除以56x后，得商式为21x 余式为0求abc 【解析】 略 【答案】 29 【巩固】 已知多项式 32 21xxax的除式

12、为1bx ，商式为 2 2xx，余式为1，求ab、的值 【解析】 由已知可列 322 21121xxaxbxxx ；则可得 3 1 a b 【答案】 见解析 【例7】 计算：a（a+2） （a3）= _ 【解析】 先运用单项式乘多项式的法则计算 a（a+2） ，再运用多项式乘多项式的法则把所得结果与（a3） 相乘即可 【答案】 解：原式=（a2+2a） （a3）=a33a2+2a26a=a3a26a 【例8】 计算： （1） （2xy2）2（3xy3）= _ ； （2） （2x3y） （x+2y）（x+y）2= _ 【解析】 此题考查的内容是整式的混合运算，按照先乘方，再乘除，最后算加减的顺序

13、直接进行计算 【答案】 解： （1）原式=4x2y4（3xy3）=12x3y7； （2）原式=2x2+4xy3xy6y2x22xyy2=x2xy7y2 【例9】 计算： （1） （2x2y）3+8（x2）2（x）2（y）3= _ ； （2） （2a+b）2（2ab） （a+b）= _ ； （3） （x+y） （xy） （y2+x2）= _ 【解析】 按照先乘方，再乘除，最后算加减的顺序直接进行计算 【答案】 解： （1）原式=8x6y3+8x4x2（y3） =8x6y38x6y3， =16x6y3； （2）原式=4a2+4ab+b2（2a2+2ababb2） ， =4a2+4ab+b22a2a

14、b+b2， =2a2+3ab+2b2； （3）原式=（x2y2） （x2+y2）=x4y4 【例10】 计算： （a2b2） （ab2）（3ab3）= _ 【解析】 根据单项式的乘、除法法则：一看符号；二看系数；三看字母，进行计算 【答案】 解： （a2b2） （ab2）（3ab3） =a（3ab3） =3a2b3 【例11】 先化简，再求值，其中 x=1，y=2，则 2222 113 (21)() 422 xyx yxyx y= _ 【解析】 分析题干：原式中含有括号，则化简时先去括号，然后合并同类项得到最简式，将 x，y 的值代 入最简式即可得到原式的值 【答案】 解：原式= xy2+2x

15、2y1 xy2 x2y= xy2+ x2y1 当 x=1，y=2 时，原式= （1） 4+ 1 21=1 【例12】 若 2x（x1）x（2x+3）=15，则 x= _ 【解析】 根据单项式乘多项式的法则，先去括号，再移项、合并同类项，系数化 1，可求出 x 的值 【答案】 解：2x（x1）x（2x+3）=15， 去括号，得 2x22x2x23x=15， 合并同类项，得 5x=15， 系数化为 1，得 x=3 【例13】 （x+3）与（2xm）的积中不含 x 的一次项，则 m= _ 【解析】 先求出（x+3）与（2xm）的积，再令 x 的一次项为 0 即可得到关于 m 的一元一次方程，求出 m

16、 的值即可 【答案】 解：（x+3） （2xm）=2x2+（6m）x3m=0， 6m=0，解得 m=6 故答案为：6 【例14】 已知 a2a+5=0，则（a3） （a+2）的值是 _ 【解析】 先把所求代数式展开后，利用条件得到 2 5aa ，整体代入即可求解 【答案】 解： （a3） （a+2）=a2a6， a2a+5=0， a2a=5， 原式=56=11 【例15】 如果（x+1） （x25ax+a）的乘积中不含 x2项，则 a 为 _ 【解析】 先用多项式乘以多项式的运算法则展开求它们的积， 并且把 a 看作常数合并关于 2 x的同类项， 令 2 x的系数为 0，求出 a 的值 【答案

17、】 解：原式=x3+（15a）x24ax+a， 不含 x2项， 15a=0， 解得 a= 【例16】 若（x2） （xn）=x2mx+6，则 m= _ ，n= _ 【解析】 运用多项式与多项式相乘的法则将等式左边展开，再根据对应项的系数相等列式，求解即可得到 m，n 的值 【答案】 解：（x2） （xn）=x2（n+2）x+2n=x2mx+6， n+2=m，2n=6， 解得 m=5，n=3 【例17】 计算： （x2y） （2x+y）= _ 【解析】 根据多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相 加计算 【答案】 解： （x2y） （2x+y） ， =2

18、x2+xy4xy2y2， =2x23xy2y2 【例18】 若（x+1） （2x3）=2x2+mx+n，则 m= _ ，n= _ 【解析】 先根据多项式乘多项式的法则展开，再根据对应项的系数相等求解即可 【答案】 解：（x+1） （2x3）=2x23x+2x3=2x2+（23）x3， 又（x+1） （2x3）=2x2+mx+n， m=1，n=3 【例19】 x12+3x5+2 除以 x2x 所得余式为 _ 【解析】 根据多项式除以多项式的运算法则进行计算两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同 一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算 【答案】 解： （x12+3

19、x5+2） （x2x）=x10+x9+x8+x7+x6+x5+x4+4x3+4x2+4x+44x+2 故答案为：4x+2 【例20】 （12x3+8x216x） （4x）= _ 【解析】 将多项式中的每一项都除以单项式，再把所得的商相加即可得到运算结果 【答案】 解： （12x3+8x216x） （4x） =（12x3） （4x）+（8x2） （4x）+（16x） （4x） =3x22x+4 故答案为：3x22x+4 【例21】 如图，图中的阴影部分的面积是 _ 【解析】 阴影部分的面积可以采用平移的方法把空白处横的平移到下面，竖的平移到右边，阴影部分即为 一个小正方形，然后利用原正方形的边长

20、求出阴影部分的边长，利用正方形的面积公式求出面积 即可 【答案】 解：根据题意平移得： 阴影部分为边长为（4x）的正方形， 所以图中的阴影部分的面积是（4x）2 故答案为： （4x）2 【例22】 当 x=3，y=1 时，代数式（x+y） （xy）x2的值是 _ 【解析】 首先将代数式（x+y） （xy） 2 x化简，然后把 x=3，y=1 代入求值即可求得答案 【答案】 解：（x+y） （xy）x2=x2y2x2=y2， 当 x=3，y=1 时，原式=1 故答案为：1 【例23】 计算：3x2y（2xy）结果是（ ） A、6x3y2 B、6x3y2 C、6x2y D、6x2y2 【解析】 根

21、据单项式的乘法法则，直接得出结果 【答案】 解：3x2y（2xy）=6x3y2，故选B 【例24】 下列计算正确的是（ ） A、 （2a）（3ab2a2b）=6a2b4a3bB、 （2ab2）（a2+2b21）=4a3b4 C、 （abc）（3a2b2ab2）=3a3b22a2b3 D、 （ab）2（3ab2c）=3a3b4a2b2c 【解析】 根据单项式乘以多项式法则，对各选项计算后利用排除法求解 【答案】 A、应为（2a）（3ab2a2b）=6a2b+4a3b，故本选项错误； B、应为（2ab2）（a2+2b21）=2a3b2+2ab42ab2，故本选项错误； C、应为（abc）（3a2b

22、2ab2）=3a3b2c2a2b3c，故本选项错误； D、 （ab）2（3ab2c）=3a3b4a2b2c，正确 故选 D 【例25】 通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式，如图可表示的代数恒等式是（ ） A、 （ab）2=a22ab+b2 B、 （a+b）2=a2+2ab+b2 C、2a（a+b）=2a2+2ab D、 （a+b） （ab）=a2b2 【解析】 由题意知，长方形的面积等于长 2a 乘以宽（a+b） ，面积也等于四个小图形的面积之和，从而建 立两种算法的等量关系 【答案】 解：长方形的面积等于：2a（a+b） ， 也等于四个小图形的面积之和：a2+a2+ab+ab=2a2

23、+2ab， 即 2a（a+b）=2a2+2ab 故选 C 【例26】 若（x+4） （x3）=x2+mxn，则（ ） A、m=1，n=12 B、m=1，n=12 C、m=1，n=12 D、m=1，n=12 【解析】 首先根据多项式乘法法则展开（x+4） （x3） ，然后根据多项式各项系数即可确定 m、n 的值 【答案】 解：（x+4） （x3）=x2+x12， 而（x+4） （x3）=x2+mxn， x2+x12=x2+mxn， m=1，n=12 故选 D 【例27】 已知（53x+mx26x3） （12x）的计算结果中不含 x3的项，则 m 的值为（ ） A、3 B、3 C、 D、0 【解析

24、】 把式子展开，找到所有 3 x项的所有系数，令其为 0，可求出 m 的值 【答案】 解：（53x+mx26x3） （12x）=513x+（m+6）x2+（62m）x3+12x4 又结果中不含 x3的项， 2m6=0，解得 m=3 故选 B 【例28】 计算 8m6 （4m2）的结果是（ ） A、2m3 B、2m4 C、4m4 D、4m3 【解析】 根据单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则 连同它的指数作为商的一个因式计算即可 【答案】 解：8m6 （4m2） ， =8 （4）（m6 m2） ， =2m4 故选 B 【习题1】化简： 2 12 1xx

25、 化简： 1 228 2 ababb ab 【解析】 略 【答案】 2 3x ； 2 1 2 aab 【习题2】计算 2332 536 ()()()() 1245 xyxyxyyx 【解析】 原式 2332 536 () () ()() 1245 xyxyxyxy 2332 536 ( 1)()() ()() 1245 xyxyxyxy 55 3( )() 8 xyxy 【答案】 见解析 【习题3】计算 322 (25)(231)xxxx 【解析】 原式 5434322 2346210155xxxxxxxx 5432 2778155xxxxx 【答案】 见解析 【习题4】计算： （x22x+1

26、y2） （x+y1）= _ 【解析】 先对 22 (21)xxy 进行因式分解得： 22 (21)(1)(1)xxyxy xy ，再去相除得 即可求出结果 【答案】 解： （x22x+1y2） （x+y1） ， =（x1+y） （x1y） （x+y1） ， =xy1 故应填：xy1 【习题5】使 22 (8)(3)xpxxxq的积中不含 2 x和 3 x，求p，q的值. 【解析】 将原式展开得 2243 (8)(3)(3)(38)xpxxxqxpxqp 2 (24)8xpqxq，因为积中不含 2 x和 3 x，所以 30 380 p qp ，解得 3 1 p q . 【答案】 见解析 课后作业

27、 【习题6】若 183 33 m nmn aa ba b ，则m ，n 【解析】 略 【答案】 3m ，2n 【习题7】若（mx3）（2xk）=8x18，则适合此等式的 m= _ ，k= _ 【解析】 根据单项式的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变指数相加的性质计算，再根据系数相等，指数 相等列式求解即可 【答案】 解：（mx3）（2xk） ， =（m 2）x3+k， =8x18， 2m=8，3+k=18 解得 m=4，k=15 【习题8】计算：2a3（3a）3= _ 【解析】 根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；单项式乘单项式的法则； 同底数幂相乘，底数不变指数相加计算即可 【答案】 解：2a3（3a）3， =2a3（27a3） ， =54a3+3， =54a6 【习题9】先化简，再求值： （1）若 x=3，则 2x25x+x2+4x= _ ； （2）若 x=6，y=1，则 12 (2 ) 33 xyy= _ 【解析】 按要求先化简再求值 【答案】 解： （1）原式=3x2x， 当 x=3 时，原式=30； （2）原式= 1221 3333 xyyx ， 当 x=6，y=1 时，原式=2