著名机构讲义秋季教案10-初二数学-一元二次方程的应用-教师版

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1、 教学设计方案 教师姓名 学生姓名 年 （尚孔教研院彭高钢（尚孔教研院彭高钢级 初二 上课时间 学 （尚孔教研院彭高钢（尚孔教研院彭高钢（尚孔教研院彭高钢（尚孔教研院彭高钢科 数学 课题名称 一元二次方程的应用 待提升的知 识点/题型 1.二次三项式的因式分解； 2.一元二次方程实际问题； 3.一元二次方程其他应用. （尚孔教研院彭高钢）（尚孔教研院彭高钢）知识梳理知识梳理（尚孔教研院彭高钢）（尚孔教研院彭高钢） （尚孔教研院彭高钢（尚孔教研院彭高钢知识点一：二次三项式的因式分解知识点一：二次三项式的因式分解 1. .一元二次方程的解法：一元二次方程的解法： （1）直接开平方法； （2）因式分

2、解（3）配方法； （4）公式法；一元二次方程的求根公式是04 2 4 2 2 acb a acbb x 2. .一元二次方程一元二次方程00 2 acbxax的根的判别式的根的判别式acb4 2 当0时，方程有两个不相等的实数根 a acbb x 2 4 2 1 ， a acbb x 2 4 2 2 ； 当0时，方程有两个相等实数根 a b xx 2 21 ； 当0时，方程没有实数根 3. .二次三项式的因式分解二次三项式的因式分解 （1）形如cbxax 2 （a，b，c都不为 0）的多项式称为二次三项式。来源:Z|xx|k.Com （2）当04 2 acb，先用公式法求出方程00 2 acb

3、xax的两个实数根 1 x、 2 x， 再写出分解式 21 2 xxxxacbxax 当04 2 acb，方程00 2 acbxax没有实数根，cbxax 2 在实数范围内不 能分解因式。 （尚孔教研院彭高钢（尚孔教研院彭高钢知识点二：知识点二：一元二次方程的应用一元二次方程的应用实际问题实际问题 1.1.基本思路：基本思路：列一元二次方程解应用问题的步骤和解法与前面讲过的列方程解应用题的方法步骤 教学设计方案 相同， 但在解题中心须注意所求出的方程的解一定要使实际问题有意义， 凡不满足实 际问题的解（虽然是原方程的解）一定要舍去 2.2.列方程解应用题的一般步骤：列方程解应用题的一般步骤：

4、1审题； 设出未知数； 找等量关系； 列方程； 解方程； 答. （尚孔教研院彭高钢尚孔教研院彭高钢知识点三：一元二次方程其他应用知识点三：一元二次方程其他应用 1.一元二次方程根的判别式的应用 2.一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 注：标记的知识点非考纲知识点，有兴趣可以让学生了解一下即可。 （尚孔教研院彭高钢）（尚孔教研院彭高钢）知识精析知识精析（尚孔教研院彭高钢）（尚孔教研院彭高钢） 一、一、二次三项式的因式分解二次三项式的因式分解 （一）典例分析、学一学（一）典例分析、学一学 例例 1-1 在实数范围内因式分解： （1）324 2 xx （2）126 2 xx （3）23 22 x

5、x 教学设计方案 =4（x+ 4 131 ） （x+ 4 131 ） =-6（x+ 6 71 ） （x+ 6 71 ） =(x-3)(x+3)(2 2 x) 例例 1-2 在实数范围内因式分解： （1） 2 43xx （2） 2 1 2pp 答案： （1） 2 43(27)(27)xxxx （2） 222 1 2(21)( 2)(12)(12)pppppp 例例1-3在实数范围内因式分解： （4）xx5 3 （5）24 2 xx （6）6 24 xx =x(x-5)(x+5) =(x-2-6)(x-2+6) =(x-3)(x+3)(2 2 x) （二）限时巩固，练一练（二）限时巩固，练一练 试

6、一试：在实数范围内因式分解： （1） 223 42y xx yx （2） 42 43xx 答案： （1） 223 2626 422 ()() 22 y xx yxx xy xy （2） 42222 43(43)(1)(23)(23)(1)xxxxxxx 二、二、一元二次方程的应用一元二次方程的应用实际问题实际问题 （一）典例分析、学一学（一）典例分析、学一学 教学设计方案 根据面积与边长之间根据面积与边长之间等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题 例例 2-1 用 12 米长的一根铁丝围成长方形。 （1） 如果长方形的面积为

7、 5m 2 ,那么此时长方形的长是多少？宽是多少？如果面积是 8 m 2 呢？ （2）能否围成面积是 10 m 2 的长方形？为什么? （3）能围成的长方形的最大面积是多少？ 解： （1）设长方形的宽为 xm,则长为（6-x）m， x（6-x）=5 解得 x1=1，x2=5 当长方形的宽为 1m，长为 5m 或宽为 5 m，长为 1 m 时，面积为 5m 2 同样面积为 8 时 x（6-x）=8 解得 x1=2，x2=4 当长方形的宽为 2m，长为 4m 或宽为 4 m，长为 2 m 时，面积为 5m 2 （2）x（6-x）=10 =-4b)，二人出 发5h后相距 5a5b km。 11、二次

8、三项式522 2 xx分解因式的结果是( B ) A. 2 111 2 111 xx B. 2 111 2 111 2xx C. 2 111 2 111 xx D. 2 111 2 111 2xx 12、二次三项式9124 2 xx分解因式的结果是( D ) A. 2 3 4 x B. 2 3 x C. 2 2 3 x D. 2 2 3 4 x 13在一幅长 80cm，宽 50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所 示， 如果要使整幅挂图的面积是 5400cm2， 设金色纸边的宽为xcm， 那么x满足的方程为 （B ） 教学设计方案 A. 01400130 2 xx

9、B.035065 2 xx C. 01400130 2 xx D.035065 2 xx来源:Zxxk.Com 14某商店将一件商品的进价提价 20%后又降价 20%，以 96 元的价格出售， 则该商店卖出这种商品的盈亏情况是（ B） A不亏不赚 B亏 4 元 C赚 6 元 D亏 24 元 15汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设，某汽车销售公司 2014 年盈利 1500 万元，到 2016 年盈利 2160 万元，且从 2014 年到 2016 年，每年盈利的年增长率相同 （1）该公司 2015 年盈利多少万元？ （2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计 2017 年盈利多少万元？

10、 解（1）设每年盈利的年增长率为 x， 根据题意得 1500（1+x）2=2160 解得 x1=0.2，x2=2.2（不合题意，舍去）1500（1+x）=1500（1+0.2）=1800 答：2015 年该公司盈利 1800 万元 （2）2160（1+0.2）=2592 答：预计 2017 年该公司盈利 2592 万元 16. 某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出 500 张，每张盈利 0.3 元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低 0.1 元，那么商场平均每天可多售出 100 张，商场要想平均每天盈利 120 元，每张

11、贺年卡应降价多 少元? 分析分析： 总利润=每件平均利润 总件数 设每张贺年卡应降价 x 元， 则每件平均利润应是 （0.3-x） 元，总件数应是（500+ 0.1 x 100） 解：解：设每张贺年卡应降价 x 元 教学设计方案 则（0.3-x） （500+100 0.1 x ）=120 解得：x=0.1 答：每张贺年卡应降价 0.1 元 17.要做一个高是 8cm，底面的长比宽多 5cm，体积是 528 3 cm的长方体木箱，问底面的长和宽各是 多少？ 解：设长方体的宽为 x（cm） ，则长为（x+5）cm，底面积为 x（x+5） 2 cm. x（x+5） 8=528.化简、整理后得 2 5

12、660xx解得： 12 11,6xx . 检验： 1 110x 不符合实际情况，舍去.当 x=6 时，符合题意. 方程的解为 x=6.长方体的长为 6+5=11（cm）. 答：长方体的宽为 6cm，长为 11cm. 18. 制造一种产品，原来每件的成本是 500 元，销售价为 625 元，经市场预测，该产品销售价第一 个月将降低 20%，第二个月比第一个月提高 6%，为了使第二个月的销售利润达到原来的水平， 该产品的成本价平均每月应降低百分之几？ 解 设平均每月应降低x，则 2 625 1 20% 1 6%500 1625500x， 1 0.1 10%x ， 2 1.9x （不合题意，舍去）

13、19. 如图所示,某小区规划在一个长为40米,宽为26米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路, 教学设计方案 使其中两条与AB平行,另一条与AB垂直,其余部分种草,若使每一块草坪的面积都为 144 平方米, 求小路的宽度? 解:可设小路宽为x米,依题意,得 6144)26)(240(xx, 解得44, 2 21 xx(不合题意,舍去). 答:小路的宽度为 2 米. 20红星电扇厂 4月份生产电风扇 2000 台，以后每月的产量递增，且增长率相同，第二季度总共生 产 9500 台，求后两个月的每月平均增长率。 解：设增长率为 x 2000+2000(1+x)+2000(1+x 2 )=950

14、0 解得 x=1/2,x=-7/2(舍去) 增长率为 0.5 21.一辆汽车以 20m/s 的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行 25m 后停 车 （1）从刹车到停车用了多少时间? （2）从刹车到停车平均每秒车速减少多少? （3）刹车后汽车滑行到 15m 时约用了多少时间（16. 310 精确到 0.1s）? 分析： （1）刚刹车时时速还是 20m/s，以后逐渐减少，停车时时速为 0因为刹车以后，其速 度的减少都是受摩擦力而造成的，所以可以理解是匀速的，因此，其平均速度为 200 2 =10m/s， 那么根据：路程=速度 时间，便可求出所求的时间 （2）很明显，刚要刹车时车

15、速为20m/s，停车车速为 0，车速减少值为 20-0=20，因为车速减 少值 20，是在从刹车到停车所用的时间内完成的，所以 20 除以从刹车到停车的时间即可 （3）设刹车后汽车滑行到 15m 时约用除以 xs由于平均每秒减少车速已从上题求出，所以 便可求出滑行到 15 米的车速，从而可求出刹车到滑行到 15m 的平均速度，再根据：路程=速度 教学设计方案 时间，便可求出 x 的值 解： （1）从刹车到停车所用的路程是 25m；从刹车到停车的平均车速是 200 2 =10（m/s） 那么从刹车到停车所用的时间是 25 10 =2.5（s） （2）从刹车到停车车速的减少值是 20-0=20 从

16、刹车到停车每秒平均车速减少值是 20 2.5 =8（m/s） （3）设刹车后汽车滑行到 15m 时约用了 xs，这时车速为（20-8x）m/s 则这段路程内的平均车速为 20(208 ) 2 x =（20-4x）m/s 所以 x（20-4x）=15 整理得：4x2-20x+15=0 解方程：得 x= 510 2 x14.08（不合，舍去） ，x20.9（s） 答：刹车后汽车行驶到 15m 时约用 0.9s 22. 已知：如图 3-9-3 所示，在ABC中，cm7cm,5,90BCABB.点P从点A开始沿 AB边向点B以 1cm/s 的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以 2cm/s 的速度

17、移动. （1）如果QP,分别从BA,同时出发，那么几秒后，PBQ的面积等于 4cm2？ （2）如果QP,分别从BA,同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于 5cm？ （3）在（1）中，PQB的面积能否等于 7cm2?说明理由. 解 （1）设xs 后，PBQ的面积等于 4cm2，此时， cm)5(,cmxBPxAP，cm2xBQ . 由, 4 2 1 BQBP得42)5( 2 1 xx. 整理，得045 2 xx. 解方程，得 4, 1 21 xx. 当4x时，782x,说明此时点Q越过点C，不合要求. 答：1s 后，PBQ的面积等于 4cm2. （2）仿（1） ，由 222 5 BQBP 得 222 5)2()5(xx. 教学设计方案 整理，得 02 2 xx 解方程，得0 1 x（不合，舍去） ，2 2 x. 答：2s 后，PQ 的长度等于 5cm. （3）仿（1） ，得72)5( 2 1 xx 整理，得 075 2 xx 容易判断此方程无解.答：PQB的面积不可能等于 7cm2.