著名机构七年级数学暑假班讲义13-分组分解法-教师版

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1、教师姓名 学生姓名 年 级 初一 上课时间 学 科 数学 课题名称 分组分解法 1. .分组分解法的意义分组分解法的意义 有的多项式各项没有公因式，也不能直接运用公式分解因式，但是某些项通过适当的结合成为一 组，利用分组可以进行多项式的局部分解，然后，综合起来，再从总体上用提取公因式法和十字相乘 法继续进行分解，直到分解出最后结果.这种分解因式的方法叫做分组分解法. 2. .分组的原则分组的原则 （1）分组分解法适用于不能直接使用提取公因式法、公式法和十字相乘法的多项式. （2）分组分解法比较灵活，其关键在于分组要适当，它的分组原则是： 分组分解法 分组后能直接提取公因式； 分组后能直接运用公

2、式. （3）分组分解法并不是一种独立的因式分解的方法.通过对多项式进行适当的分组，把多项式转化为可 以应用基本方法（即提取公因式法或公式法）分解的结构形式，使之具有公因式，或者符合公式的特点 等，从而达到可以利用基本方法进行分解因式的目的. （4）我们有目的地将多项式的某些项组成一组，从局部考虑，使每组能够分解，从而达到整个多项式 因式分解的目的，至于如何恰当地分组，需要具体问题具体分析，但分组时要有预见性，要统筹思考， 减少盲目性，分组的好坏直接影响到因式分解能否顺利进行.通过适当的练习，不断总结规律，便能掌 握分组的技巧. 3. .常用的分组方法常用的分组方法 方法一：分组后能提取公因式

3、（1）按字母分组.例如：分解因式：axaybxby可以按某一字母为准分组，若按含有字母a的分 为一组，含有字母b的分为一组，即 ()()axaybxbyaxaybxby()()a xyb xy， 这样就产生了公因式()xy. （2）按系数分组.例如：分解因式： 2 33aabba，我们观察到前两项的系数之比和后两项系数之 比恰好相等，即1:( 1)3:( 3)，则 22 33()(33 )aabbaaabab()3()a abab. （3）按次数分组.例如：分解因式： 3232 xxxyyy，此多项式有两个三次项，有两个二次项， 有两个一次项，按次数分组为： 3322 ()()()xyxyxy

4、. 方法二：分组后能运用公式 例如： 222 2xxyyz，可以把前三项作为一组，它是一个完全平方式，可以分解 为 2 ()xy.而 22 ()xyz又是平方差形式的多项式，还可以继续分解. 方法三：重新分组 例如：分解因式 2 43(34)xyxy，此多项式必须先去括号，进行重新分组. 22 43(34)4334xyxyxyxyx 2 (44 )(33)xxyxy4 (1)3 (1)x xy x(43 )(1)xy x. 4. .分组分解法分解因式的几点注意分组分解法分解因式的几点注意 （1）分组分解法主要应用于四项以上（包括四项）的多项式的因式分解. （2）解题时仍应首先考虑公因式的提取，

5、公式法的应用，其次才考虑分组. （3）分组方法的不同，仅仅是因为分解的手段不同，各种手段的目的都是把原多项式进行因式分解. （4）对于四项式的两两分组，尽管方法不唯一，但是并不是任何两项分组都可以达到目的，分组要注 意合理性，四项式中的另一种三项、一项分组，这三项的一组中应使其成为完全平方公式，而剩 下的一项必须能写成某个式子的平方， 且又与完全平方的式子的符号相反， 则得到 22 ab的形式， 再用平方差公式分解. （5）五项式一般采用三项、两项分组. （6）六项式采用三、三分组，或三、二、一分组，或二、二、二分组. （7）原多项式中带有括号时一般采用不便于分组时可先将括号去掉，整理后再分组

6、分解. 1、四项多项式的因式分解： （1）二、二项分组（每组各自提取公因式或用平方差公式分解后，两组再有共同的公因式 可以提取） 【例 1】 （1） 2 2233xxyxy （2）bbaa44 22 （3）1+-x- 2222 yyx （4） 32 1xxx （5）xxyyx2137 2 （6） 322 3636xx yx zxyz （7） 22 44abab （8）y4-4-2x- 22 yx 【答案】 （1）23xxy（2）4aba b （3）1111xxyy （4） 2 11xx（5）73xyx（6）3x xyxz（7）4a bab （8）222xyxy （2）一、三项分组（三项分在一组

7、后能够用完全平方分解，再利用平方差公式） 【例 2】 （1） 22 21xyxy （2）yzzyx2 222 （3） 22 414xyy （4）444 22 yxyx （5） 22 -10+25-yyx （6） 222 162494zyzyx （6） 222 4162516zyxyz （7） 222 492416xyyzz 【答案】 （1）11xyxy （2）xyzxyz（3）2121xyxy （4）2222xyxy（5）55xyxy（6）434434xyzxyz （7）542542xyzxyz（8）434434xyzxyz 2、五项多项式的因式分解： （1）三、二项分组（三项用完全平方式或十

8、字相乘法分解，两组再有共同的公因式可以提取） 【例 3】 （1） 22 2mnmnnm （2）yyxyxx9963 22 （3）yxyxyx79821 22 （4） 9y-3x-18-3- 22 yxyx （5） abbaba4844 22 （6） 22 2zyzyxzxy 【答案】 （1）1m nm n （2）333xyxy（3）7141xyxy （4）363xyxy（5）224abab（6）xyzyz （2）三、一、一项分组（其中一项需要拆分两个） 【例 4】 （1）14 2222 xyyxyx （2） 222 432aabbbcc （3）1222 234 aaaa 【答案】 （1）11x

9、yxyxyxy（2）3abcabc （3） 2 2 11aa 3、六项多项式的因式分解： （1）二、二、二分组（每组各自提取公因式或用平方差公式分解后，三组再有共同的公因 式可以提取） 【例 5】 （1） 2222 yyxxyyxx （2） yxaaxxyx23642 2 【答案】 （1）1xyxyxy（2）2123xxya （2）三、二、一分组（三项用完全平方公式分解后做二次项，另两项做一次项，最后一项 做常数项） 【例 6】 （1） 22 69103025xxyyxy （2） xzyzxyzyx612494 222 （3）3-4y+2x-y4+4- 22 xyx （4）14244 22 y

10、xyxyx 【答案】 （1） 2 35xy（2） 2 23xyz （3）2321xyxy（4） 2 21xy （3）三、三分组（每组三项用完全平方公式分解，再用平方差公式分解） 【例 7】 （1） 222 21 2xyzyzx （2） cdabdcba424 2222 【答案】 （1）11xyzxyz （2）22abcdabcd （4）去括号后再分组： 【例 8】 （1）)()( 2222 bacddcab （2）6)2)(1(xxx （3）xyyx4)1)(1 ( 22 （4）)()(babacddcdcab 【答案】 （1）ac bdbcad（2） 2 32xx （3）11xyxyxyxy

11、 （4）ac bdadbc 【习题 1】分解因式：263acadbcbd 【答案】 263 (26)(3) 2 (3 )(3 ) (3 )(2) acadbcbd acadbcbd a cdb cd cdab 解 【习题 2】因式分解 32 (1)339xxx (2)33abmabm (3)1abab(4)2241xyxy 【答案】 (1) 2 (3)(3)xx (2)()(3)abm (3)(1)(1)ab(4)(21)(21)xy 【习题 3】把下列各式因式分解 （1） 22 926abab （2） 22 42xxyy （3）a22abb2c2 （4） 222 9124cbcba 【答案】

12、 （1）(3 )(32)ab ab； （2）(2 )(21)xy xy； （3）()()abc abc； （4）(23 )(23 )abc abc； 【习题 4】分解因式： 222 44aabbc 【答案】 222 222 22 44 (44) (2 )(3 ) (2)(2) aabbc aabbc abcb cd abc abc 解 【习题 5】分解因式： 22 (1)92xxyy 22 (2)4941mnm 22 (3)29abab 22 (4)41 4xxyy 【答案】 (1) (3)(3)xyxy； (2)(21 3 )(21 3 )mnmn (3) (3)(3)abab； (4) (

13、21)(21)xyxy 【习题 6】分解因式： 22 2334xxyyxy 【答案】 22 22 2 2334 (2)(33 )4 ()3()4 (4)(1) xxyyxy xxyyxy xyxy xyxy 解 【习题 7】分解因式： 22 (1)44241aabbab 22 (2)2443xxyyxy 【答案】 (1) 2 (21)ab； (2) 答案：(1) (1)(3)xyxy 【习题 8】因式分解：25332 22 yxyxyx 【答案】 解： 22 23352xxyyxy 22 (23)(35 )2 ()(3 )(35 )2 () 1 (3 )2 (1)(32) xxyyxy xy xyxy xyxy xyxy 【习题 9】分解因式： （1） 22 65483xxyyxy（2） 22 3191521xxyyxy 【答案】 （1）(1)(53)xyxy（2）(231)(351)xyxy 【习题 10】因式分解： 22 22xaxxaxa 【答案】解： 22 22xaxxaxa 22 22 2 2(2) (2)(2) (1)(2) (1)(2)(1) axaxaxx a xxxx axx axx