著名机构初中数学培优讲义圆周角.第02讲（A级）.教师版

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1、 内容内容 基本要求基本要求 略高要求略高要求 较高要求较高要求 圆周角定理圆周角定理 了解圆周角与圆心角的关系； 了 解直径所对的圆周角是直角 会求圆周角的度数， 能用圆周角 的知识解决与角有关的简单问 题 能综合运用几何知 识解决与圆周角有 关的问题 点与圆的位置关系点与圆的位置关系 了解点圆的位置关系 会判断点与圆的位置关系 三角形的外接圆三角形的外接圆 会过不在同一直线上的三点作 圆 能利用圆的有关概念解决简单 问题 1理解并掌握圆心角与圆周角的关系 2理解掌握点和圆的位置关系及其判定 3会用圆的有关概念解决简单问题 圆的面积公式 开普勒（1571 1630）通过一种非常有趣的方法解析

2、圆的面积公式是怎样得到的假定把 圆分成n个扇形，它们都可以近似看成全等的等腰三角形由于这些等腰三角形是来自同一个圆，因而它 们的高都等于圆的半径当他们如图放在一起时，就构成了平行四边形的样子平行四边形的底为圆周长 的一半，高即r因而，圆的面积平行四边形的面积 2 ()rrr 中考要求 重难点 课前预习 圆的基本概念（二） n . . 9 8 7 6 5 4 3 2 1 n . . 9 8 7 6 5 43 2 1 模块一 圆周角定理 【例1】 若O的一条弧所对的圆周60，则这条弧所对的圆心角是（ ） A30 B60 120 以上答案都不对 【难度】1 星 【解析】考察圆周角定理：在同圆或等圆中

3、，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角的 一半 【答案】 【例2】 如图，BC是O的弦，圆周角50ABC,则OCA的度数是 B C A O 【难度】2 星 【解析】根据：“同弧所对圆周角是圆心角的一半”，22 50100AOCBAC 又OBOC,(180100 )240OCA 例题精讲 【答案】40 【巩固】如图，O正方形ABCD的外接圆，点P在O上，则APB等于（ ） O P D C B A A30 45 55 60 【难度】2 星 【解析】构造同弧所对的圆心角，连结OA、OB,四边形ABCD为O的内接正方形，90AOB 1 45 2 APBAOB 【答案】45 【拓展】如图，

4、点C在O上，将圆心角AOB绕点O按逆时针方向旋转到A OB,旋转角为， （0） 若30AOB,40BCA,则 O C B A B A 【难度】2 星 【解析】 由图可知AOA为旋转角，AOA=BOAAOB， 由圆周角定理得，802CBOA， 所以1108030BOAAOBAOA 【答案】110 【例3】 如图，已知O的直径8ABcm，C为O上的一点，30BAC,则 BC O C B A 【难度】2 星 【解析】考查直径所对圆周角是90，AB 为O的直径， 90ACB又 1 8,30 ,4 2 ABBACBCANcm 【答案】4cm 【巩固】如图，在以AB为直径的半圆O中，C点是它的中点，若2A

5、C ,则ABC的面积是（ ） O C B A 【难度】3 星 【解析】考查直径所对圆周角为90， 90ACB, 1 ,2. 2 ABC ACBCACBCS 【答案】2 【拓展】如图，ABC内接于O，ABBC,120 ,ABCAD为O的直径，6AD,那么 BD D O C B A 【难度】3 星 【解析】考查直径所对圆周角为90与同弧所对圆周角相等 AD是直径，90 .ABDABBC, 180 30 2 ABC BCABAC 又D与C都 是AB所 对 的 圆 周 角 ，DC30 在R tA B D中 ， 1 6 ,3 0 ,3 2 A DDA BA D 由勾股定理得 22 633 3BD 【答案

6、】3 3 模块二 点与圆的位置关系 【例4】 若O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A与O的位置关系是（ ） A 点A在圆外 B点A在圆上 C 点A在圆内 D不能确定 【难度】1 星 【解析】考查点与圆的位置关系，方法是判断点到圆心的距离有三种情况点在圆内：点到圆心的距离 小于半径；点在圆上：点到圆心的距离等于半径；点在圆外：点到圆心的距离大于半径 【答案】C 【巩固】若O的半径为4cm，点A到圆心O的距离为3cm，那么点A与O的位置关系是（ ） A 点A在圆外 B点A在圆上 C 点A在圆内 D不能确定 【难度】1 星 【解析】考查点与圆的位置关系，方法是判断点到圆心的距离有三

7、种情况点在圆内：点到圆心的距离 小于半径；点在圆上：点到圆心的距离等于半径；点在圆外：点到圆心的距离大于半径 【答案】C 【例5】 矩形ABCD中，8,3 5ABBC,点P在边AB上，且3BPAP,如果圆P是以点P 为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ） A点BC、均在圆P外 B点B在圆P外，点C在圆P内 C点B在圆P内，点C在圆P外 D点BC、均在圆P内 【难度】3 星 【解析】考查点与圆的位置关系，方法是判断点到圆心的距离有三种情况点在圆内：点到圆心的距离 小于半径；点在圆上：点到圆心的距离等于半径；点在圆外：点到圆心的距离大于半径 如图，连结PDPC、8,3,2,6ABBPA

8、PAPBP 在Rt APD中， 222222 2(3 5)7PDAPADAPBC,即P的半径7r 67 ,BP 点B在P内部 在Rt APC中， 22 6(3 5)8197PC ，点C在P的外部 P D C B A 【答案】C 【巩固】已知矩形ABCD的边6,8ABAD如果点A为圆心作A，使,B C D三点中在圆内和在 圆外都至少有一个点，那么A的半径r的取值范围是（ ） A 610r B810r C 610r D68r 【难度】3 星 【解析】考本题主要考查了勾股定理，以及点和圆的位置关系，可以通过点到圆心的距离与圆的半径比较 大小，判定点和圆的位置关系 D CB A 解：6,8,10,AB

9、ADAC点C一定在圆外，点B一定在圆内，A的半径r的 值范围是：610r 【答案】A 【例6】 已知矩形ABCD的边15,20,ABBC以点B为圆心的圆，使,A C D三点至少有一点在B 内，且至少有一点在B外，则B的半径r的取值范围是（ ） A15r B1520r C1525r D2025r 【难度】3 星 【解析】点与圆的位置关系；勾股定理；矩形的性质 要确定点与圆的位置关系，主要根据点与圆心的距离与半径的大小关系来进行判断 当 dr 时，点在圆外；当 d=r 时，点在圆上；当 dr 时，点在圆内 C D B A 解：在直角BCD中15CDAB，20BC ，则 22 152025BD 由图

10、可知 15r25， 【答案】C 模块三 三角形外接圆 【例7】 如图，在平面坐标系中，已知一圆弧过小正方形网格的格点, ,A B C,A点的坐标是(3,5)，则该 圆弧所在圆的圆心坐标是 O y x C BA 【难度】2 星 【解析】过不在同一条直线上的三点确定一个圆，圆心为三条线段垂直平分线的交点 【答案】1,0 【例8】 如图所示，ABC内接于O，若28OAB，则C的大小是（ ） O B C A A56 B62 C28 D32 【难度】2 星 【解析】本题是利用圆周角定理解题的典型题目，题目难度不大，正确添加辅助线是解题关键，在解题和 圆有关的题目是往往要添加圆的半径 O B C A 解：

11、如图，连接OB，OAAB，AOB是等腰三角形，OABOBA， 28OAB，28OABOBA，124AOB，62C 【答案】B 【例9】 如图，O 是等边三角形 ABC 的外接圆，O 的半径为 2，则等边三角形 ABC 的边长为（ ） O C B A A3 B5 C2 3 D2 5 【难度】3 星 【解析】此题主要考查等边三角形外接圆半径的求法 O C B A 解：连接OA，并作ODAB于D，则30OAD，2OA，cos303ADOA， 2 3AB 【答案】C 【例10】 如图，ABC 是O 的内接三角形，ADBC 于 D 点，且 AC=5，CD=3，AB=4 ，则O 的 直径等于（ ） D O

12、 B C A A 5 2 2 B3 2 C5 2 D 【难度】4 星 【解析】此题主要考查等边三角形外接圆半径的求法,利用直径所对的圆周角是 90 度构造直角三角形是常 用的辅助线方法 E D O B C A 解：作直径AE，连接BE，ADBC，ADC是Rt，由勾股定理得4AD ACD=AEB， （同弧圆周角相等）90ABE， （半圆上的圆周角是直角） ADCABE，:AE ACAB AD ， 5 4 2 5 2 4 AE ，则直径5 2AE 【答案】C 【例11】 如图所示，点A、B、P在O上，且50APB若点M是O上的动点，要使ABM为 等腰三角形，则所有符合条件的点M有（ ） A1 个

13、B2 个 C2 个 D4 个 O P B A 【难度】2 星 【解析】50APB,弦AB不是直径，APB不是等边三角形 （1）当MAMB时，MAB是 等腰三角形，这时M点是弦AB的垂直平分线与圆O的交点，有两个； （2）当ABAM时， 这样的M点只有一个 （3）当ABMB时，这样的M点只有一个综上可得符合条件的点M 有 4 个 【答案】D 【例12】 如图O 半径为 2，弦 BD 32 ，A 为弧 BD 的中点，E 为弦 AC 的中点，且在 BD 上。求：四 边形 ABCD 的面积。 E D C B A 【难度】4 星 【解析】连结OA OB、，OA交BD于F 为BD的中点，,3,2OFBD

14、BFFDOB,1OF ,1AF , 1 3 2 ABD SBD AF ,AECE, ADECDEABECBE sSSS ， 22 3 ABDABCD SS 四边形 F E D C B A 【答案】2 3 【例13】 如图，已知O的半径2，弦BC的长为2 3，点A的弦BC所对优弧上任意一点(B、C两点 除外) （） 求BAC的度数； （） 求ABC面积的最大值 O C B A 【难度】4 星 【解析】考查学生的应用能力，圆中求角（线段）常转化为直角三角形解决利用垂径定理的构造直角三 角形，把已知条件结合在一块 （） 连结OB、OC，过O作OEBC与点E解Rt OBE,求,BOEBOC的度数， 1

15、 . 2 ABOC或连结BO并延长，交O于D，连结CD，解Rt BCD,求D （） ABC S 1 2 BCh（h是BC边上的高） ，BC不变，当h最大时， ABC S最大，此时 点A应落在优弧BC的中点处，然后再求h 解： （1）方法一：如图，连结OB、OC，过O作OEBC交BC于点E ,2 3OEBC BC,3BEEC在Rt OBE中，2OB ， 3 sin 2 BE BOE OB , 1 60 ,120 ,60 2 BOEBOCBACBOC O E C B A 方法二：如图，连结BO并延长，交O于点D，连结.CD BD是直径，4,90BDDCB 在R t D B C中， 2 33 sin

16、 42 BC BDC BD 60 ,60BDCBACBDC D O C B A （2）因为ABC的边BC的长不变，所以当BC边上的高最大时，ABC的面积最大，此时 点A应落在优弧BC的中点处 如图，过O作OEBC于点E，延长EO交于点A，则A为优弧BC的中点连结AB， AC，则ABAC， 1 30 2 BAEBAC在Rt ABE中， 3,30 ,BEBAE 3 3, tan303 3 BE AE 1 3 33 3 2 ABC S E O C B A 【答案】 （1）60 （2）3 3 【例14】 已知：如图，ABC内接于O, AB为O的直径，5 2ACBC, 点D是AC上一个动 点，连结,AD

17、 CD BD, BD与AC相交于点E, 过点C作PCCD于C, PC与BD相交于 点P,连结OP和AP. (1) 求证：AD BP ; （2）如图 1，若 1 tan 2 ACD， 求证：DCAP； （3) 如图 2，设ADx , 四边形APCD的面积为y,求y与x之间的关系式. 图一图一 E P O B C D A 图 二 P E C D O B A 【难度】4 星 【解析】(1) 证明: PCCD, AB为O的直径 90DCPACBADB DCPACDACP ， ACBACPBCP ACDBCP AC BC ABC 是等腰直角三角形 45BAC45BDCBAC DCP 是等腰直角三角形DC

18、 PC ， ADC BPC ， ADBP (2)证明：ABDACD 1 tantan 2 ABDACD， 1 2 AD BD ， 1 2 PB BD ， P是BD的中点， ADPBPD， ADP是等腰直角三角形 45APD， APDBDC， DCAP （3）解： ACPACDACPBCPABCABP ySSSSSS = 2 1 25 2 x （05 2x） 【答案】略 【例15】 已知， 如图， 在ABC中，ABAC,以AB为直径的O分别交BC、AC于点D、E,连结EB 交OD于点F （1）求证：ODBE； （2）若5DE ,5AB,求AE的长 F D B O C E A 【难度】4 星 【解

19、析】 （1）联结AD AB是O的直径，90ADBAEB,ABACCDBD ,OAOBODAC,ODBE （2）方法一：90CEBAEB，,5,5CDBD ABDE. 5,22 5ACABBCDE.在ABE、BCE中，90CEBAEB， 设AEx，则有 2222 ABAEBCEC， 2222 5(2 5)(5)xx 解得：3x ，3AE 方法二：,ODBEBDDE BFEF 设 1 , 2 AExOFx， 在O B F、BDF 中，90OFBBFD 2222 BDDFOBOF5DE ，5AB， 22 51 ( 5)() 22 x，解得：3,3xAE 方法三：,BEAC ADBCBEAC ADBC

20、, 11 22 ABC sBC ADAC BE ， BC ADAC BE，22 5,5BCDEACAB4,BE3AE F D B O C E A 【答案】 （1）略 （2）3 模块四 圆的内接四边形 【例16】 如图，四边形 ABCD 是圆内接四边形，E 是 BC 延长线上一点，若BAD=105 ，则DCE 的大 小是（ ） E D C B A A115 B105 C100 D95 【难度】2 星 【解析】考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补也考查了邻补角的定义以及等角的补角 相等 解：四边形 ABCD 是圆内接四边形，180BADBCD， 而180BCDDCE， DCEBAD，

21、而105BAD， 105DCEDCE 【答案】B 【例17】 已知：四边形ABCD是O的内接四边形，50D，则ABC等于（ ） A100 B110 C120 D130 【难度】2 星 【解析】考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补也考查了邻补角的定义以及等角的补角 相等 解：四边形ABCD是O的内接四边形180ABCD50D 180130ABCD 【答案】D 【例18】 四边形 ABCD 为O 的内接四边形，若BCD=110 ，则BAD 为（ ） A140 B110 C90 D70 A C C B O 【难度】2 星 【解析】考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补 【答案】

22、D 课堂检测 1 如图， 点, ,A B C D都在O上，CD的度数等于84，CA是OCD的平分线， 则ABDCAO O C B D A 【难度】3 星 【解析】CD的度数为84，84DOC,故 18084 48 2 OCDODC , 又OACACOACD, 1 2 ABDACDOCD , 48ABDCAO 【答案】48 2如图，O是等边三角形ABC的外接圆，点P在劣弧AB上，22ABP,则BCP的度数 为 O C P B A 【难度】3 星 【解析】同弧所对圆周角相等因为ABC是等边三角形，所以60ACB,22ACPABP, 602238BPCACBABP 【答案】38 3.在数轴上，点A所

23、表示的实数为 3，点B所表示的实数为a，A的半径为 2下列说法中不正确的是 （ ） A当5a时，点B在A内 B当5a点B在A内 C当a 时，点B在A外 D当5a时，点B在A外 【难度】2 星 【解析】由图可知 B当5a时点B在A内；当5a或 1 时点B在A上；当a 或5a 点B在A外 A 543 -1 0 21 O 【答案】A 1通过本堂课你学会了 2掌握的不太好的部分 3老师点评： 1如图，35BAC,40CED,则BOD的度数是（ ） A75 B80 C150 D135 O A E D C B 【难度】2 星 【解析】考查同弧所对圆周角是圆心角的一半 35BAC,40CEDBC所对圆心角为

24、70CD所对的圆心角为80 总结复习 课后作业 150BOD 【答案】D 2如图所示，已知EF是O的直径，把A为60的直角三角板ABC的一条边BC放在直线EF上， 斜边AB与O交与点P，点B与点O重合将三角板ABC沿OE方向平移，使得点B与点E重合 为止设POFx ，则x的取值范围是（ ） A P C FO (B) E A 3060x B3090x C30120x D60120x 【难度】3 星 【解析】当B点与O点重合时，30POF;当B点与E点重合时，260POF 故选 A 【答案】A 3如图，CD是O的直径，弦ABCD于点H,若30D,1CHcm，则AB D O H C B A 【难度】3 星 【解析】利用直径所对圆周角是90 D O H C B A 连结AC,90CAD,30D，60ACD，在Rt AHC中， tan603AHCH。22 3ABAH 【答案】2 3cm 4如图，O 是ABC 的外接圆，已知B=60 ，则CAO 的度数是（ O C B A A15 B30 C40 D60 【难度】3 星 【解析】此题综合考查了圆周角定理和三角形的内角和定理 O C B A 解：连接OC，由圆周角定理，得2120AOCB ，OAC中，OAOC， 30CAOACO 【答案】30