著名机构讲义秋季教案14-初二数学-函数表示法 - 学生版

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1、教师姓名 学生姓名 年 （尚孔教研院彭高钢（尚孔教研院彭高钢级 初二 上课时间 学 （尚孔教研院彭高钢（尚孔教研院彭高钢（尚孔教研院彭高钢（尚孔教研院彭高钢科 数学 课题名称 函数表示法函数表示法 待提升的知 识点/题型 温故而知新温故而知新 一、一、函数的相关概念函数的相关概念 1常量与变量 在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，取值始终保持不变的量叫做常量 如在圆的面积公式 2 SR中，是常数，是常量，而S随R的变化而变化，所以S、R是变量 2自变量、因变量与函数 在某一变化过程中，有两个量，例如x和y，对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应， 其中x是自变量，y是因变量，此时也

2、称y是x的函数 函数不是数， 它是指在一个变化过程中两个变量之间的关系， 函数本质就是变量间的对应关系 注意： 对于每一个给定的x值，y有一个唯一确定的值与之对应，否则y就不是x的函数 例如 2 yx就不是函数，因为当4x 时，2y ，即y有两个值与x对应 对于每一个给定的y值，x可以有一个值与之对应，也可以有多个值与之对应 例如在函数 2 (3)yx中，2x 时，1y ；4x 时，1y 二、函数自变量的取值范围二、函数自变量的取值范围 函数自变量的取值范围是指是函数有意义的自变量的取值的全体 求自变量的取值范围通常从 两方面考虑，一是要使函数的解析式有意义；二是符合客观实际 在初中阶段，自变

3、量的取值范围考虑下面几个方面： 整式：自变量的取值范围是任意实数 分式分式：自变量的取值范围是使分母不为零的任意实数 根式根式：当根指数为偶数时，被开方数为非负数 零次幂或负整数次幂：使底数不为零的实数 注意：在一个函数关系式中，同时有各种代数式，函数自变量的取值范围是各种代数式中自变 量取值范围的公共部分 在实际问题中，自变量的取值范围应该符合实际意义，通常往往取非负数，整数之类 （尚孔教研院彭高钢）（尚孔教研院彭高钢）知识梳理知识梳理（尚孔教研院彭高钢）（尚孔教研院彭高钢） （尚孔教研院彭高钢（尚孔教研院彭高钢知识点一：知识点一：函数的表示方法函数的表示方法 1函数的三种表示方法： （1）

4、列表法列表法：通过列表表示函数的方法 （2）解析法解析法：用数学式子表示函数的方法叫做解析法譬如：30St， 2 SR （3）图象法图象法：用图象直观、形象地表示一个函数的方法 2对函数的关系式（即解析式）的理解： （1）函数关系式是等式例如4yx就是一个函数关系式 （2）函数关系式中指明了那个是自变量，哪个是函数 通常等式右边代数式中的变量是自变量，等式左边的一个字母表示函数例如：24yx 中x是自变量，y是x的函数 （3）函数关系式在书写时有顺序性 例如：31yx 是表示y是x的函数，若写成 1 3 y x 就表示x是y的函数求y与x的函 数关系时，必须是只用变量x的代数式表示y，得到的等

5、式右边只含x的代数式 （尚孔教研院彭高钢（尚孔教研院彭高钢知识点二：知识点二：函数的图象函数的图象 1函数图象的概念： 对于一个函数，如果把自变量x和函数y的每对值分别作为点的横坐标与纵坐标，在平面直角 坐标系内描出相应的点，这些点所组成的图形，就是函数的图象 2函数图象的画法 （1）列表； （2）描点； （3）连线 3函数解析式与函数图象的关系： （1） 由函数图象的定义可知， 图象上任意一点,P x y中的x，y都是解析式方程的一个解 反 之，以解析式方程的任意一个解为坐标的点一定在函数的图象上 （2）判断一个点是否在函数图象上的方法是：将这个点的坐标值代入函数的 j 解析式，如果 满足函

6、数解析式，这个店就在函数的图象上，否则就不在这个函数的图象上 （尚孔教研院彭高钢）（尚孔教研院彭高钢）知识精析知识精析（尚孔教研院彭高钢）（尚孔教研院彭高钢） 一、一、函数的表示方法函数的表示方法 （一）典例分析、学一学（一）典例分析、学一学 例例 1-1 地球表面的一定高度内，每升高 1 千米，温度下降C6.已知地面温度为C10，设高度为 h 千米时的温度是 t，则 t 与 h 之间的关系是 例例 1-2 如图，一边靠墙，其他三边用 12 米长的篱笆围成一个矩形（ABCD）花圃. （1）如果设花圃靠墙的一边的长为 x（米）.花圃的面积为 y(平方米)，求 x,y 满足的关系式； （2）当长

7、x 从 4 米变到 6 米时，面积 y 变化如何？ （3）当长 x 从 6 米变到 8 米时，面积 y 变化如何？ 例例 1-3 某河流受暴雨影响，水位不断上涨，下面是某天此河流的水位记录： （1）上表反映的是哪两个量之间的关系？自变量和因变量各是什么？ （2）根据表格画了表示两个变量的折线统计图. （3）哪段时间水位上升得最快？ 例例 1-4 一辆汽车正常行驶时每小时耗 8 升，油箱现有 52 升汽油. （1）如果汽车行驶时间为 t（时） ，那么油箱中所存油量 Q（升）与 t（时）的关系式是什么？ （2）油箱中的油总共可供汽车行驶多少小时？ （3）当t 的值分别为 1，2，3 时，Q 相应的

8、值是多少？ 例例 1-5 在高处让一物体由静止开始落下，它下落的路程 s 与时间 t 之间的关系如下表： 时间（时） 0 4 8 12 16 20 24 水位（米） 2 2.5 3 4 5 6 8 时间 t(秒) 1 2 3 4 5 落下路程 s(米) 4.91 4.94 4.99 4.916 4.925 A D B C （1）请根据表格中的数据写出时间 t 与物体落下的路程 s 之间的关系； （2）算出当 t=4.5 秒时，物体落下的路程. 二、二、知识点二：知识点二：函数的图象函数的图象 （一）典例分析、学一学（一）典例分析、学一学 例例 2-1“龟兔赛跑”讲述了这样的故事:领先的兔子看着

9、缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它 醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到了终点.用 1 s、 2 s分别 表示乌龟和兔子所行的路程，t 为时间，则下列图像中与故事情节相吻合的是（ ） 例例 2-2 你一定知道乌鸦喝水的故事吧！一个紧口瓶中盛有一些水，乌鸦想喝，但是嘴够不着瓶中的 水，于是乌鸦衔来一些小石子放入瓶中，瓶中水面的高度随石子的增多而上升，乌鸦喝到了水但 是还没解渴， 瓶中水面就下降到乌鸦够不着的高度， 乌鸦只好再去衔些石子放入瓶中， 水面又上升， 乌鸦终于喝足了水，哇哇地飞走了如果设衔入瓶中石子的体积为x，瓶中水面的高度为y，下面 能大致表示上面故

10、事情节的图象是（ ） Ox y Ox y Ox yy xO A B C D 例例 2-3 如图，乌鸦口渴到处找水喝，它看到了一个装有水的瓶子，但水位较低，且瓶口又小，乌鸦 喝不着水，沉思一会后，聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后，乌鸦喝到了水，在 这个乌鸦喝水的故事中，设从乌鸦看到瓶的那一刻起向后的时间为x，瓶中水位的高度为y，下列 图象中最符合故事情景的是（ ） A x O y y Ox B y Ox C y O xD 例例 2-4 边长为1和2的两个正方形，其一边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿 过大正方形，设穿过的时间为t，大正方形内除去小正方形部分的面积为s

11、（阴影部分） ，则s与t的 大致图象为（ ） t s O t s OO s tt s O A B C D 例例 2-5 如图，一只蚂蚁从O点出发，沿着扇形OAB的边缘匀速爬行一周，设蚂蚁的运动时间为t， 蚂蚁到O点的距离 为S，则S关于t的函数图象大致为（ ） 例例 2-6 如图，某港湾某日受台风“默沙”的影响，其风力变化记录如图，根据图像完成下列各题； （1）风力持续增强了_小时； （2）风力最高达到_级； （3）风力从_点开始明显减弱。 例例 2-7 一个有进、出水管的容器，单位时间内进、出水量都是一定的，设从某时刻开始 4 分钟内只 进水不出水，之后的 4 分钟内只出水不进水，得到的时间

12、 x （分钟）与水量 y (升)之间关系如图， 求： （1）每分钟进多少升水； （2）每分钟出多少升水； （3）0x4 时，y 关于 x 的解析式。 B A O A B C D S t S t S t S t O O O O （二）限时巩固、练一练（二）限时巩固、练一练 如图，各情况分别可以和哪幅画来近似刻画？ （1）一个球被向上抛起，直到落到地面的过程（球的高度与时间的关系） ； （2）常温下，往一杯凉水中倒开水（水温与时间的关系） ； （3）将澡盆中的水放掉（水的高度与时间的关系） 。 三、三、分段分段函数函数与方案选择与方案选择 （一）典例分析、学一学（一）典例分析、学一学 例例 3-1

13、 某市电力公司为了鼓励居民用电，采用分段计费的方法计算电费.每月用电不超过 100 度时， 按每度 0.57 元计费;每月用电超过 100 度时， 其中的 100 度仍按原标准收费， 超过部分按每度 0.50 元计费. （1）设月用电 x 度时，应交电费 y 元，当 x100 和 x100 时，分别写出 y 关于 x 的函数关系式； （2）小王家第一季度交纳电费情况如下表，求小王家第一季度共用电多少度. 月份 一月份 二月份 三月份 合计 交费金额 76 元 63 元 45 元 6 角 184 元 6 角 例例 3-2 某商店想购进一批西装和领带，西装每件 200 元，领带每条 40 元，但厂

14、方提供两种优惠办法： 买一件西装送一条领带； 西装和领带全按全价 90%付款， 如果欲购 20 件西装， x 条领带(20x)， 设两种优惠办法的付款数分别为 1 y、 2 y； （1）写出 1 y、 2 y关于 x 的函数关系式； （2）讨论领带数 x，说明哪种办法更优惠。 （尚孔教研院彭高钢）（尚孔教研院彭高钢）课堂测评课堂测评（尚孔教研院彭高钢）（尚孔教研院彭高钢） 1.小明从家中出发，到离家 1.2 千米的早餐店吃早餐，用了一刻钟吃完早餐后，按原路返回到离家 1 千米的学校上课，在下列图象中，能反映这一过程的大致图像是（ ） A B C D 2.根据生物学研究结果，青春期男女生身高增长

15、速度呈现如下规律，由图可以判断下列说法错误错误的 是（ ） A、男生在 13 岁时身高增长速度最快 B、女生在 10 岁以后身高增长速度放慢 C、11 岁时男女生身高增长速度基本相同 D、女生身高增长的速度总比男生慢 3.一水池有甲、乙、丙三个水管，其中甲、丙两管为进水管，乙管为出水管单位时间内，甲管水 流量最大，丙管水流量最小先开甲、乙两管，一段时间后，关闭乙管开丙管，又经过一段时间， 关闭甲管开乙管，则能正确反映水池蓄水量 y（立方米）随时间 t（小时）变化的图象是（ ） A、 B、 C、 D、 4.“十一黄金周”的某一天，小王全家上午 8 时自驾小汽车从家里出发，到“番茄农庄” 游玩.小

16、汽车 离家的距离 S(千米)与小汽车离家后时间 t (时)的关系可以用图中的曲线表示.根据图像提供的有关 信息，解答下列问题： （1）“番茄农庄”离家_千米； （2）小王全家在“番茄农庄”游玩了_小时； （3）去时小汽车的平均速度是_千米/时； （4）回家时小汽车的平均速度是_千米/时。 5.小亮从家步行到公交车站台，等公交车去学校图中的折线表示小亮的行程 s（km）与所花时间 t（min）之间的函数关系下列说法错误的是（ ） A.他离家 8km 共用了 30min B.他等公交车时间为 6min C.他步行的速度是 100m/min D.公交车的速度是 350m/min 6.小英早上从家里骑

17、车上学，途中想到社会实践调查资料忘带了，立刻原路返回，返家途中遇到给 她送资料的妈妈，接过资料后，小英加速向学校赶去能反映她离家距离 s 与骑车时间 t 的函数关 系图像大致是（ ） A B C D 7某商场国庆促销优惠规定：如一次购物不超过 200 元，无折扣；如一次购物超过 200 元但 不超过 500 元，按标价九折优惠；如一次购物超过 500 元，其中 500 元按第条优惠；超过 500 元的部分给予八五折优惠. （1）求某人购物付款 y 元关于所购物品原价 x 元之间的关系式及定义域. （2）某人两次购物，分别付款 170 元和 441 元，如果两次并一次购物，买同样的商品，比分两次

18、 购买可节约多少元？ 回顾总结回顾总结（尚孔教研院彭高钢）（尚孔教研院彭高钢） 一、函数表示法：列表法，图像法，解析式法一、函数表示法：列表法，图像法，解析式法 二、说说函数定义域的求法；二、说说函数定义域的求法； 三、实际问题的函数表达有哪些题型？三、实际问题的函数表达有哪些题型？ 课后巩固课后巩固（尚孔教研院彭高钢）（尚孔教研院彭高钢） 优点 缺点 列表 对于表中自变量的每一个值，可 以不通过计算，直接把因式变量 的值找到，查询时很方便.于是一 些数学用表应运而生 只能列出部分自变量与因变量的对应值，难 以反映变量间变化的全貌，而且从表中看不 出来变量间的对应规律 关系式 简明扼要、规范准

19、确 有些变量之间的关系很难或不能用关系式表 示，求对应值也需要逐个计算，比较麻烦 图象 形象直观.可见形象地反映出事 物变化的全过程、变化的趋势和 某些性质（因变量的增减变化） 点的对称、最大或最小值等 图象是近似的、局部的、观察或由图象确定 的因变量的值往往不够准确 1.如图，各图象所反映的是两个变量之间的关系，表示匀速运动的是（ ） A （3） （4） B.（2） （3） C. （1） （2） D.（2） （4） 2.打开某洗衣机开关，在洗涤衣服时（洗衣机内无水） ，洗衣机经历了进水、清洗、排水、脱水四 个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y（升）与时间x（分钟）之间满足某种函

20、 数关系，其函数图象大致为（ ） Ox y Ox y Ox yy xO A B C D 2. 我国有很多城市水资源缺乏，为了加强居民的节水意 识，某城市制定了每月用水 4 吨以内（包括 4 吨）和用水 4 吨以上两种收费标准（收费标准： 指每吨水的价格） ，用户每月应交水费 y（元）是用水量 x(吨)的函数，其函数图像如图所示。 （1）用水 4 吨以内的收费标准是_元/吨； （2）若小明家该月交水费 12.8 元，则他家用了_吨水。 2. 某市新出台的职工医疗保险改革方案规定:已退休的职工看门诊，先由个人账户支付门诊费用， 个人账户上的钱用完，由个人自付上一年度本市职工年平均工资的 2%，超过部分，个人再自己负 担超过部分费用的 15%，已知 2006 年某市职工年平均工资为 24000 元，个人账户上的钱由上一年 度本市职工年平均工资的 4%组成. （1）设 2007 年该市退休职工看病自付费用为 y 元，门诊费用 x 元，求 y 关于 x 的解析式及其定义 y（元） x （吨） 4 6 4 8 域. （2） 王老伯是该市退休职工， 2007 年王老伯第一次看病就将个人账户上的钱都用完了.王老伯第二 次去医院共支付了现金 930 元， 王老伯想知道这次看病的总费用是多少钱， 你能告诉王老伯他这两 次看病的总费用吗？