2020高考数学(理)专项复习《概率统计》含答案解析
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1、概率统计概率统计 统计是研究如何合理收集、整理、分析数据的学科,为人们制定决策提供依据概率是 研究随机现象规律的学科,为人们认识客观世界提供重要的思维模式和解决问题的方法 统计一章介绍随机抽样、 样本估计总体、 线性回归的基本方法, 通过对典型案例的讨论, 了解和使用一些常用的统计方法, 进一步体会运用统计方法解决实际问题的基本思想, 认识 统计方法在决策中的作用概率一章介绍随机现象与概率的意义、古典概型及几何概型,学 习某些离散型随机变量分布列及其期望、 方差等内容, 初步学会利用离散型随机变量思想描 述和分析某些随机现象的方法, 并能用所学知识解决一些简单的实际问题, 进一步体会概率 模型
2、的作用及运用概率思考问题的特点,初步形成用随机观念观察、分析问题的意识 11111 1 概率概率( (一一) ) 【知识要点【知识要点】 1事件与基本事件空间: 随机事件:当我们在同样的条件下重复进行试验时,有的结果始终不会发生,它称为不 可能事件;有的结果在每次试验中一定会发生,它称为必然事件;在试验中可能发生也可能 不发生的结果称为随机事件,随机事件简称为事件 基本事件与基本事件空间:在一次试验中我们常常要关心的是所有可能发生的基本结 果,它们是试验中不能再分的最简单的随机事件,其他事件可以用它们来描述,这样的事件 称为基本事件所有基本事件构成的集合叫做基本事件空间,常用 表示 2频率与概
3、率 频率:在相同的条件S下,重复n次试验,观察某个事件A是否出现,称n次试验中事 件A的出现次数m为事件A出现的频数,称事件A出现的比例 n m 为事件A出现的频率 概率:一般的,在n次重复进行的试验中,事件A发生的频率 n m ,当n很大时总是在 某个常数附近摆动,随着n的增加,摆动幅度越来越小,这时就把这个常数叫做事件A的概 率,记做P(A)显然有 0P(A)1 不可能事件的概率为 0,必然事件的概率为 1,随机事件的概率在(0,1)之间 3互斥事件的概率加法公式 事件的并:由事件A或B至少有一个发生构成的事件C称为事件A与B的并,记做C AB 互斥事件:不可能同时发生的两个事件称为互斥事
4、件 互斥事件加法公式:如果事件A、B互斥,则事件AB发生的概率等于这两个事件分别 发生的概率和,即P(AB)P(A)P(B) 如果A1,A2,An两两互斥,那么事件A1A2An发生的概率,等于这n个事件 分别发生的概率和,即P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An) 对立事件: 不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件 事件A的对立 事件记作A,满足P(A)1P(A) 概率的一般加法公式(选学):事件A和B同时发生构成的事件D,称为事件A与B的交 (积),记作DAB在古典概型中,P(AB)P(A)P(B)P(AB) 4古典概型 古典概型:一次试验有下面两个特征:(1)有限性,
5、在一次试验中可能出现的结果只有 有限个,即只有有限个不同的基本事件;(2)等可能性,每个基本事件发生的可能性是均等 的,则称这个试验为古典概型古典概型的性质:对于古典概型,如果试验的n个基本事件 为A1,A2,An,则有P(A1A2An)1 且 n AP i 1 )( 概率的古典定义:在古典概型中,如果试验的基本事件总数为n(),随机事件A包含 的基本事件数为n(A),则p(A) 试验的基本事件总数 包含的基本事件数事件A ,即 )( )( )( n An AP 5几何概型 几何概型:一次试验具有这样的特征:事件A理解为区域的一个子区域A,A的概率 只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积)成
6、正比,而与A的位置和形状无关,这样的试 验称为几何概型 几何概型的特点:(1)无限性:一次试验中可能出现的结果有无穷多个;(2)等可能性, 每个基本事件发生的可能性相等 几何概型中事件A的概率定义: A AP )(,其中表示区域的几何度量,A表 示子区域A的几何度量 随机数:就是在一定范围内随机产生的数,并且得到这个范围内的每一个数的机会均 等计算机随机模拟法(蒙特卡罗方法)是利用模型来研究某种现象的性质的一种有效方法, 可以节约大量的人力物力 6条件概率与事件的独立性 条件概率:一般的,设A、B为两个事件,且P(A)0,称P(BA) )( )( AP BAP 为在事 件A发生的条件下,事件B
7、发生的概率一般把P(BA)读作“A发生的条件下B发生的概 率” 在古典概型中,用n(A)表示事件A中基本事件的个数,则有P(BA) )( )( An BAn 事件的独立性:设A、B为两个事件,如果P(BA)P(B),则称事件A与事件B相互 独立,并称事件A、B为相互独立事件 若A、B为两个相互独立事件,则A与A、A与B、A与B也都相互独立 若事件A与事件B相互独立,则P(AB)P(A)P(B) 【复习要求】【复习要求】 1了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,了解概率的意义,了解频率与概率 的区别 2了解两个互斥事件的概率加法公式 3理解古典概型及其概率计算公式,会计算一些随机事件所含的基
8、本事件数及事件发 生的概率 4了解随机数的意义,了解几何概型的意义 5在具体情境中,了解条件概率,了解两个事件相互独立的概念及独立事件的概率乘 法公式,并能解决一些简单的实际问题 【例题分析】【例题分析】 例例 1 1 国家射击队的某队员射击一次,命中 710 环的概率如下表: 命中环数 10 环 9 环 8 环 7 环 概率 0.32 0.28 0.18 0.12 求该队员射击一次, (1)射中 9 环或 10 环的概率; (2)至少命中 8 环的概率; (3)命中不足 8 环的概率 【分析】【分析】射击运动员一次射击只能命中 1 个环数,命中不同的环数是互斥事件,射中 9 环或 10 环的
9、概率等于射中 9 环与射中 10 环的概率和 命中不足 8 环所包含的事件较多, 而 其对立事件为“至少命中 8 环” ,可先求其对立事件的概率,再通过P(A)1P(A)求解 解:解:设事件“射击一次,命中k环”为事件Ak(kN N,k10),则事件Ak彼此互斥 (1)记“射击一次,射中 9 环或 10 环”为事件A,则 P(A)P(A10)P(A9)0.60 (2)记“射击一次,至少命中 8 环”为事件B,则 P(B)P(A10)P(A9)P(A8)0.78 (3)“射击一次,命中不足 8 环”为事件B的对立事件,则 P(B)1P(B)0.22 【评析】【评析】解决概率问题时,要先分清所求事
10、件由哪些事件组成,分析是否是互斥事件, 再决定用哪个公式 当用互斥事件的概率加法公式解题时, 要学会不重不漏的将事件拆为几 个互斥事件,要善于用对立事件解题 例例 2 2 现有 8 名奥运会志愿者,其中志愿者A1,A2,A3通晓日语,B1,B2,B3通晓俄语, C1,C2通晓韩语从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各 1 名,组成一个小组 ()求A1被选中的概率; ()求B1和C1不全被选中的概率 【分析【分析】本题是一个古典概型的问题,可以直接用概率公式 )( )( )( n An AP求解 解:解:()从 8 人中选出日语、俄语和韩语志愿者各 1 名,其一切可能的结果组成的基本 事件空间
11、(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1), (A1,B3,C2),(A2,B1,C1),(A2,B1,C2),(A2,B2,C1),(A2,B2,C2), (A2,B3,C1),(A2,B3,C2),(A3,B1,C1),(A3,B1,C2),(A3,B2,C1), (A3,B2,C2),(A3,B3,C1),(A3,B3,C2) 由 18 个基本事件组成由于每一个基本事件被抽取的机会均等,因此这些基本事件的 发生是等可能的 用M表示“A1恰被选中”这一事件,则 M(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1
12、), (A1,B2,C2),(A1,B3,C1),(A1,B3,C2) 事件M由 6 个基本事件组成,因而 3 1 18 6 )(MP ()用N表示“B1,C1不全被选中”这一事件,则其对立事件N表示“B1,C1全被选中” 这一事件, 由于N(A1,B1,C1),(A2,B1,C1),(A3,B1,C1),事件N由 3 个基本事件组成, 所以 6 1 18 3 )(NP,由对立事件的概率公式得 6 5 6 1 1)(1)(NPNP 【评析】【评析】 古典概型解决概率问题时, 选定基本事件空间并计算其所含基本事件的个数是 重要的一步本题中选定“从 8 人中选出日语、俄语和韩语志愿者各 1 名,其
13、一切可能的结 果”为基本事件空间,计算时采用列举法,也可以利用乘法计数原理计算 33218本 题第一问还可以选定“从通晓日语的 3 人中选出 1 人的可能结果”为基本事件空间,共有 3 个基本事件,选出A1只有一种可能,故所求概率为 3 1 例例 3 3 一个口袋中装有大小相同的 2 个红球,3 个黑球和 4 个白球,从口袋中一次摸出 一个球,摸出的球不再放回 (1)连续摸球 2 次,求第一次摸出黑球,第二次摸出白球的概率; (2)连续摸球 2 次,在第一次摸到黑球的条件下,求第二次摸到白球的概率; (3)如果摸出红球,则停止摸球,求摸球次数不超过 3 次的概率 【分析】【分析】本题是一个古典
14、概型问题,因为基本事件空间中所含基本事件的个数较多,宜 用排列组合公式计算,当然也可利用两个计数原理计数本题第二问是条件概率问题做第 三问时,要分为三个事件: “第一次摸到红球” , “第一次摸到不是红球,第二次摸到红球” , “前两次摸到不是红球,第三次摸到红球” ,显然三个事件是互斥事件 解:解:(1)从袋中依次摸出 2 个球共有 2 9 A种结果,第一次摸出黑球、第二次摸出白球有 3 412 种结果,则所求概率 6 112 2 9 1 A P(或 6 1 8 4 9 3 1 P) (2)设“第一次摸到黑球”为事件A, “第二次摸到白球”为事件B,则“第一次摸到黑 球, 且第二次摸到白球”
15、 为事件AB, 又 3 1 )(AP,P(AB) 6 1 , 所以或 2 1 3 1 6 1 )|(ABP (或 2 1 8 4 )|(ABP) (3)第一次摸出红球的概率为 1 9 1 2 A A , 第二次摸出红球的概率为 2 9 1 2 1 7 A AA , 第三次摸出红球的 概率为 3 9 1 2 2 7 A AA ,则摸球次数不超过 3 次的概率为 12 7 3 9 1 2 2 7 2 9 1 2 1 7 1 9 1 2 2 A AA A AA A A P 【评析】【评析】利用古典概型求解时,求基本事件的个数和事件发生的总数时求法要一致,若 无序则都无序, 若有序则都有序, 分子和分
16、母的标准要相同 在求事件个数时常用列举法(画 树状图、列表、坐标系法),有时也与排列组合联系紧密,计算时灵活多变,但要注意分类 讨论,做到不重不漏要正确识别条件概率问题,理解P(A),P(AB),P(BA)的含义 例例 4 4 (1)两根相距 6 米的木杆上系一根绳子,并在绳子上挂一盏灯,则灯与两端距离 都大于 2 米的概率是_ (2)甲乙两人约定在6点到7点之间在某处会面, 并约好先到者等候另一人一刻钟, 过时即可离去则两人能会面的概率是_ (3)正方体内有一个内切球,则在正方体内任取一点,这个点在球内的概率为 _ 【分析】【分析】这三个题都可转化为几何概率问题求解分别转化为线段长度、图形面
17、积、几 何体体积问题求解 解:解:(1)本题可转化为: “在长为 6m 的线段上随机取点,恰好落在 2m 到 4m 间的概率为 多少?” 易求得 3 1 P (2)本题可转化为面积问题:即“阴影部分面积占总面积的多少?” , 解得 16 7 )(AP (3)本题可转化为体积问题: 即 “内切球的体积与正方体体积之比是多少?” 解得 6 P 【评析】【评析】几何概型也是一种概率模型,它具有等可能性和无限性两个特点解题的关键 是要建立模型,将实际问题转化为几何概率问题基本步骤是:把基本事件空间转化为与之 对应的区域; 把随机事件A转化为与之对应的区域A; 利用概率公式 )( )( )( A AP
18、计算 常 用的几何度量包括:长度、面积、体积 例例 5 5 设有关于x的一元二次方程x 22axb20 ()若a是从 0,1,2,3 四个数中任取的一个数,b是从 0,1,2 三个数中任取的一 个数,求上述方程有实根的概率; ()若a是从区间0,3任取的一个数,b是从区间0,2任取的一个数,求上述方 程有实根的概率 【分析】【分析】本题第一问是古典概型问题,第二问由于a、b在实数区间选取,可以转化为 几何概型问题求解 解:解:设事件A为“方程x 22axb20 有实根” 当a0,b0 时,方程x 22axb20 有实根的充要条件为 ab ()基本事件共 12 个: (0,0),(0,1),(0
19、,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3, 0),(3,1),(3,2)其中第一个数表示a的取值,第二个数表示b的取值事件A中包含 9 个基本事件,事件A发生的概率为 4 3 12 9 )(AP ()试验的全部结果所构成的区域为(a,b)0a3,0b2 构成事件A的区域为(a,b)0a3,0b2,ab 所以所求的概率为 3 2 23 2 2 1 23 2 【评析】【评析】 几何概型与古典概型的每个基本事件发生的可能性是均等的, 只是几何概型的 基本事件有无限个,而古典概型的基本事件有有限个在具体问题中,不能因为古典概型的 基本事件的个数多而误认为是几
20、何概型 例例 6 6 如图,用A、B、C三类不同的元件连结成两个系统N1、N2,当元件A、B、C都正 常工作时,系统N1正常工作;当元件A正常工作且元件B、C至少有一个正常工作时,系统 N2正常工作,已知元件A、B、C正常工作的概率为 0.80、0.90、0.90,分别求系统N1、N2 正常工作的概率 【分析】【分析】三个元件能否正常工作相互独立当元件A、B、C同时正常工作时,系统N1 正常工作;当元件A正常工作且元件B、C至少有一个正常工作时,系统N2正常工作,而B、 C至少有一个正常工作的概率可通过其对立事件计算 解:解:设元件A、B、C正常工作为事件A、B、C,则P(A)0.8,P(B)
21、0.9,P(C)0.9, 且事件A、B、C相互独立 (1)系统N1正常工作的概率为 p1P(ABC)P(A)P(B)P(C)0.800.900.900.648 (2)元件B、C至少有一个正常工作的概率为 1P(BC)1P(B)P(C)10.10.10.99,所以系统N2正常工作的概 率为 p2P(A)(1P(BC)0.800.990.792 【评析】【评析】本题以串、并联为背景,重点在正确理解题意在计算几个事件同时发生的概 率时,要先判断各个事件之间是否相互独立独立事件、互斥事件、对立事件的概率各有要 求,要依据题目特点,巧妙地选用相关方法 例例 7 7 每次抛掷一枚质地均匀的骰子(六个面上分
22、别标以数字 1,2,3,4,5,6) (1)连续抛掷 3 次,求向上的点数之和为 3 的倍数的概率; (2)连续抛掷 6 次,求向上的点数为奇数且恰好出现 4 次的概率 【分析】【分析】向上点数之和为 3 的倍数共有 6 种情况,计数时要不重不漏;向上点数为奇数 的概率为 2 1 ,连续抛掷 6 次是独立重复试验 解:解:(1)向上的点数之和为 3 的结果有 1 种情况,为 6 的结果共 10 种情况,为 9 的结果 共 25 种情况,为 12 的结果共 25 种情况,为 15 的结果共 10 种情况,为 18 的结果共 1 种情 况 所以 3 1 666 1102525101 2 P (2)
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