2020高考数学(理)专项复习《排列组合二项式定理》含答案解析
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1、排列组合二项式定理排列组合二项式定理 排列、组合与二项式定理是高中数学中内容相对独立的一个部分,排列、组合的知识为 概率与统计中的计数问题提供了一定的方法 这部分内容的试题有一定的综合性与灵活性, 要注意与其他数学知识的联系, 注意与实 际生活的联系通过对典型例题的分析,总结思维规律,提高解题能力 10101 1 排列组合排列组合 【知识要点】【知识要点】 1分类计数原理与分步计数原理 2排列与组合 m n m n m n m n A A mnm n C mn n A )!( ! ! , )!( ! 3组合数的性质: (1) mn n m n CC ; (2) 1 1 m n m n m n
2、CCC 【复习要求】【复习要求】 理解和掌握分类计数与分步计数两个原理 在应用分类计数原理时, 要注意 “类” 与 “类” 之间的独立性和等效性,在应用分步计数原理时,要注意“步”与“步”之间的相关性和连 续性 熟练掌握排列数公式和组合数公式, 注意题目的结构特征和联系; 掌握组合数的两个性 质,并应用于化简、计算和论证 正确区别排列与组合的异同,体会解计数问题的基本方法,正确处理附加的限制条件 【例题分析】【例题分析】 例例 1 1 有 3 封信,4 个信筒 (1)把 3 封信都寄出,有多少种寄信方法? (2)把 3 封信都寄出,且每个信筒中最多一封信,有多少种寄信方法? 【分析【分析】(1
3、)分 3 步完成寄出 3 封信的任务:第一步,寄出 1 封信,有 4 种方法;第二 步,再寄出 1 封信,有 4 种方法;第三步,寄出最后 1 封信,有 4 种方法,完成任务根据 分步计数原理,共有 4444 364 种寄信方法 (2)典型的排列问题,共有 3 4 A24 种寄信方法 例例 2 2 在一块并排 10 垄的田地中,选择 2 垄分别种植A,B两种作物,每种作物种植 1 垄, 为有利于作物生长, 要求A,B两种作物的间隔不小于 6 垄, 则不同的种植方法共有_ 种 解:解:设这 10 垄田地分别为第 1 垄,第 2 垄,第 10 垄,要求A,B两垄作物的间隔 不少于 6 垄,所以第一
4、步选垄的方式共有(1,8),(1,9),(1,10),(2,9),(2,10),(3, 10)这 6 种选法,第二步种植两种作物共有 2 2 A2 种种植法,所以共有 6212 种选垄种 植方法 【评述】【评述】排列组合是解决计数问题的一种重要方法但要注意,计数问题的基本原理是 分步计数原理和分类计数原理,是最普遍使用的,不要把计数问题等同于排列组合问题 对某些计数问题,当运用公式很难进行时,适时采取原始的分类枚举方法往往是最好 的如例 2 在具体的计数问题的解决过程中,需要决策的是,这个计数问题需要“分步”还是“分 类”完成,再考虑这个计数问题是排列问题、组合问题还是一般的计数问题如例 1
5、的两个 问题 例例 3 3 某电子表以 6 个数字显示时间,例如 09:20:18 表示 9 点 20 分 18 秒则在 0 点 到 10 点之间,此电子表出现 6 个各不相同数字来表示时间的有_次 【分析】【分析】分步来确定电子表中的六个数字如下: 第一步:确定第一个数字,只能为 0,只有 1 种方法; 第二步:确定第三位数字,只能为 0 至 5 中的一个数(又不能与首位相同),所以只有 5 种方法; 第三步:确定第五位数字,也只能为 0 至 5 中的一个数(又不能与首位,第三位相同), 所以只有 4 种方法; 第四步: 确定剩下三位数字, 0 至 9 共 10 个数字已用了 3 个, 剩下
6、的 7 个数字排列在 2, 4,6 位共有 3 7 A种排法 由分步计数原理得:154 3 7 A4200 种 【评述】【评述】做一件事情分多步完成时,我们一般先做限制条件较大的一步,如本题中,首 位受限条件最大,其次为三、五位,所以我们先排首位,再排三、五位,最后排其他位 例例 4 4 7 个同学站成一排,分别求出符合下列要求的不同排法的种数 (1)甲站在中间; (2)甲、乙必须相邻; (3)甲在乙的左边(但不一定相邻); (4)甲、乙、丙相邻; (5)甲、乙、丙两两不相邻; 解:解:(1)甲站在中间,其余 6 名同学任意排列,故不同排法有 6 6 A720 (2)第一步:先把甲、乙捆绑,视
7、为一个元素, 连同其余 5 个人全排列,共有 6 6 A种排法; 第二步:给甲、乙松绑,有 2 2 A种排法,此题共有 6 6 A 2 2 A1440 种不同排法 (3)在 7 名同学站成一排的 7 7 A种排法中, “甲左乙右”与“甲右乙左”的站法是一一对 应的,各占一半,因此甲站在乙的左边(不要求相邻)的不同排法共有 7 7 A22520 种 (4)先把甲、 乙、 丙视为一个元素, 连同其余 4 名同学共 5 个元素的全部排列数有 5 5 A种, 再结合甲、乙、丙 3 个人之间的不同排列有 3 3 A种,此题的解为: 5 5 A 3 3 A720 (5)先让除甲、乙、丙外的 4 个人站好,
8、共有 4 4 A种站法,让甲、乙、丙 3 人插空,由于 4 个人形成 5 个空位,所以甲、乙、丙共有 3 5 A种站法,此题答案1440 3 5 4 4 AA 【评述】【评述】 当要求某几个元素排在一起时, 我们常将这几个元素捆绑在一起作为一个元素 与其他元素进行排列如例 4(2),(4) 当要求某几个元素不相邻时, 我们常常先排其他元素, 然后再将这几个元素排在已排好 的其他元素的空中如例 4(5) 例例 5 5 4 个不同的球,4 个不同的大盒子,把球全部放入盒内,恰有一个盒不放球,共 几种放法? 【分析】【分析】先将 4 个球分成 3 组,共有6 2 4 C种分组方法;再将 3 组球放在
9、 4 个盒子里, 是排列问题,有 3 4 A24 种方法,所以,共有144 3 4 2 4 AC种不同的放球方法 【评述】【评述】类似这种装球问题采取先分组后装球的方法比较好 例例 6 6 某班组有 10 名工人,其中 4 名是女工从这 10 个人中选 3 名代表,其中至少有一 名女工的选法有多少种? 解法解法 1 1:至少有一名女工的情形有三类:1 名女工和 2 名男工;2 名女工和 1 名男工;3 名女工,把这 3 类选法加在一起,共有100 3 4 1 6 2 4 2 6 1 4 CCCCC种不同的选法 解法解法 2 2:与“至少有一名女工”选法相对立的是“没有女工”的选法,从所有的选法
10、中 除去“没有女工”的选法,剩下的即为所求,共有100 3 6 3 10 CC 【评述】【评述】当涉及“至少”或“至多”的问题时,从大的方向看我们常常是对其分类讨论, 运用分类计数原理解决问题,当然,也可以考虑问题的对立面再用减法进行计算 例例 7 7 如图,用六种不同的颜色给图中的 4 个格子涂色,每个格子涂一种颜色,要求相 邻的两个格子颜色不同,且两端的格子的颜色也不同,则不同的涂色方法共有多少种? 【分析】【分析】如果按从左至右的顺序去涂色,当涂到第 4 个格子时会发现,第三个格子的颜 色与第一个格子的颜色是否相同决定着第 4 个格子有几种涂色方法, 即如果第三个格子的颜 色与第一个格子
11、的颜色是否相同是不确定的,则第四个格子的涂色情况不定于是,我们要 按照 1、3 两个格子颜色相同和不相同两种情况分类来处理这个计数问题 解:解:1、3 两个格子颜色相同时,按分步计数原理,有 6515150 种方法; 1、3 两个格子颜色不相同时,按分步计数原理,有 6544480 种方法 所以,共有不同的涂色方法 630 种 例例 8 8 四面体的顶点和各棱中点共 10 个点,取 4 个不共面的点,不同取法有多少种? 【分析】【分析】没有限制地从 10 个点中选出 4 个点,共有 4 10 C种不同选法,除去 4 点共面的 选法即可 4 点共面的选法有 3 类 (1)4 个点在四面体ABCD
12、的某一个面 上,共有 4 6 4C种共面的情况 (2)过四面体的一条棱上的 3 个点及对棱的中点,如图中点A,E,B,G平面,共计有 6 种共面的情况 (3)过四面体的四条棱的中点,而且与一组对棱平行的平面,如图E,F,G,H平面,此 类选法共有 3 种 综上,符合要求的选法共有141)364( 4 6 4 10 CC种 例例 9 9 在给出的下图中,用水平或垂直的线段连结相邻的字母,按这些线段行走时,正 好拼出“竞赛”即“CONTEST”的路线共有多少条? 【分析】【分析】 “CONTEST”的路线的条数与“TSETNOC”路线的条数相同,如下右图,从左下 角的T走到边上的C共有6步, 每一
13、步都有2种选择, 由分步计数原理, 所以下图中,“TSETNOC” 路线共有 2 664 条 所以本题的答案为 6421127 【评述】【评述】例 9 的这种计数的方法常称之为对应法计数,它的理论基础为:如果两个集合 之间可以建立一对一的对应关系,那么这两个集合的元素的个数相同借助这个原理,如果 一个集合元素的个数不好计算时, 我们将其转化为求另一个集合元素的个数不失为一种较好 的方法 例例 10 10 (1)计算 5 9 6 9 4 8 5 8 AA AA 的值; (2)计算 n n n n CC 3 21 38 3 的值; (3)证明: m n m n m n AmAA 1 1 (1)解解
14、: 27 5 ! 93 ! 85 ! 9! 94 ! 8! 84 ! 4 ! 9 ! 3 ! 9 ! 4 ! 8 ! 3 ! 8 5 9 6 9 4 8 5 8 AA AA (2)解解:注意到 m n C中的隐含条件:nm,mN N,nN N *,有 ,321 , 038 , 03 ,383 nn n n nn 解得 2 21 2 19 n,所以n10 所以,466 1 31 2 30 30 31 28 30 CCCC (3)证明证明: )!1( ! )!1( !) 1( )!1( ! )!( ! 1 mn nm mn nmn mn n m mn n mAA m n m n m n A mn
15、n mn n mn nm mn nmn 1 !) 1( )!1( )!1( )!1( )!1( ! )!1( !) 1( 【评述】【评述】 对于含排列组合式的恒等式证明及计算问题常用的方法有两种, 一种是运用排 列组合数的计算公式转化为代数恒等式的证明及代数式求值问题, 另一种是运用组合数的一 些性质进行计算及证明 常用的组合数的性质有: (1) mn n m n CC ; (2) 1 1 m n m n m n CCC; (3) nn nnnn CCCC2 210 ; (4) 3120 nnnn CCCC 练习练习 10101 1 一、选择题一、选择题 15 位同学报名参加两个课外活动小组,
16、每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名方 法共有( ) (A)10 种 (B)20 种 (C)25 种 (D)32 种 2某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目如果将这 两个节目插入原节目单中,那么不同插法的种数为( ) (A)42 (B)30 (C)20 (D)12 3四面体的一个顶点为A,从其他顶点与棱的中点中取 3 个点,使它们和点A在同一平面 上,不同的取法有( ) (A)30 种 (B)33 种 (C)36 种 (D)39 种 4某电脑用户计划用不超过 500 元的资金购买单价分别为 60 元、70 元的单片软件和盒装 磁盘,根据需要,软件至少买 3
17、 片,磁盘至少买 2 盒,则不同的选购方式有( ) (A)5 种 (B)6 种 (C)7 种 (D)8 种 5下列等式中正确的是( ) (1) 1 1 k n k n nCkC; (2) 1 1 1 1 1 1 k n k n C n C k ; (3) k n k n C k kn C 1 1 ; (4) k n k n C n k C 1 1 1 1 (A)(1)(2) (B)(1)(2)(3) (C)(1)(3) (D)(2)(3)(4) 6有两排座位,前排 11 个座位,后排 12 个座位,现安排 2 人就座,规定前排中间的 3 个 座位不 能坐,并且这 2 人不左右相邻,那么不同排法
18、的种数是( ) (A)234 种 (B)346 种 (C)350 种 (D)363 种 二、填空题二、填空题 7从集合0,1,2,3,5,7,11中任取 3 个元素分别作为直线方程AxByC0 中的A、 B、C,所得的经过坐标原点的直线有_条(结果用数值表示) 8 用数字 0, 1, 2, 3, 4, 5 可以组成没有重复数字, 并且比 20000 大的五位偶数共有_ 9马路上有 12 盏灯,为了节约用电,可以熄灭其中 3 盏灯,但两端的灯不能熄灭,也不能 熄灭相邻的两盏灯,那么熄灯方法共有_种 10将标号为 1,2,10 的 10 个球放入标号为 1,2,10 的 10 个盒子内,每个盒内
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