著名机构讲义秋季教案19-初二数学-勾股定理及两点的距离公式 - 教师版

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1、 教师姓名 学生姓名 年 （尚孔教研院彭高钢（尚孔教研院彭高钢级 初二 上课时间 学 （尚孔教研院彭高钢（尚孔教研院彭高钢（尚孔教研院彭高钢（尚孔教研院彭高钢科 数学 课题名称 勾股定理及两点的距离公式 待提升的知 识点/题型 （尚孔教研院彭高钢）（尚孔教研院彭高钢）知识梳理知识梳理（尚孔教研院彭高钢）（尚孔教研院彭高钢） （尚孔教研院彭高钢（尚孔教研院彭高钢知识点一：知识点一：勾股定理勾股定理 （1）定理：在直角三角形中，斜边大于直角边； （2）勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方； （3）勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于其它两条边的平方和，那么这个三角形 是

2、直角三角形 （尚孔教研院彭高钢（尚孔教研院彭高钢知识点二：知识点二：两点的距离公式两点的距离公式 （1）平面上两点 111222 ( ,),(,)P x yP x y之间的距离公式为 12 PP 22 2121 ()()xxyy （2）中点坐标公式：对于平面上两点 111222 ( ,),(,)P x yP x y，线段 1 2 PP的中点是 00 (,)M xy，则 12 0 12 0 2 2 xx x yy y （尚孔教研院彭高钢）（尚孔教研院彭高钢）知识精析知识精析（尚孔教研院彭高钢）（尚孔教研院彭高钢） 一一.勾股定理勾股定理 （一）典例分析（一）典例分析.学一学学一学 例例 1-1

3、利用利用 222 cba求未知边求未知边 在一直角三角形中有两边长分别是 3.4，则其第三边长为 来源 例例 1-2 勾股数的考察勾股数的考察（345、51213、81517、72425） 下面四组数中是勾股数的有（ ） （1）1.5，2.5，2 （2）2，2，2 （3）12，16，20 （4）0.5，1.2，1. A1 组 B2 组 C3 组 D4 组 例例 1-3 直角三角形的判定问题直角三角形的判定问题 已知：在 ABC 中，A.B.C 的对边分别是 a.b.c，满足 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c. 试判断 ABC 的形状. 例例 1-4 面积问题面积问题 已知：如图

4、，已知B=D=90 ，A=60 ，AB=10，CD=6. 求：四边形ABCD 的面积. 例例 1-5 折叠问题折叠问题 如图，矩形纸片 ABCD 的边 AB=10cm，BC=6cm，E 为 BC 上一点，将 矩形纸片沿 AE 折叠， 点 B 恰好落在 CD 边上的点 G 处，求 BE 的长. A B C D 例例 1-6 最短路程问题最短路程问题 一只蚂蚁如果沿长方体的表面从 A 点爬到 B点,那么沿哪条路最近,最短的路程是多少?已知长方体 的长 2cm.宽为 1cm.高为 4cm. 例例 1-7实际问题实际问题 如图，一个梯子 AB=5 米，顶端 A 靠在墙 AC 上，这时梯子下端 B 与墙

5、角 C 间的距离为 3m 梯子滑 动后停在 DE 位置上，如图，测得 DB 的长为 1m，则梯子顶端 A 下落了多少 m? 例例 1-8 思维发散思维发散 在ABC中,1ABAC,BC边上有 2006 个不同的点 122006 ,P PP, 记 2 1,2,2006 iiii mAPBP PC i,则 122006 mmm=_. （二）限时巩固，练一练（二）限时巩固，练一练 1已知直角三角形的两边长为 3.2，则另一条边长是_ 2在一个直角三角形中，若斜边长为 5cm，直角边的长为 3cm，则另一条直角边的长为 _ 3.以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ） A2，3，4 B10，8，

6、4 C7，25，24 D7，15，12 D A B C D A B C 4.若 ABC 的三边 a.b.c 满足 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，试判断 ABC 的形状. 5.已知，如图，四边形 ABCD 中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，且A=90 ，则四边 形 ABCD 的面积 6.如图， AD 是 ABC 的中线， ADC=45 ， 把 ADC 沿直线 AD 翻折， 点 C 落在点 C的位置， BC=4, 求 BC的长. 7.有一立方体礼盒如图所示，在底部 A 处有壁虎，C处有一蚊子，壁虎急于捕捉到蚊子充饥.若立 方体礼盒的棱长为 20cm，壁虎

7、要在半分钟内捕捉到蚊子，求壁虎的每分钟至少爬行 _厘米（用根号表示） 8.如图，一架 10 米长的梯子斜靠在墙上，刚好梯顶抵达 8 米高的路灯当电工师 傅沿梯上去修路灯时，梯子下滑到了 B处，下滑后，两次梯脚间的距离为2米， 则梯顶离路灯多少米? 9.细心观察下图，认真分析各式，然后解答问题 （1）2+1=2 S1= 1 2 （2）2+1=3 S2= 2 2 （3）2+4=5 S3= 3 2 （1）请用含 n（n 是正整数）的等式表示上述变化规律； （2）推算出 OA10的长； （3）求出 S12+S22+S22+S102的值 二二.两点的距离公式两点的距离公式 （一）典例分析（一）典例分析.

8、学一学学一学 例例 2-1（1）求 A(-1,3).B（2，5）两点之间的距离； （2）已知 A（0，10） ，B（a，-5）两点之间的距离为 17，求实数 a 的值 【解解】(1)由两点间距离公式得 AB= 22 2( 1)(53)13 (2) 由两点间距离公式得 22 (0)( 5 10)17a ,解得 a=8故所求实数 a 的值为 8 或-8 例例 2-2 已知三角形ABC的三个顶点 13 ( 1,0), (1,0),( ,) 22 ABC，试判断ABC的形状 分析：分析：计算三边的长，可得直角三角形 【解解】 22 (1 ( 1)02,AB 22 13 (1)(0)1, 22 BC 2

9、2 13 ( 1)(0)3 22 AC , 222 ACBCAB，ABC为直角三角形. 点评：点评：本题方法多样，也可利用BC.AC斜率乘积为-1，得到两直线垂直. 例例 2-3 已知ABC是直角三角形，斜边BC的中点为M，建立适当的直角坐标系， 证明： 1 2 AMBC 证：如图，以Rt ABC的直角边,AB AC所在直线为坐标轴，建立适当的直角坐标系， 设,B C两点的坐标分别为( , ),(0, )b oc， M是BC的中点，点M的坐标为 00 (,) 22 bc ，即( , ) 2 2 b c 由两点间的距离公式得 2222 1 (0)(0), 222 bc AMbc 所以， 1 2

10、AMBC 例例 2-4 已知ABC的顶点坐标为( 1,5),A ( 2, 1), (4,7)BC ， 求BC边上的中线AM的长和AM所 在的直线方程 分析：分析：由中点公式可求出BC中点坐标,分别用距离公式.两点式就可求出AM的长和AM所在的 直线方程 【解解】如图，设点( , )x y 点M是线段BC的中点， 24 1, 2 x 1 7 3 2 y ， 即M的坐标为(1,3) 由两点间的距离公式得 22 1 ( 1)(35)2 2AM 因此，BC边上的中线AM的长为2 2 由两点式得中线AM所在的直线方程为 31 531 1 yx ，即40xy 点评点评: :本题是中点坐标公式.距离公式的简

11、单应用. （二）限时巩固（二）限时巩固. .练一练练一练 1.式子 22 (1)(2)ab可以理解为(B) ( )A两点(a,b)与(1,-2)间的距离； ( )B两点(a,b)与(-1,2)间的距离 ( )C两点(a,b)与(1,2)间的距离； ()D两点(a,b)与(-1,-2)间的距离 2.以 A(3,-1), B(1,3)为端点的线段的垂直平分线的方程为(C) ( )A2x+y-5=0 ( )B2x+y+6=0 ( )Cx-2y=0 ()Dx-2y-8=0 3. 线段 AB 的中点坐标是(-2,3),又点 A 的坐标是(2,-1),则点 B 的坐标是( 6,7) 4已知点(2, 3),

12、A，若点P在直线70xy上，求取最小值 解:设P点坐标为( , )P x y,P在直线70xy上，7yx， 222 22 (2)(4) 212202(3)2 APxx xxx ， AP的最小值为2 三三. .延伸拓展：对称性问题（选讲）延伸拓展：对称性问题（选讲） （一）典例分析，学一学（一）典例分析，学一学 例例 3-1 已知直线 1 :1 2 l yx， （1）求点(3,4)P关于l对称的点Q； （2）求l关于点(2,3)对称的 直线方程 分析：分析：由直线l垂直平分线段，可设，有垂直关系及中点坐标公式可求出点；而关于点对称的直线 必平行，因此可求出对称的直线方程 【解解】 （1）设Q 0

13、 (,) o xy，由于PQl，且PQ中点在l上，有 0 0 00 4 2 3 431 1 222 y x yx ，解得 0 0 29 5 8 5 x y Q 298 (,) 55 （2）在l上任取一点，如(0, 1)M，则M关于点(2,3)对称的点为(4,7)N 所求直线过点N且与l平行， 方程为 1 7(4) 2 yx，即2100xy 例例 3-2 一条光线经过点(2,3)P,射在直线10xy 上，反射后，经过点(1,1)A，求光线的入射 线和反射线所在的直线方程 分析：分析：入射光线和反射光线所在直线都经过反射点，反射直线所在直线经过点关于直线 10xy 的对称点 【解解】入射线所在的直

14、线和反射线所在的直线关于直线10xy 对称，设P点关于直线 10xy 对称点的坐标为Q 00 (,)xy，因此PQ的中点在直线10xy 上，且PQ所在直 线与直线10xy 垂直， 所以 0 0 00 3 ( 1)1 2 23 10 22 y x xy ，解得( 4, 3)Q 反射光线经过AQ、两点，反射线所在直线的方程为4510xy 由 10, 4510, xy xy 得反射点 21 (,) 33 R 入射光线经过P.R两点， 入射线所在直线的方程为0145 yx 点评点评: :求点P关于直线l的对称点Q， 通常都是根据直线PQ垂直于直线l， 以及线段PQ的中点在 直线l上这两个关系式列出方程

15、组，然后解方程组得对称点Q的坐标 （二）限时巩固（二）限时巩固. .练一练练一练 1点(-1,2)关于直线x+y-3=0 的对称点的坐标为(A ) ( )A(1,4) ( )B(-1,4) ( )C(1,-4) ()D(-1,-4) 2直线 3x-y-2=0 关于x轴对称的直线方程为320xy 3已知点A(0,3),B(-1,0),C(3,0),试求D点的坐标,使四边形ABCD为等腰梯形 答案:D点的坐标为(2,3)或 16 3 (, ) 5 5 4已知定点(2,2)A，(8,4)B，求 2222 (2)2(8)4xx的最小值 (数形结合:将 2222 (2)2(8)4xx看成是x轴上的动点(

16、 ,0)x与,A B两点的距离和,利用对 称性,得到最小值为6 2). （尚孔教研院彭高钢）（尚孔教研院彭高钢）课堂测评课堂测评（尚孔教研院彭高钢）（尚孔教研院彭高钢） 一一.填空题填空题. 1.如果直角三角形的边长分别是 6.8.x，则x的取值范围是 . 2.如图， D 为ABC 的边 BC 上的一点， 已知 AB13， AD12， BD5， ACBC， 则 BC . 第 2 题图 13 12 5 DCB A 第 3 题图 D CB A 第 5 题图 D CB A 3.如图， 四边形 ABCD 中， 已知 ABBCCDDA2231， 且B900， 则DAB . 4.等腰ABC 中，一腰上的高

17、为 3cm，这条高与底边的夹角为 300，则 ABC S . 5.如图，ABC 中，BAC900，B2C，D 点在 BC 上，AD 平分BAC，若 AB1，则 BD 的长为 .21 世纪教育网 6.已知 RtABC 中，C900，AB 边上的中线长为 2，且 ACBC6，则 ABC S . 7.如图，等腰梯形 ABCD 中，ADBC，腰长为 8cm，AC.BD 相交于 O 点，且AOD600，设 E.F 分别为 CO.AB 的中点，则 EF . 第 7 题图 F E O D CB A 第 8 题图 E Q P D C B A 第 9 题图 D C B A 8.如图，点 D.E 是等边ABC 的

18、 BC.AC 上的点，且 CDAE，AD.BE 相交于 P 点，BQAD.已知 PE1，PQ3，则 AD . 9.如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长 为 7cm，则正方形 A.B.C.D 的面积的和是 . 二二.选择题选择题 1.如图，已知ABC 中，AQPQ，PRPS，PRAB 于 R，PSAC 于 S，则三个结论：ASAR； QPAR；BRPQSP 中（ ） A.全部正确 B.仅和正确 C.仅正确 D.仅和正确 2.如果一个三角形的一条边的长是另一条边的长的 2 倍，并且有一个角是 300，那么这个三角形的 形状是（ ） A.直角三角形 B

19、.钝角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 3.在四边形 ABCD 中，ADCD，AB13，BC12，CD4，AD3，则ACB 的度数是（ ） A.大于 900 B.小于 900 C.等于 900 D.不能确定 第 1 题图 S R Q PC B A 第 4 题图 O CB A 4.如图，已知ABC 中，B900，AB3，BC3，OAOC6，则OAB 的度数为（ ） A.100 B.150 C.200 D.250 三三.解答题解答题 1.阅读下面的解题过程：已知a.b.c为ABC 的三边，且满足 42222 acbca 4 b，试判断 ABC 的形状. 解： 42222 acbca 4 b )

20、()( 2222222 bababac 222 cba ABC 是直角三角形. 问： （1）上述解题过程中，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号 ； （2）错误的原因是 ； （3）本题的正确结论是 . 2.已知ABC 中，BAC750，C600，BC33，求 AB、AC 的 长. 3.如图，ABC 中，AD 是高，CE 是中线，DCBE，DGCE 于 G. （1）求证：G 是 CE 的中点；21 世纪教育网 （2）B2BCE. 4.已知ABC 的两边 AB.AC 的长是方程023) 32( 22 kkxkx的两个实数根，第三边 BC5. （1）k为何值时，ABC 是以 BC 为斜边的直角三角

21、形； （2）k为何值时，ABC 是等腰三角形，求出此时其中一个三角形的面积. 一.填空题：1.10 或72；2.16.9；3.1350；4.33cm2；5.13 ；6.5；7.4；8.7；9.49 二.选择题：BDCB 三.解答题： 1.（1）； （2）略； （3）直角三角形或等腰三角形 2.提示：过 A 作 ADBC 于 D，则 AB23，AC32 3.提示：连结 ED 4.（1）51 米； （2）若要水渠造价最低，则水渠应与 AB 垂直，造价 2427 元. 5.（1）2； （2）k4 或 3，当k4 时，面积为 12. 回顾总结回顾总结（尚孔教研院彭高钢）（尚孔教研院彭高钢） 1.1.勾

22、股定理及其逆定理分别是？常考题型有哪些？常见勾股数有哪些？勾股定理及其逆定理分别是？常考题型有哪些？常见勾股数有哪些？ 2.2.两点的距离公式及中点坐标公式两点的距离公式及中点坐标公式 思维点拔： 平面上两点 111222 ( ,),(,)P x yP x y间的距离公式为 22 2121 ()()xxyy，线段 1 2 PP中点坐标为 111 222 ( ,), (,) P x y P xy 中点坐标 1212 (,) 22 xxyy 22 122121 ()()PPxxyy 22 2121 ()()xxyy 22 2121 ()()xxyy 第 3 题图 G E DCB A 1212 (,

23、) 22 xxyy .平面上两点间距离公式及中点坐标公式有着广泛的应用，如：计算图形面积， 判断图形形状等.同时也要注意掌握利用中点坐标公式处理对称性 问题. 课后巩固课后巩固（尚孔教研院彭高钢）（尚孔教研院彭高钢） 1已知 ABC 中，A= 1 2 B= 1 3 C，则它的三条边之比为（ ） A1：1：2 B1：3：2 C1：2：3 D1：4：1 2已知直角三角形一个锐角 60 ，斜边长为 1，那么此直角三角形的周长是（ ） A 5 2 B3 C 32 2 D 33 2 3下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（ ） A6，7，8 B5，6，7 C4，5，6 D3，4，5 4下列各命题的逆命

24、题成立的是（ ） A全等三角形的对应角相等 B如果两个数相等，那么它们的绝对值相等 C两直线平行，同位角相等 D如果两个角都是 45 ，那么这两个角相等 5若等边 ABC 的边长为 2cm，那么 ABC 的面积为（ ） A3cm2 B23cm2 C33cm2 D4cm2 6在 Rt ABC 中，已知其两直角边长 a=1，b=3，那么斜边 c 的长为（ ） A2 B4 C22 D10 7如图所示， ABC 中，CDAB 于 D，若 AD=2BD，AC=5，BC=4，则 BD 的长为（ ） A5 B3 C1 D 1 2 8直角三角形有一条直角边长为 13，另外两条边长都是自然数，则周长为（ ） A182 B183 C184 D185 9如图，长方形 ABCD 中，AB=4，BC=3，将其沿直线 MN 折叠，使点 C 与点 A 重合，求 CN 的 长 来源:学,科,网 Z,X,X,K 10.已知， 如图所示， 折叠长方形的一边 AD， 使点 D 落在 BC 边的点 F处， 如果 AB=8cm， BC=10cm， 求 EC 的长 来源来源:Zxxk.Com