著名机构七年级数学暑假班讲义05-七年级基础版-幂的乘方与积的乘方-教师版

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1、教师姓名 学生姓名 年 级 初一 上课时间 学 科 数学 课题名称 幂的乘方和积的乘方 幂的乘方和积的乘方 知识模块：知识模块：同底数幂的乘法同底数幂的乘法 1、同底数幂：同底数幂是指底数相同的底数相同的的幂（注：底数可以是具体的数、单项式、多项式） 2、读法： n a表示n个a的积，读作a的n次方，或a的n次幂，其中a表示底数底数，正整数n表示次数次数 计算结果叫做幂幂. 3、同底数的幂相乘法则：同底数的幂相乘，底数底数不变，指数指数相加。 mn aa m n a ， mnp aaa m np a 【例 1】指出下列各幂的底数和指数： 3 4 (2 ) 4 3 ()a 3 5 ()a 【答案

2、】在上列各式中我们若把 3 2看成一个整体，那么: 3 4 (2 )的底数是 3 2，指数是 4，它就是 2 的 3 次幂的 4 次方； 4 3 ()a的底数是 ，指数是 ，它就是 . 3 5 ()a的底数是 ，指数是 ，它就是 . 归纳总结：归纳总结： 3 4 (2 )； ； 4 3 ()a ； 3 5 ()a 称之为幂的乘方。称之为幂的乘方。 【例 2】请计算： 3 4 (2 )； 4 3 ()a ； 3 5 ()a 【答案】提醒学生可以根据乘方的意义和同底数的幂的乘法性质。得 （1） 3 4 (2 )= = 2 （2） 4 3 ()a= = a （3） 3 5 ()a= = a 让学生观

3、察（1） 3 4 (2 )= 12 2； （2） 4 3 ()a= 12 a； （3） 3 5 ()a= 15 a三小题左右两边的变化规律 猜想：如果猜想：如果 m、n 都是正整数，那么都是正整数，那么 () m n a = = 知识模块知识模块：幂的乘方：幂的乘方 1.幂的乘方法则 （1）幂的乘方是指几个相同的幂相乘，如 2 3 ()a 是 3 个 2 a相乘，读作a的 2 次幂的三次方. （2）幂的乘方，底数不变，指数相乘.即() m nmn aa （mn、为正整数）幂的乘方是以幂为底数的乘 方运算. 2.幂的乘方法则与同底数幂的乘方法则的区别： 幂的乘方运算，是转化为指数的乘法运算（底数

4、不变） ； 同底数幂的乘法，是转化为指数的加法运算（底数不变）. 如 3 43 412 (2 )22 ，而 347 222 . 3.逆用此法则，即()() mnm nn m aaa，可帮助我们根据问题的需要将式子灵活变形. 【例 3】计算下列各题 （1） 7 2 (10 )； （2） 1 2 () m a ； （3） 3 4 () xy； （4） 21 ()n n cc . 【答案】 （1） 14 10（2） 22m a （3） 7 xy（4） 31n c 【例 4】已知: 3 5a ，求： （1） 2 3 ()a的值； （2） 9 a的值. 【答案】 （1）25（2）125 【例 5】计算下

5、列各题 （1） 2352 3 ()()xxxx （2） 2 32534 () ()xxxxxx 【答案】 （1） 6 x； （2） 7 x 知识模块：积的乘方知识模块：积的乘方 1.积的乘方法则 （1）积的乘方是指底数是乘积的形式的乘方，如 2 ()ab， 3 ()xyz等. （2）积的乘方等于等于把积的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘. 即为正整数）nbaab nn n ( .这个法则适用于三个或三个以上因式的积的乘方运算. 2.在运用积的乘方的性质进行计算时，易出现漏掉部分因式乘方的错误，如： 2 224 ( 3)3xyx y . 3.逆用此性质，即() nnn abab，在计算中若有

6、指数相同的幂相乘，可先把底数相乘，再去求积的同 次幂.有时候，性质的逆向使用，会使一些数的计算简化.如： 200520052005 11 2( )(2)1 22 . 4.关于幂的三种运算（同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方）法则的异同归纳如下： 比较 共同点 不同点 幂的三种运算法则 运算中的底数不变，只对指数进行运算. 法则中的底数和指数具有普遍性，既可以是 数，也可以是式，指数均为正整数. 对于含有三个或三个以上的同底数幂相乘， 或幂（或积）的乘方等运算，法则仍然成立. 同底数幂相乘是指数相加. 幂的乘方是指数相乘. 积的乘方是每个因式分别乘 方. 【例 6】 计算 （1） 33 ( 3)m

7、 n； （2） 32 4 ( 2)a b； （3） 24 3 ( 2)a b . 【答案】 （1） 93 27m n（2） 128 16a b（3） 612 8a b 【例 7】计算： （1） 2 43 34 44 232 3 3() ()() ()( 2) () ()aaaaaaa ； （2） 268 21.25. 【答案】 （1） 17 6a（2） 8 4 10 【例 8】以下各题的错解都是具有代表性的，仔细思考错在何处，并把错解改正过来. (1) 333 2aaa （ ） (2) 448 xxx （ ） (3) 55 ()xyxy （ ） (4) 3 412 ( 2)16aa（ ） (5

8、) 5515 101010 （ ） (6) 4416 x xxx （ ） 【答案】 （1）错， 6 a（2）错， 4 2x（3）错， 55 x y（4）错， 12 16a（5）错， 10 10（6）错， 17 x 【例 9】计算： (1) 1111 ( 0.25)4 (2) 20132014 ( 0.125)8 【答案】 （1） 11111111 ( 0.25)4( 0.25 4)( 1)1 ； （2） 20132014201320132013 ( 0.125)8( 0.125)88( 0.125 8)88 知识模块知识模块：混合运算：混合运算 整式的混合运算法则：对于整式的加（减） 、乘混合

9、运算，需根据先乘除乘除再加减加减的运算顺序进行计算。 【例 10】计算 3 2 23 2 -. 3 3 x yxy 【分析】同时有积的乘方和幂的乘方的运算，先通过幂的乘方分配括号外面的乘法，之后再进行幂乘方 运算，最后再进行同底数的乘法运算即可得到正确答案 【答案】 811 8 3 x y 【例 11】.已知105,106 ab ，求（1） 23 1010 ab 的值； （2） 23 10 ab 的值 【分析】利用整体思想将 3 22233 10(10 )525,10106216 aabb 再带入题目中进行解答，考 虑整体带入的思想 【答案】 （1） 2323 (10 )(10 )56241

10、ab （2） 232323 101010(10 ) (10 )5400 ababab 【例 12】阅读下列解题过程：试比较 100 2 与 75 3的大小 解： 1004 2525 2(2 )16 753 2525 3(3 )27 而1627， 所以 2525 1627 10075 23 请根据上述解答过程解答：比较 55 2 、 44 3、 33 4 的大小 【答案】 555 1111 444 1111 333 1111 111111 443355 2(2 )32 3(3 )91 4(4 )64 916432 342 【习题 1】下列等式成立的是（ ） （A） 224 aaa （B） 248

11、 aaa （C） 33 ()n n aa （D） 33 (2 )2aa 【答案】C 【习题 2】如果 x 和 y 互为倒数，那么 20142013 ()xy 的值为 （ ） Ax Bx Cy D y 【答案】B 【习题 3】计算： 612 45_（结果用幂的形式表示） 【答案】 12 10 【习题 4】计算： 3 22 3 ()()aa = 【答案】 12 a 【习题 5】计算： 33 () () nn aa 【答案】 6n a 【习题 6】 322 3927= （结果用幂的形式表示） 【答案】 12 3 【习题 7】若 35 ( 2)2x ，则 x= 【答案】4 【习题 8】 （1） 23

12、10 101010； （2） 35 x xx ； （3） 23 11 1010 6 1 10 ； （填“”，或“=”，或“”号） （4）如果 342 1111 2222 n ，那么n ； 【答案】 （1）6（2） 9 x（3）（4）5 【习题 9】 3 52615m nm n xyx y ,则m ，n= . 【答案】1，-3 【习题 10】用简便方法计算： （1） 20062006 0.25 ； （2） 111112 733 1 982 . 【答案】 （1）1（2） 3 2 【习题 11】计算： （1） 23 aaa； （2） 35 2 xxx； （3） 3 baab； （4） 23 abba

13、； （5） 45 22abba； （6） 43 mnnmmn； （7） 43 nmmnmn； （8） 234 ababbaab 【答案】 （1） 6 a（2） 10 x（3） 4 ab（4） 5 ba（5） 9 2ba（6） 8 mn（7） 8 mn （8） 55 abba 【习题 12】 计算： （1） 4 4 ( 2 10 ) ； （2） 4 22 442 232 2 (2)2 ()()() () ()xxxxxxx ； （3） 20062006 (0.2)( 5) ； （4） 111112 733 ( 1 )( )() 982 . 【答案】 （1） 17 1.6 10（2）0（3）1（4

14、） 3 2 【习题 13】试比较 555 3， 444 4 ， 333 5的大小. 【答案】 111 5555111 33243； 111 4444111 44256； 111 3333111 55125 444555333 435 【习题 14】计算： (1) 62 0.25( 32) (2) 2014201420132013 11 ( 8)( 7)()() 87 【答案】 （1） 621210102 1111 0.25( 32)( )( 2)( 2)( ) 2224 （2） 20132013 11 ( 8) ()( 7) ()( 8) ( 7)56 87 【习题 15】计算： （1） 23

15、 22 42 52 2 2 ( ) ()() ()xxxx； （2） 231 232 ()()() () mnmn aaaaa . 【答案】 （1） 14 5x（2）0 【习题 16】已知2 m a，3 n a ，求 23mn a 的值. 【答案】108 【习题 17】 （1） 4 510 22 4 ()()3() xxx （2） 2 22 45 22 2 3()()()()xxxx 【答案】 （1） 8 3x（2） 1214 3xx 【习题 18】 （1）. 2352 231 () 343 a bccab c （2）. 22 2 2222 11 6 32 xy zxyzx y 【答案】 （1

16、） 339 1 6 a b c （2） 9118 1 2 x y z 【习题 19】已知2ma，2nb，求（1）8m n ， （2） 32 22 m nmn 的值 【答案】 （1） 33333 3 888(2 )(2 )(2 ) (2 ) m nmnmnmn a b （2） 32323232 22222222(2 ) (2 ) m nmnmnmnmnmn ab a b 【习题 20】试问 20052006 25的积有多少个 0？是几位数？ 【分析】 20052006200520052005 252555 10 【答案】 20052006 25的积有 2005 个 0； 20052006 25的积是 2006 位数