著名机构七年级数学暑假班讲义12-十字相乘法-教师版

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1、教师姓名 学生姓名 年 级 初一 上课时间 学 科 数学 课题名称 十字相乘法 1二次三项式： （1）多项式cbxax 2 ，称为字母 x 的二次三项式，其中 2 ax称为二次项，bx 为一次项， c 为常数项例如，32 2 xx和65 2 xx都是关于 x 的二次三项式 （2）在多项式 22 86yxyx中，如果把 y 看作常数，就是关于 x 的二次三项式；如果把 x 看作常数，就是关于 y 的二次三项式 （3）在多项式372 22 abba中，把 ab 看作一个整体，即3)(7)(2 2 abab，就是关于 ab 的二次三项式同样，多项式12)(7)( 2 yxyx，把 xy 看作一个整体

2、，就 十字相乘法 是关于 xy 的二次三项式 说明：说明：十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法 2.十字相乘法的定义： 利用十字交叉线来分解系数,把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。 3.十字相乘法的方法： （1）对于二次项系数为 1 的二次三项式qpxx 2 ， 特点：二次项系数是 1； 常数项是两个数的乘积； 一次项系数是常数项的两因数的和 分解结果： )()( 2 bxaxabxbax 掌握方法: 拆常数项,凑一次项. 符号规律: 当 q0 时，a、b 同号，且 a、b 的符号与 p 的符号相同； 当 q0 时，a、b 异号，且绝对值较大的因数与 p 的符号相同. （2）二

3、次项系数不为 1 的二次三项式cbxax 2 条件： 21a aa 1 a 1 c 21c cc 2 a 2 c 1221 cacab 1221 cacab 分解结果：cbxax 2 =)( 2211 cxacxa 掌握方法: 拆两头，凑中间. 符号规律:常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同； 常数项为负数时，应分解为两异号因数，十字连线上两数积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同 【例 1】因式分解： 2 56xx； 【分析】先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交 叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其

4、等于一次项系数. 分解二次项系数(只取正因数)：111； 分解常数项：6=16=61=(1)(6)=(6)(1) =23=32=(2)(3)=(3)(2). 用画十字交叉线方法表示下列四种情况： 16+11=7 1（-6）+1（-1）=-7 13+12=5 1(2)+1(3)=5 经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数5. 【答案】 2 5623xxxx . 【例 2】因式分解 2 273xx. 【分析】先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交 叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数. 分

5、解二次项系数(只取正因数)：21221； 分解常数项：3=13=31=(3)(1)=(1)(3). 用画十字交叉线方法表示下列四种情况： 13+21=5 11+23=7 1 1 1 1 1 6 -1 -6 1 1 1 1 2 3 -2 -3 1 2 3 1 1 3 1 2 1 1 2 2 -1 -3 -3 -1 1(3)+2(1)=5 1(1)+2(3)=7 经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数7. 【答案】2x27x+3=(x3)(2x1). 【例 3】因式分解： 22 56xxyy 【分析】将 y 看作常数，转化为关于 x 的二次三项式，常数项 2

6、6y可分为( 2 )( 3 )yy，而 ( 2 )( 3 )5yyy 恰为一次项系数 【答案】 22 56(2 )(3 )xxyyxy xy 【例 4】分解因式：(1) 42 76xx； (2) 22 67x yxy. 【分析】(1)二次三项式 42 76xx中，把 2 x看作一个整体，即 2 22 ()76xx,就是关于 2 x 的二次 三项式； (2)二次三项式 22 67x yxy中，把xy看作一个整体，即 2 ()67xyxy,就是关于xy的二次 三项式 【答案】(1) 2 (1)(1)(6)xxx；(2) (7)(1)xyxy 强调：因式分解结果要分解到不能分解为止。 【例 5】把下

7、列各式分解因式： （1）910 24 xx； （2）)(2)( 5)(7 23 yxyxyx； （3）120)8(22)8( 222 aaaa 分析： （1）把 2 x看作一整体，从而转化为关于 2 x的二次三项式； （2）提取公因式(xy)后，原式可转化为关于(xy)的二次三项式； （3）以 2 (8 )aa为整体，转化为关于 2 (8 )aa的二次三项式 【答案】 （1） 4222 109(1)(9)xxxx (x1)(x1)(x3)(x3) （2） 32 7()5()2()xyxyxy 2 ()7()5()2xyxyxy (xy)(xy)17(xy)2 (xy)(xy1)(7x7y2)

8、（3） 222 (8 )22(8 ) 120aaaa 22 (812)(810)aaaa 2 (2)(6)(810)aaaa 【例 6】如果 2 24xAx可以分解成(3)()xxB，则 A、B 的值分别是（ ） A. 5、8 B. 5、8 C. 5、8 D. 5、8 【答案】B 【例 7】把多项式 2 5xxm因式分解是7xxn，则 m、n 的值分别是 ( ) A14,2mn B14,2mn C14,2mn D14,2mn 【答案】B 【习题 1】下列各式中，可用十字相乘法分解因式的是（ ） A、23 2 xx B、42 2 xx C、23 2 xx D、1 2 xx 【答案】A 【习题 2

9、】下列各式中，不能用十字相乘法分解因式的是（ ） A、2 2 xx B、127 2 xx C、124 2 xx D、12 2 xx 【答案】D 【习题 3】分解因式54 2 xx的结果是（ ） A、51-xx B、51xx C、5x1x D、5-x1-x 【答案】B 【习题 4】若 2 8xmx能分解成两个一次因式的积，且 m 为整数，则 m 不可能是 ( ) A、6 B、 6 C、9 D、7 【答案】D 【习题 5】多项式 2 8(9)()xxmxxn，则 m、n 的值为（ ） A、9,1mn B、10,1mn C、9,1mn D、9,1mn 【答案】C 【习题 6】 2 x（ ）+20=（

10、x+4） （ ） 【答案】95xx 【习题 7】 2 x（ ）-20=4x（ ） 【答案】5xx 【习题 8】若mmx123 2 ，则xxx . 【答案】2 【习题 9】若qxxpxx28 2 ，则 p= . q= . 【答案】64 【习题 10】分解因式：65 2 xx . 【答案】23xx 【习题 11】分解因式：12 2 xx . 【答案】34xx 【习题 12】分解因式：6 2 xx . 【答案】32xx 【习题 13】分解因式 （1）45 24 xx （2）124 2 yxyx （3）1610 22 xyyx 【答案】 （1）2211xxxx（2）62xyxy（3）82xyxy 【习

11、题 14】已知多项式6 2 axx可分解成两个整系数的一次因式的积，求 a 的值。 【答案】1155 【习题 15】因式分解： 42 (1)89xx 22 (2)12xxyy 22 (3)712aabb 22 (4)78a bab 2 (5)36 5()()abab 4224 (6)1336xx yy 【答案】(1) 2 (3)(3)(1)xxx (2) (4 )(3 )xy xy (3)(4 )(3 )ab ab (4)(8)(1)abab (5)(4)(9)abab (6) (2 )(2 )(3 )(3 )xyxyxyxy 【习题 16】因式分解 （1） 2 1024xyxy； （2） 2

12、 550xyxy； （3） 2 365 mnmn； （4） 2 2 920abacbcc； 【答案】 （1）122xyxy； （2）105xyxy； （3）49mnmn； （4）45abcabc 【习题 17】因式分解 （1）2)2( 344 22 nmnmnm （2） 22 276yxyx （3）60)(17 2 2 2 xxxx （4）7441 2 2 2 xxxx 【答案】 （1）2221mnmn （2） 322xyxy （3） 2 453xxxx （4） 2 421xxxx 【习题 18】因式分解： 22 33348xxxx. 【答案】 2 3541xxxx 【习题 19】已知 2222 5240xyxy .求 22 xy的值. 【答案】 22 3xy