著名机构初中数学培优讲义圆与圆的位置关系.第04讲（A级）.教师版

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1、 内容 基本要求 略高要求 较高要求 圆与圆的位置关 系 了解圆与圆的位置关系 1理解圆与圆的位置关系； 美丽的日食 中考要求 重难点 课前预习 圆与圆的位置关系 模块一圆与圆的位置关系 1. 圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系可以是两圆相交两圆相切(内切或外切)两圆相离两圆内含 设两个圆为 1 O 2 O，半径分别为 1 R 2 R，且 12 RR， 1 O与 2 O间距离为d，那么就有 12 dRR两圆相离； 12 dRR两圆相外切； 12 dRR两圆相内切； 1212 RRdRR两圆相交； 12 dRR两圆内含(这里 12 RR) 2. 连心线的性质 连心线是指通过两圆圆心的一条直线连心

2、线是它的对称轴 两圆相切时，由于切点是它们唯一的公共点，所以切点一定在对称轴上 如果两圆 1 O 2 O相交于AB两点，那么 12 O O垂直平分AB 如果两个半径不相等的圆 1 O圆 2 O相离，那么内公切线交点外公切线交点都在直线 12 O O上，并且 直线 12 O O上，并且直线 12 O O平分两圆外公切线所夹的角和两圆内公切线所夹的角 如果两条外公切线分别切圆 1 O于AB两点 切圆 2 O于CD两点， 那么两条外公切线长相等， 且AB CD都被 12 O O垂直平分 【例1】 （2011张家界）已知两圆相外切，连心线长度是 10 厘米，其中一圆的半径为 6 厘米，则另一圆 的半径

3、是（ ） A16 厘米 B10 厘米 C6 厘米 D4 厘米 【难度】1 星 【解析】 由两圆相外切， 连心线长度是 10 厘米， 其中一圆的半径为 6 厘米， 根据两圆位置关系与圆心距 d， 两圆半径R，r的数量关系间的联系即可求得另一圆的半径 【答案】两圆相外切，连心线长度是 10 厘米，其中一圆的半径为 6 厘米， 106=4（厘米） ， 另一圆的半径是 4 厘米 故选 D 【点评】此题考查了圆与圆的位置关系注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系 间的联系是解此题的关键 【巩固】 （2011襄阳）在ABC中，90C，3ACcm，4BCcm若A，B 的半径分别为1cm，

4、4cm，则A与B的位置关系是（ ） A外切 B内切 C相交 D外离 【难度】1 星 例题精讲 【解析】由 90C，3ACcm ， 4BCcm ，根据勾股定理，即可求得AB的长，然后根据圆与圆的位 置关系判断条件，确定两圆之间的位置关系 【答案】 90C，3ACcm，4BCcm， 22 5ABACBCcm A，B 的半径分别为1cm，4cm， 又145， AB、 的位置关系是外切 故选A 【点评】此题考查了圆与圆的位置关系与勾股定理逆定理的应用注意外离，则PRrP；外切，则 PRr；相交，则RrPRr；内切，则PRr；内含，则PRr （P表示圆心距， Rr分别表示两圆的半径） 【巩固】 （201

5、0泸州）已知 1 O与 2 O的半径分别为2和 3，若两圆相交，则两圆的圆心距m满足（ ） A5m B1m C5m D15m 【难度】1 星 【解析】本题根据两圆半径之和与圆心距之间的数量关系和两圆位置关系的联系即可求解 外离，则PRr；外切，则PRr；相交，则RrPRr；内切，则PRr；内含， 则PRr （P表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径） 【答案】两圆相交， 3232m，即15m 故选D 【评】题主要是考查圆与圆的位置关系与数量关系间的联系 【巩固】（2010黔南州） 已知 1 O和 2 O的半径分别为1和4， 如果两圆的位置关系为相交， 那么圆心距 12 O O 的取值范围在数轴上

6、表示正确的是（ ） A B C D 【难度】1 星 【解析】根据两圆的位置关系是相交，则这两个圆的圆心距 d 大于两半径之差小于两半径之和，从而解决 问题 【答案】413 ，415 ， 35P， 数轴上表示为A 【点评】本题考查了由两圆半径和圆心距之间数量关系判断两圆位置关系的方法 【巩固】 （2011台湾）若有两圆相交于两点，且圆心距离为 13 公分，则下列哪一选项中的长度可能为此两 圆的半径（ ） A25 公分，40 公分 B20 公分，30 公分 C1 公分，10 公分 D5 公分，7 公分 【难度】2 星 【解析】首先根据题意知，两圆相交，可知两圆圆心距大于两圆半径之差，小于两圆半径之

7、和，结合选项 得出正确答案 【答案】设两圆半径分别为R和r，圆心距为d， 两圆相交与两点， RrdRr， 13d ， 根据选项知，半径为 20 公分和 30 公分的两圆符合条件， 故选B 【点评】本题主要考查圆与圆的位置关系的知识点，解答本题的关键是根据圆心距和两圆半径之间的关系 进行着手解答，本题比较简单 【巩固】（2010淄博） 已知两圆的半径分别为R和r（Rr） ， 圆心距为d 如图， 若数轴上的点A表示Rr， 点B表示Rr，当两圆外离时，表示圆心距d的点D所在的位置是（ ） A在点 B 右侧 B与点 B 重合 C在点 A 和点 B 之间 D在点 A 左侧 【难度】2 星 【解析】此题由

8、两圆相离时圆心距与两半径之间的关系，在数轴上可表示出点D所在的具体位置 【答案】两圆外离， dRr， 在坐标轴上点B表示rR， 故表示圆心距d的点D所在的位置在 B 点的右侧， 故选 A 【点评】本题主要考查圆与圆的位置关系，外离，则dRr；外切，则dRr；相交，则 RrdRr；内切，则dRr；内含，则dRr 【例2】 （2011台湾）如图，圆 A圆 B 的半径分别为 42，且12AB 若作一圆C使得三圆的圆心 在同一直在线，且圆C与圆A外切，圆C与圆B相交于两点，则下列哪个是圆C的半径 长（ ） B A A3 B4 C5 D6 【难度】2 星 【解析】一个圆和圆A和圆B都外切，求出该圆的半径

9、，然后再找到圆C和圆A外切和圆B相内切时，圆 C半径的取值 【答案】两圆都外切时， 根据题意我们可知圆C的半径3r ， 当圆C和圆A外切和圆B相内切时， 圆C的半径 r=5， 故圆C与圆A外切，圆C与圆B相交于两点， 圆 C 的半径取值范围为35r， 故选B. 【点评】题主要考查圆与圆的位置关系的知识点，解答本题的关键是根据圆心距和两圆半径之间的关系进 行着手解答，本题比较简单 【巩固】 （2010锦州）如图所示，点A、B在直线MN上，AB=11cm，A、B的半径均为1cm，A 以每秒2cm的速度自左向右运动，与此同时，B的半径也不断增大，其半径r（cm）与时间 t（秒）之间的关系式为1rt

10、（1t） ，当点A出发后 秒两圆相切 B AN M 【难度】2 星 【解析】根据两圆相切时，两圆的半径与圆心距的关系，注意有 4 种情况 【答案】分四种情况考虑： （1）当首次外切时，有21 111tt ，解得：3t ； （2）当首次内切时，有21111tt ，解得： 11 3 t ； （3）当再次内切时，有21111tt ，解得：11t ； （4）当再次外切时，有211 11tt ，解得： 13t 当点A出发后 11 31113 3 、秒两圆相切 【点评】本题考查了两圆相切时，两圆的半径与圆心距的关系，注意有 4 种情况 【巩固】 （2011保山）如图，已知B与ABD的边AD相切于点C，AC

11、=4，B的半径为3，当A与 B相切时，A的半径是（ ） D C A B A2 B7 C2 或 5 D2 或 8 【难度】2 星 【解析】根据切线的性质可以求得BC的长，然后根据相切两圆的两种情况分类讨论即可 【答案】B与ABD的边AD相切于点C，4AC ， 35BCAB， A与B相切， 当两圆外切时，A的半径532， 当两圆内切时，A的半径538 故选D 【点评】本题考查了两圆之间的位置关系及勾股定理的知识，解题的关键是分类讨论，小心将另外一种情 况漏掉 【巩固】 （2009陕西）如图，圆与圆之间不同的位置关系有（ ） A2 种 B3 种 C4 种 D5 种 【解析】两圆之间有 5 种位置关系

12、： 无公共点的，且每一个圆上的点都在另一圆的外部叫外离； 其中一个圆上的点在另一个圆内叫内含； 有唯一公共点的，除这个点外，每一个圆上的点都在另一圆之外叫外切； 其中一个圆上的点在另一个圆内叫内切； 有两个公共点的叫相交 【答案】根据所给图形，不难看出有：外离内含外切内切 4 种故选 C 【点评】考查了两圆的位置关系，熟悉两圆的位置关系的定义 【巩固】 （2007襄阳）如图，ABC是边长为 10 的等边三角形，以AC为直径作O，D是BC上一点， 2BD ，以点B为圆心，BD为半径的B与O的位置关系为（ ） A、相交 B、外离 C、外切 D、内切 【难度】 【解析】要判断两圆的位置关系，需要明确

13、两圆的半径和两圆的圆心距，再根据数量关系进一步判断两圆 的位置关系 【答案】根据题意，得：圆O的直径是10，点B到点O的距离是5 3， 则5 352，所以B与O的位置关系为相交 故选 A 【点评】本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法 【例3】 （2010汕头）已知方程 2 540xx的两根分别为 1 O与 2 O的半径，且 12 O O3，那么两圆 的位置关系是（ ） A相交 B外切 C内切 D相离 【难度】2 星 【解析】 解答此题， 先要求一元二次方程的两根， 然后根据圆与圆的位置关系判断条件， 确定位置关系 外 离，则PRrP；外切，则PRr；相交，则RrPRr；内切，则PRr；

14、内含， 则PRr （P表示圆心距，Rr分别表示两圆的半径） 【答案】解方程 2 540xx得 1 1x ， 2 4x ， 12 3OO , 21 3xx， 1221 OOxx 1 O与 2 O内切 故选C 【点评】此题综合考查一元二次方程的解法及两圆的位置关系的判断方法 【巩固】 （2009衡阳）两圆的圆心距为 3，两圆的半径分别是方程 2 430xx的两个根，则两圆的位置 关系是（ ） A相交 B外离 C内含 D外切 【解析】解方程，求出两圆半径；再根据两圆位置关系与数量关系间的联系即可求解 外离，则P Rr P；外切，则P Rr ；相交，则R rPRr ；内切，则P Rr ；内含， 则P

15、Rr （P表示圆心距，Rr分别表示两圆的半径） 【答案】解方程 2 430xx，得 1 3x ， 2 1x 根据题意，得313Rrd， 42RrRr， 得234，即RrdRr 两圆相交故选 A 【点评】本题难度中等，主要是考查解一元二次方程，圆与圆的位置关系与数量关系间的联系此类题为 中考热点，需重点掌握 【拓展】 （2011南京）如图，在RtABC中，90ACB，6ACcm，8BCcmP为BC的中点，动 点Q从点P出发， 沿射线PC方向以2/cm s的速度运动， 以P为圆心，PQ长为半径作圆 设点Q 运动的时间为t s （1）当1.2t 时，判断直线AB与P的位置关系，并说明理由； （2）已

16、知O为ABC的外接圆若P与O相切，求t的值 PQ O C B A 【难度】3 星 【解析】 （1）根据已知求出10ABcm，进而得出PBDABC，利用相似三角形的性质得出圆心P到 直线AB的距离等于P的半径，即可得出直线AB与P相切； （2）根据 1 5 2 BOABcm，得出P与O只能内切，进而求出P与O相切时，t的值 【答案】 （1）直线AB与P相切， 如图，过P作PDAB，垂足为D， D PQ O C B A 在RtABC中，90ACB， 68ABcmBCcm， 10ABcm， P为BC中点， PB4cm， 90PDBACB ， PBDABC ， PBDABC， PDPB ACAB ，

17、即 4 610 PD ， 2.4PDcm， 当1.2t 时，22.4PQtcm， PDPQ，即圆心P到直线AB的距离等于P的半径， 直线AB与P相切； （2）90ACB， AB为ABC的外接圆的直径， 1 5 2 BOABcm， 连接OP， P为BC中点， 1 3 2 POACcm， 点P在O内部，P与O只能内切， 523253tt， t=1 或 4， P与O相切时，t的值为 1 或 4 D PQ O C B A 【点评】此题主要考查了相似三角形的性质与判定以及直线与圆的位置关系和圆与圆的位置关系，正确判 定直线与圆的位置关系是重点知识同学们应重点复习 【例1】 1 O和 2 O相切， 1 O

18、的直径为9cm， 2 O的直径为4cm则 12 OO的长是_ 【难度】2 星 【解析】略 【答案】2.5cm或6.5cm 【巩固】若A和B相切，它们的半径分别为8cm和2cm，则圆心距AB为_ 【难度】1 星 【解析】略 【答案】10cm或6cm 【例2】 如图， 1 O， 2 O， 3 O两两相外切， 1 O的半径 1 1r ， 2 O的半径 2 2r ， 3 O的半径 3 3r ， 则 123 OO O是（ ） A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D锐角三角形或钝角三角形 O3 O2 O1 【难度】3 星 【解析】考察根据圆外切圆心距等于半径之和，结合勾股逆定理所以选 B 【答案】B

19、 【巩固】已知两圆半径分别为 2 和 3，圆心距为d，若两圆没有公共点，则下列结论正确的是( ) A01d B5d C01d或5d D01d 或5d 【难度】2 星 【解析】略 【答案】D 1通过本堂课你学会了 2掌握的不太好的部分 3老师点评： 课堂检测 总结复习 1. 右图是一个“众志成城，奉献爱心”的图标，图标中两圆的位置关系是 A外离 B相交 C外切 D内切 【难度】1 星 【解析】略 【答案】C 2. 已知O1、O2的半径分别为 6 和 3，O1、O2的坐标分别是(5，0)和(0，6)，则两圆的位置关系 是（ ） A相交 B外切 C内切 D外离 【难度】2 星 【解析】略 【答案】A 3. 如图， 1 O和 2 O的半径为1和3，连接 12 OO交 2 O于点P， 12 8OO ，若将 1 O绕点P按顺时 针方向旋转360，则 1 O 与 2 O 共相切_次 PO2 O1 【难度】2 星 【解析】略 【答案】3 4. 一条皮带安装在半径是14和4的两只皮带轮上(皮带紧绷且不相交)，若皮带在两只轮子切点间的 距离是24，那么两轮圆心间的距离是_ 【难度】2 星 【解析】略 【答案】26 5. 已知相切两圆的半径分别为cm5和4cm，这两个圆的圆心距是 【难度】2 星 【解析】考察相切两圆有两种位置关系，内切与外切所以答案是 9 或 1 【答案】9 或 1 课后作业