著名机构数学讲义寒假08-七年级培优版-三角形的概念及全等的判定--教师版

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1、教师姓名 冯娜娜 学生姓名 年 级 初一 上课时间 单击此处输 入日期。 学 科 数学 课题名称 三角形概念及全等的判定 三角形概念及全等的判定 知识模块：三角形及有关概念知识模块：三角形及有关概念 1不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形三角形. . 注意：三条线段必须不在一条直线上，首尾顺次相接. 2组成三角形的线段叫做三角形的边边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角内角，简称角，相邻两边的 公共端点是三角形的顶点顶点. 3三角形 ABC 用符号表示为ABC.三角形 ABC 的顶点 C 所对的边 AB 可用 c 表示,顶点 B 所对的边 AC 可用 b 表示,顶点 A 所

2、对的边 BC 可用 a 表示. 知识模块：三角形三边的不等关系知识模块：三角形三边的不等关系 1三角形的任意两边之和大于第三边，或两边之差小于第三边. 证明：两点之间线段最短. 2三条线段的长度分别为, ,a b c，若abc，则三条线段能够构成三角形的条件为abc 或 bca . 知识模块：三角形的分类知识模块：三角形的分类 我们知道，三角形按角可分为锐角三角形、钝角三角形、直角三角形，我们把锐角三角形、钝角三角形 统称为斜三角形. 1按角分类: 三角形 直角三角形 斜三角形 锐角三角形 钝角三角形 那么三角形按边如何进行分类呢？请你按“有几条边相等”将三角形分类. 三边都相等的三角形叫做等

3、边三角形等边三角形； 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形等腰三角形； 三边都不相等的三角形叫做不等边三角形不等边三角形. 显然，等边三角形是特殊的等腰三角形. 2按边分类: 三角形 不等边三角形 等腰三角形 底和腰不等的等腰三角形 等边三角形 知识模块：三角形的高线、中线、角平分线知识模块：三角形的高线、中线、角平分线 1三角形的高三角形的高 请你在图中画出ABC 的一条高并说说你画法. 从ABC 的顶点 A 向它所对的边 BC 所在的直线画垂线，垂足为 D，所得线段 AD 叫做ABC 的边 BC 上的高高，表示为 ADBC 于点 D 注意：高与垂线不同，高是线段，垂线是直线. 三角形的三条高

4、所在的直线相交于一点三角形的三条高所在的直线相交于一点. . 2三角形的中线三角形的中线 如图，我们把连结ABC 的顶点 A 和它的对边 BC 的中点 D，所得线段 AD 叫做ABC 的边 BC 上 的中线中线，表示为 BD=DC 或 BD=DC1/2BC 或 2BD=2DC=BC. 三角的三条中线相交于一点三角的三条中线相交于一点. . 3三角形的角平分线三角形的角平分线 如图，画A 的平分线 AD，交A 所对的边 BC 于点 D，所得线段 AD 叫做ABC 的角平分线角平分线,表 示为BAD=CAD 或BAD=CAD1/2BAC 或 2BAD=2CADBAC. 三角形三个角的平分线相交于一

5、点三角形三个角的平分线相交于一点. . 想一想：三角形的三条高、三条中线、三条角平分线的交点有什么不同？ 三角形的三条中线的交点、三条角平分线的交点在三角形的内部，而锐三角形的三条高的交点在三 角形的内部，直角三角形三条高的交战在角直角顶点，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部. 腰 腰 底边 顶角 底角 底角 2 1 DCB A DCB A DCB A 知识模块：知识模块：三角形的性质三角形的性质 1角角关系：角角关系： （1）三角形的内角和为 180 （2）三角形的外角和为 360 （3）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 （4）注意平角和周角 2边边关系：边边关系： （1）三

6、角形的任意两边之和大于第三边，或两边之差小于第三边. 证明：两点之间线段最短证明：两点之间线段最短. . （2）三条线段的长度分别为, ,a b c，若abc，则三条线段能够构成三角形的条件为abc 或 bca . 3边角关系：边角关系： 在同一个三角形中大边对大角，小边对小角，等边对等角. 知识模块：知识模块：三角形的全等三角形的全等 1、三角形全等的判定定理三角形全等的判定定理： （1）边角边定理： 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“SAS” ） （2）角边角定理： 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成或“ASA” ） （3）边边边定理： 有三边对应相等

7、的两个三角形全等（可简写成“SSS” ） 。 ( 4 )直角三角形全等的判定： 对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有 HL 定理（斜边、直角边定理） ：有斜边和一条直 角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL” ） 注意：在全等的判定中，没有注意：在全等的判定中，没有 AAA 和和 SSA，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。 2、 全等三角形的性质： 全等三角形的对应角相等、对应边相等。 注意：注意： （1）性质中三角形全等是条件，结论是对应角、对应边相等，而全等的判定却刚好相反。）性质中三角形全等是条件，结论是对应角

8、、对应边相等，而全等的判定却刚好相反。 （2）利用性质和判定，学会准确地找出两个全等三角形中的对应边与对应角是关键。在写两个三角形）利用性质和判定，学会准确地找出两个全等三角形中的对应边与对应角是关键。在写两个三角形 全等时，一定把对应的顶点，角、边的顺序写一致，为找对应边，角提供全等时，一定把对应的顶点，角、边的顺序写一致，为找对应边，角提供方便。方便。 【例1】 如图，ABEFDC，ABC900，ABDC，那么图中有全等三角形 对 【答案】有三对。【答案】有三对。 BEFCEF 、ABEDCE 、ABCDCB。 【例2】 如图，EF900，BC，AEAF给出下列结论：12； BECF；AC

9、NABM；CDDN其中正确的结论是 （填序号） 【提示】依据已知条件易证ABEACF，可得结论正确， CDBD 故错误 【答案】 【例3】 如图，正方形 ABCD 中点 P 是边 AB 上的一个动点，且 CQ=AP，PQ 与 CD 相交于点 E，当 P 在边 AB 上运动时，试判 断PDQ 的形状并证明 【提示】 欲判定PDQ 的形状， 先证明ADP CDQ 2 1 F N M E D C B A F E D C B A D A B C P E Q 即可得PDQ 是等腰直角三角形 证明： （1）PDQ 是等腰直角三角形 正方形 ABCD（已知） AD = DC 、A = DCQ = 90 在A

10、DP 和 CDQ 中 AD = CD （ 已证 ） A = DCQ （ 已证 ） CQ = AP （ 已知 ） ADP CDQ（ SAS ） DP = DQ （全等三角形对应边相等） A DP = C DQ（全等三角形对应角相等） A DP +CDP = C DQ +C DP = 90 ( 等式的性质 ) PDQ 是等腰直角三角形 【例4】 如图，在四边形 ABCD 中，已知 AB = CD，且BAC =BDC，求证：AC = BD 【答案】在ABO 和 DCO 中 AOB = DOC （ 对顶角 ） BAC =BDC （ 已知 ） AB = CD （ 已知 ） ABO DCO（ AAS ）

11、OB = OC OD = OA （全等三角形对应边相等） OB + OD = OC + OA 即 AC = BD（等式性质） 【例5】 如图，在ABC 中，AD 平分BAC，AB+BD=AC，求BC 的值 方法一：题目中的条件 AB+BD=AC，使用起来不直观。若延长 AB，在延长线上取 BM 等于 BD，则可以得到 AB+BD=AM=AC，易于使用，这种方法叫“补短法” ， 通过补长线段，得到容易使用的相等线段。 解：延长 AB 到 M，使 BM=BD，连结 DM， B A O D C 则 AM=AB+BM=AC， 1=2，AD=AD， ADMADC， M=C 又BM=BD， 则M=BDM，

12、 ABC=2M=2C，即B:C=2:1 方法二：还可以在 AC 上截取 AN=AB，就能将条件 AB+BD=AC 转化为 NC=BD。 这种方法叫做“截长法” ，和第一种方法统称“截长补短法” ，常用于线段之间的关系证 明或者条件的利用。 解：如图：在 AC 上截取 AN=AB， 由条件易知ABDAND， 则 DN=DB AND=B， 又 AC=AB+BD=AN+NC NC=BD=ND，C=NDC B=AND=2C B:C=2:1 总结：总结： 1、常见全等三角形形状总结 B C A F D E B C E F A D F B D E A C E B F B A D C 2、灵活掌握三角形全等

13、和等式性质的综合应用。 3、常见辅助线添加为“倍长中线法” 、 “截长补短法” 、 “翻折全等”等需要多加练习， 总结规律，最终灵活应用。 学好几何证明题的要诀： 多练习，找题感，常复习，找规律 【习题1】 下列命题：形状相同的三角形是全等三角形；面积相等的三角形是全等三角形； 全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等；经过平移得到的图形与原图形是全等形，其 中正确的命题有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【答案】B 正确结论是，形状和大小都相同的三角形是全等三角形故错误， 中正确说法是全等三角形面积相等 E D C BA 【习题2】 下列说法：全等三角形的周长相等；全等三

14、角形的面积相等；全等三角形中的公 共边是对应边；全等三角形中对应角所对的边是对应边、对应边所对的角是对应角其中正确的是 （ ） A B C D 【答案】A 【习题3】 如图，在ABC 中，已知 ADBC，CEAB，且 CF = AB，求证：AD = CD 【提示】根据 ADBC，CEAB 得BAD = BCE，证明ABD CFD 证明： （1）ADBC，CEAB（已知） ADB = CDF = 90（垂直的意义） A DB + B = C DF + B = 90 BAD = BCE ( 同角的余角相等 ) 在ABD 和 CFD 中 ADB = CDF （ 已证 ） BAD = BCE （ 已证

15、 ） CF = AB （ 已知 ） ABD CFD（AAS） AD = CD （全等三角形对应边相等） 【习题4】 如图，已知 AB = DC，AC = BD，求证：ABE =DCE 【提示】根据已知证明全等并巧妙利用角度之间的等式性质解决问题是关键。 证明： （1）在ABC 和 DCB 中 AB = DC （ 已知 ） AC = BD （ 已知 ） E B A D C BC = CB （ 公共边 ） ABC DCB（ SSS ） ABC =DCB ACB=DBC （全等三角形对应角相等） ABC DBC = DCBACB 即ABE =DCE （等式性质） 【习题5】 AD 是ABC 的中线，

16、求证： 【提示】本题采用倍长中线法解决问题。 证明：如图所示，延长 AD 到 E，使得 AD=DE，连接 CE 易证ABDECD，得 AB = CE 在ACE 中，AECE+ AC 即 2ADAB+ AC 所以 【习题6】 直线 CD 经过的顶点 C，CA=CBE、F 分别是直线 CD 上两点，且 （1）若直线 CD 经过的内部，且 E、F 在射线 CD 上，请解决下面两个问题： 如图 1，若90 ,90BCA，则 （填“” ， “”或“”号） ； 如图 2，若，若使中的结论仍然成立，则 与 应满足的关系 是 ； （2）如图 3，若直线 CD 经过的外部，请探究 EF、与 BE、AF 三条线段

17、的数 量关系，并给予证明 BCA BECCFA BCA EFBEAF 0180BCA BCA BCABCA E D CB A 【提示】根据 HL 证明BCE CAF ，得 BE = CF CE=AF EF = | BE AF | 若+BCA=180 ，依然可以证明BCE CAF ，得 BE = CF CE=AF EF = | BE AF | (2)证明BCE CAF ，得 BE = CF 、CE=AF EF=BE+AF 【答案】 （1） = +BCA=180 （2）EF = BE + AF 证明： ，且 （已知） BCF = BEC+CBE = ACF+BCA (三角形的外角等于不相邻的两个内角的和) CBE = ACF（等式的性质） 在BCE 和 CAF 中 BEC = CFA （ 已知 ） CBE = ACF （ 已证 ） CA = CB （ 已知 ） BCE CSG（ AAS ） BE = CF CE=AF （全等三角形对应角相等） EF = CE + CF = BE + AF BCABECCFA 图 1 图 2 图 3