著名机构讲义秋季教案14-初二数学-函数表示法 - 教师版

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1、 教师姓名 学生姓名 年 （尚孔教研院彭高钢（尚孔教研院彭高钢级 初二 上课时间 学 （尚孔教研院彭高钢（尚孔教研院彭高钢（尚孔教研院彭高钢（尚孔教研院彭高钢科 数学 课题名称 函数表示法函数表示法 待提升的知 识点/题型 温故而知新温故而知新 一、一、函数的相关概念函数的相关概念 1常量与变量 在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，取值始终保持不变的量叫做常量 如在圆的面积公式 2 SR中，是常数，是常量，而S随R的变化而变化，所以S、R是变量 2自变量、因变量与函数 在某一变化过程中，有两个量，例如x和y，对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应， 其中x是自变量，y是因变量，此时

2、也称y是x的函数 函数不是数， 它是指在一个变化过程中两个变量之间的关系， 函数本质就是变量间的对应关系 注意： 对于每一个给定的x值，y有一个唯一确定的值与之对应，否则y就不是x的函数 例如 2 yx就不是函数，因为当4x 时，2y ，即y有两个值与x对应 对于每一个给定的y值，x可以有一个值与之对应，也可以有多个值与之对应 例如在函数 2 (3)yx中，2x 时，1y ；4x 时，1y 二、函数自变量的取值范围二、函数自变量的取值范围 函数自变量的取值范围是指是函数有意义的自变量的取值的全体 求自变量的取值范围通常从 两方面考虑，一是要使函数的解析式有意义；二是符合客观实际 在初中阶段，自

3、变量的取值范围考虑下面几个方面： 整式：自变量的取值范围是任意实数 分式分式：自变量的取值范围是使分母不为零的任意实数 根式根式：当根指数为偶数时，被开方数为非负数 零次幂或负整数次幂：使底数不为零的实数 注意：在一个函数关系式中，同时有各种代数式，函数自变量的取值范围是各种代数式中自变 量取值范围的公共部分 在实际问题中，自变量的取值范围应该符合实际意义，通常往往取非负数，整数之类 （尚孔教研院彭高钢）（尚孔教研院彭高钢）知识梳理知识梳理（尚孔教研院彭高钢）（尚孔教研院彭高钢） （尚孔教研院彭高钢（尚孔教研院彭高钢知识点一：知识点一：函数的表示方法函数的表示方法 1函数的三种表示方法： （1

4、）列表法列表法：通过列表表示函数的方法 （2）解析法解析法：用数学式子表示函数的方法叫做解析法譬如：30St， 2 SR （3）图象法图象法：用图象直观、形象地表示一个函数的方法 2对函数的关系式（即解析式）的理解： （1）函数关系式是等式例如4yx就是一个函数关系式 （2）函数关系式中指明了那个是自变量，哪个是函数 通常等式右边代数式中的变量是自变量，等式左边的一个字母表示函数例如：24yx 中x是自变量，y是x的函数 （3）函数关系式在书写时有顺序性 例如：31yx 是表示y是x的函数，若写成 1 3 y x 就表示x是y的函数求y与x的函 数关系时，必须是只用变量x的代数式表示y，得到的

5、等式右边只含x的代数式 （尚孔教研院彭高钢（尚孔教研院彭高钢知识点二：知识点二：函数的图象函数的图象 1函数图象的概念： 对于一个函数，如果把自变量x和函数y的每对值分别作为点的横坐标与纵坐标，在平面直角 坐标系内描出相应的点，这些点所组成的图形，就是函数的图象 2函数图象的画法 （1）列表； （2）描点； （3）连线 3函数解析式与函数图象的关系： （1） 由函数图象的定义可知， 图象上任意一点,P x y中的x，y都是解析式方程的一个解 反 之，以解析式方程的任意一个解为坐标的点一定在函数的图象上 （2）判断一个点是否在函数图象上的方法是：将这个点的坐标值代入函数的 j 解析式，如果 满足

6、函数解析式，这个店就在函数的图象上，否则就不在这个函数的图象上 （尚孔教研院彭高钢）（尚孔教研院彭高钢）知识精析知识精析（尚孔教研院彭高钢）（尚孔教研院彭高钢） 一、一、函数的表示方法函数的表示方法 （一）典例分析、学一学（一）典例分析、学一学 例例 1-1 地球表面的一定高度内，每升高 1 千米，温度下降C6.已知地面温度为C10，设高度为 h 千米时的温度是 t，则 t 与 h 之间的关系是 例例 1-2 如图，一边靠墙，其他三边用 12 米长的篱笆围成一个矩形（ABCD）花圃. （1）如果设花圃靠墙的一边的长为 x（米）.花圃的面积为 y(平方米)，求 x,y 满足的关系式； （2）当长

7、 x 从 4 米变到 6 米时，面积 y 变化如何？ （3）当长 x 从 6 米变到 8 米时，面积 y 变化如何？ 例例 1-3 某河流受暴雨影响，水位不断上涨，下面是某天此河流的水位记录： （1）上表反映的是哪两个量之间的关系？自变量和因变量各是什么？ （2）根据表格画了表示两个变量的折线统计图. （3）哪段时间水位上升得最快？ 例例 1-4 一辆汽车正常行驶时每小时耗 8 升，油箱现有 52 升汽油. （1）如果汽车行驶时间为 t（时） ，那么油箱中所存油量 Q（升）与 t（时）的关系式是什么？ （2）油箱中的油总共可供汽车行驶多少小时？ （3）当t 的值分别为 1，2，3 时，Q 相应

8、的值是多少？ 例例 1-5 在高处让一物体由静止开始落下，它下落的路程 s 与时间 t 之间的关系如下表： 时间（时） 0 4 8 12 16 20 24 水位（米） 2 2.5 3 4 5 6 8 时间 t(秒) 1 2 3 4 5 落下路程 s(米) 4.91 4.94 4.99 4.916 4.925 A D B C （1）请根据表格中的数据写出时间 t 与物体落下的路程 s 之间的关系； （2）算出当 t=4.5 秒时，物体落下的路程. 二、二、知识点二：知识点二：函数的图象函数的图象 （一）典例分析、学一学（一）典例分析、学一学 例例 2-1“龟兔赛跑”讲述了这样的故事:领先的兔子看

9、着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它 醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到了终点.用 1 s、 2 s分别 表示乌龟和兔子所行的路程，t 为时间，则下列图像中与故事情节相吻合的是（ ） 答案：A 例例 2-2 你一定知道乌鸦喝水的故事吧！一个紧口瓶中盛有一些水，乌鸦想喝，但是嘴够不着瓶中的 水，于是乌鸦衔来一些小石子放入瓶中，瓶中水面的高度随石子的增多而上升，乌鸦喝到了水但 是还没解渴， 瓶中水面就下降到乌鸦够不着的高度， 乌鸦只好再去衔些石子放入瓶中， 水面又上升， 乌鸦终于喝足了水，哇哇地飞走了如果设衔入瓶中石子的体积为x，瓶中水面的高度为y，下面 能大

10、致表示上面故事情节的图象是（ ） 【答案】B Ox y Ox y Ox yy xO A B C D 例例 2-3 如图，乌鸦口渴到处找水喝，它看到了一个装有水的瓶子，但水位较低，且瓶口又小，乌鸦 喝不着水，沉思一会后，聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后，乌鸦喝到了水，在 这个乌鸦喝水的故事中，设从乌鸦看到瓶的那一刻起向后的时间为x，瓶中水位的高度为y，下列 图象中最符合故事情景的是（ ） A x O y y Ox B y Ox C y O xD 【解析】由于乌鸦看到水瓶，沉思一会儿的过程中，水位不发生变化，可排除项；再由瓶中放入 小石子， 水位上升可知排除项； 最后由乌鸦喝到水的水

11、位一定大于瓶中开始的水位排除 项，选 例例 2-4 边长为1和2的两个正方形，其一边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿 过大正方形，设穿过的时间为t，大正方形内除去小正方形部分的面积为s（阴影部分） ，则s与t的 大致图象为（ ） t s O t s OO s tt s O A B C D 【解析】当小正方形完全进入大正方形中时，所剩面积为 3，是大正方形面积的 3 4 ，所以选择 A， C 的描述比例不符合 【答案】A 例例 2-5 如图，一只蚂蚁从O点出发，沿着扇形OAB的边缘匀速爬行一周，设蚂蚁的运动时间为t， 蚂蚁到O点的距离 为S，则S关于t的函数图象大致为（ ） 【答

12、案】 例例 2-6 如图，某港湾某日受台风“默沙”的影响，其风力变化记录如图，根据图像完成下列各题； （1）风力持续增强了_小时； （2）风力最高达到_级； （3）风力从_点开始明显减弱。 答案：24，12，20 例例 2-7 一个有进、出水管的容器，单位时间内进、出水量都是一定的，设从某时刻开始 4 分钟内只 进水不出水，之后的 4 分钟内只出水不进水，得到的时间 x （分钟）与水量 y (升)之间关系如图， 求： （1）每分钟进多少升水； （2）每分钟出多少升水； （3）0x4 时，y 关于 x 的解析式。 答案： （1）5（2）1（3）y=5x B A O A B C D S t S t

13、 S t S t O O O O （二）限时巩固、练一练（二）限时巩固、练一练 如图，各情况分别可以和哪幅画来近似刻画？ （1）一个球被向上抛起，直到落到地面的过程（球的高度与时间的关系） ； （2）常温下，往一杯凉水中倒开水（水温与时间的关系） ； （3）将澡盆中的水放掉（水的高度与时间的关系） 。 三、三、分段分段函数函数与方案选择与方案选择 （一）典例分析、学一学（一）典例分析、学一学 例例 3-1 某市电力公司为了鼓励居民用电，采用分段计费的方法计算电费.每月用电不超过 100 度时， 按每度 0.57 元计费;每月用电超过 100 度时， 其中的 100 度仍按原标准收费， 超过部分

14、按每度 0.50 元计费. （1）设月用电 x 度时，应交电费 y 元，当 x100 和 x100 时，分别写出 y 关于 x 的函数关系式； （2）小王家第一季度交纳电费情况如下表，求小王家第一季度共用电多少度. 月份 一月份 二月份 三月份 合计 交费金额 76 元 63 元 45 元 6 角 184 元 6 角 答案： （1）当 x100 时，y=0.57x；当 x100 时，y=7+0.5x； （2）一月份：7+0.5x=76，解得：x=138 二月份：7+0.5x=63，解得：x=112 三月份：0.57x=45.6，解得：x=80 小王家第一季度共用电 330 度 例例 3-2 某

15、商店想购进一批西装和领带，西装每件 200 元，领带每条 40 元，但厂方提供两种优惠办法： 买一件西装送一条领带； 西装和领带全按全价 90%付款， 如果欲购 20 件西装， x 条领带(20x)， 设两种优惠办法的付款数分别为 1 y、 2 y； （1）写出 1 y、 2 y关于 x 的函数关系式； （2）讨论领带数 x，说明哪种办法更优惠。 答案： （1）按优惠方案购买，应付款： 1 y=200 20+（x-20） 40=40x+3200， 按优惠方案购买，应付款： 2 y=（200 20+40x） 90%=36x+3600， （2）设 y=（40x+3200）-（36x+3600）=4

16、x-400（元） ， 当 y0 时，即 20100x且 x 为整数时选方案比方案更省钱， 当 y=0 时，即 x=100 时选两个方案一样省钱， 当 y0 时，即 x100 且 x 为整数时选方案比方案更省钱， （尚孔教研院彭高钢）（尚孔教研院彭高钢）课堂测评课堂测评（尚孔教研院彭高钢）（尚孔教研院彭高钢） 1.小明从家中出发，到离家 1.2 千米的早餐店吃早餐，用了一刻钟吃完早餐后，按原路返回到离家 1 千米的学校上课，在下列图象中，能反映这一过程的大致图像是（ ） A B C D 2.根据生物学研究结果，青春期男女生身高增长速度呈现如下规律，由图可以判断下列说法错误错误的 是（ ） A、男

17、生在 13 岁时身高增长速度最快 B、女生在 10 岁以后身高增长速度放慢 C、11 岁时男女生身高增长速度基本相同 D、女生身高增长的速度总比男生慢 3.一水池有甲、乙、丙三个水管，其中甲、丙两管为进水管，乙管为出水管单位时间内，甲管水 流量最大，丙管水流量最小先开甲、乙两管，一段时间后，关闭乙管开丙管，又经过一段时间， 关闭甲管开乙管，则能正确反映水池蓄水量 y（立方米）随时间 t（小时）变化的图象是（ ） A、 B、 C、 D、 4.“十一黄金周”的某一天，小王全家上午 8 时自驾小汽车从家里出发，到“番茄农庄” 游玩.小汽车 离家的距离 S(千米)与小汽车离家后时间 t (时)的关系可

18、以用图中的曲线表示.根据图像提供的有关 信息，解答下列问题： （1）“番茄农庄”离家_千米； （2）小王全家在“番茄农庄”游玩了_小时； （3）去时小汽车的平均速度是_千米/时； （4）回家时小汽车的平均速度是_千米/时。 5.小亮从家步行到公交车站台，等公交车去学校图中的折线表示小亮的行程 s（km）与所花时间 t（min）之间的函数关系下列说法错误的是（ ） A.他离家 8km 共用了 30min B.他等公交车时间为 6min C.他步行的速度是 100m/min D.公交车的速度是 350m/min 6.小英早上从家里骑车上学，途中想到社会实践调查资料忘带了，立刻原路返回，返家途中遇到

19、给 她送资料的妈妈，接过资料后，小英加速向学校赶去能反映她离家距离 s 与骑车时间 t 的函数关 系图像大致是（ ） A B C D 7某商场国庆促销优惠规定：如一次购物不超过 200 元，无折扣；如一次购物超过 200 元但 不超过 500 元，按标价九折优惠；如一次购物超过 500 元，其中 500 元按第条优惠；超过 500 元的部分给予八五折优惠. （1）求某人购物付款 y 元关于所购物品原价 x 元之间的关系式及定义域. （2）某人两次购物，分别付款 170 元和 441 元，如果两次并一次购物，买同样的商品，比分两次 购买可节约多少元？ 答案：B；D；D；50，5，50，100；D

20、；D； 7.（1）当 x200 时，y=x；当 200500 时，y=0.85x+25； （2）170200 0.9=180 付款 170 元，没有得到优惠 441500 0.9=450， 付款 441 元，是按标价给予 9 折优惠后的付款额 实际标价为：490 元 不考虑优惠的实际价格为：660500， 合并后实付款： 660 0.85+25=586， 可节约 170+441-586=25（元） 回顾总结回顾总结（尚孔教研院彭高钢）（尚孔教研院彭高钢） 一、函数表示法：列表法，图像法，解析式法一、函数表示法：列表法，图像法，解析式法 二、说说函数定义域的求法；二、说说函数定义域的求法； 三、

21、实际问题的函数表达有哪些题型？三、实际问题的函数表达有哪些题型？ 优点 缺点 列表 对于表中自变量的每一个值，可 以不通过计算，直接把因式变量 的值找到，查询时很方便.于是一 些数学用表应运而生 只能列出部分自变量与因变量的对应值，难 以反映变量间变化的全貌，而且从表中看不 出来变量间的对应规律 关系式 简明扼要、规范准确 有些变量之间的关系很难或不能用关系式表 示，求对应值也需要逐个计算，比较麻烦 图象 形象直观.可见形象地反映出事 物变化的全过程、变化的趋势和 某些性质（因变量的增减变化） 点的对称、最大或最小值等 图象是近似的、局部的、观察或由图象确定 的因变量的值往往不够准确 课后巩固

22、课后巩固（尚孔教研院彭高钢）（尚孔教研院彭高钢） 1.如图，各图象所反映的是两个变量之间的关系，表示匀速运动的是（ ） A （3） （4） B.（2） （3） C. （1） （2） D.（2） （4） 2.打开某洗衣机开关，在洗涤衣服时（洗衣机内无水） ，洗衣机经历了进水、清洗、排水、脱水四 个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y（升）与时间x（分钟）之间满足某种函 数关系，其函数图象大致为（ ） Ox y Ox y Ox yy xO A B C D 【答案】D 2. 我国有很多城市水资源缺乏，为了加强居民的节水意 识，某城市制定了每月用水 4 吨以内（包括 4 吨）和用水 4 吨

23、以上两种收费标准（收费标准： 指每吨水的价格） ，用户每月应交水费 y（元）是用水量 x(吨)的函数，其函数图像如图所示。 （1）用水 4 吨以内的收费标准是_元/吨； （2）若小明家该月交水费 12.8 元，则他家用了_吨水。 答案：1.2；9 2. 某市新出台的职工医疗保险改革方案规定:已退休的职工看门诊，先由个人账户支付门诊费用， 个人账户上的钱用完，由个人自付上一年度本市职工年平均工资的 2%，超过部分，个人再自己负 担超过部分费用的 15%，已知 2006 年某市职工年平均工资为 24000 元，个人账户上的钱由上一年 y（元） x （吨） 4 6 4 8 度本市职工年平均工资的 4%组成. （1）设 2007 年该市退休职工看病自付费用为 y 元，门诊费用 x 元，求 y 关于 x 的解析式及其定义 域. （2） 王老伯是该市退休职工， 2007 年王老伯第一次看病就将个人账户上的钱都用完了.王老伯第二 次去医院共支付了现金 930 元， 王老伯想知道这次看病的总费用是多少钱， 你能告诉王老伯他这两 次看病的总费用吗？ 答案： （1）当 x960 时，y=0；当 9601440 时，y=0.15x+264（2） 4440 元