著名机构数学讲义寒假07-七年级基础版-相交线与垂线-教师版

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1、教师姓名 冯娜娜 学生姓名 年 级 初一 上课时间 单击此处输 入日期。 学 科 数学 课题名称 相交线与垂线 知识模块：邻补角与对顶角知识模块：邻补角与对顶角 1邻补角：邻补角：如果两个角有一条公共边，并且它们的另一边互为反向延长线，那么具有这种关系的两个 角叫做互为邻补角 注意：注意： 相交线与垂线 (1)邻补角的定义既包含了位置关系，又包含了数量关系： “邻”指的是位置相邻， “补”指的是两个角 的和为 180 (2)邻补角是成对出现的，而且是“互为”邻补角 (3)互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角 (4)邻补角满足的条件：有公共顶点；有一条公共边；另一边互为反向

2、延长线. 2. . 对顶角及性质：对顶角及性质： （1）定义：）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边(相对)的两个角，互为对顶角 （2）性质：）性质：对顶角相等 注意：注意： (1)由定义可知只有两条直线相交时，才能产生对顶角 (2)对顶角满足的条件：相等的两个角；有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线. 3. . 邻补角与对顶角对比：邻补角与对顶角对比： 角的名称 特 征 性 质 相 同 点 不 同 点 对顶角 两条直线相交 形成的角； 有一个公共顶 点； 没有公共边. 对顶角相等. 都是两条直线相 交而成的角； 都有一个公共顶 点； 都 是 成 对 出 现 的.

3、 有无公共边； 两直线相交 时， 对顶角只有 2 对；邻补角有 4 对. 邻补角 两条直线相交 而成； 有一个公共顶 点； 有一条公共边. 邻补角互补. 知识模块：垂线知识模块：垂线 1垂线的定义：垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中 一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足 注意：注意： (1)记法：直线 a 与 b 垂直，记作：ab； 直线 AB 和 CD 垂直于点 O，记作：ABCD 于点 O. (2) 垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有： 90AOC 判定 性质 CDAB 2垂线的画法：垂线的画法：

4、过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条 直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则 所画直线就为已知直线的垂线(如图所示) 注意：注意： (1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线 上，也可能在线段的延长线上 (2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段 3垂线的性质：垂线的性质： （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短简单说成：垂线段最短 注意：注意： （1）性质（1

5、）成立的前提是在“同一平面内” ， “有”表示存在， “只有”表示唯一， “有且只有”说明 了垂线的存在性和唯一性 （2）性质（2）是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短 ”实际上，连接直线外 一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短在实际问题中经常应用其“最短 性”解决问题 4点到直线的距离：点到直线的距离： 定义：定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离 注意：注意： （1） 点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离； （2） 求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段， 然后计算或度量垂线段的长度

6、【例 1】如图所示，AB 和 CD 相交于点 O，OM 平分AOC，ON 平分BOD，试说明 OM 和 ON 成一 条直线。 【答案】 OM 平分AOC，ON 平分BOD（已知） ， AOC=2AOM，BOD=2BON（角平分线定义） 。 AOC=BOD（对顶角相等） ，AOM=BON（等量代换） 。 AON+BON=180（邻补角定义） ，MON=AON+AOM=180（等量代换） ， OM 和 ON 共线。 【例 2】如图所示，已知直线 AB、CD 相交于点 O，OE 平分BOD，OF 平分COE，2:14:l， 求AOF 【答案】设1x，则24x OE 平分BOD， BOD212x 2+

7、BOD180，即 4x+2x180， x30 DOE+COE180， COE150 又 OF 平分COE， COF 1 2 COE75 AOCBOD60， AOFAOC+COF60+75135 【例 3】 （1）如图（1） ，已知直线 a、b 相交于点 O，则（1）图中共有几对对顶角?几对邻补角？ （2）如图（2） ，已知直线 a、b、c、d 是经过点 O 的四条直线，则图（2）中共有几对对顶角（不含平 角）?几对邻补角？ 【答案】 （1）2 对对顶角，4 对邻补角。 （2）将图（2）拆分为下图： 通过观察图形不难发现 a、b、c、d 四条直线两两相交，最多有 6 个交点，而由（1）知：每个交

8、点处 有两对对顶角，有四对邻补角， 对顶角的对数：2 612 （对） ；邻补角的对数:4 624 (对) 答：图中共有 12 对对顶角，24 对邻补角 【总结】因为 n 条直线两两相交，最多有 (1) 2 n n 个交点每个交点处有两组对顶角，故 n 条直线相交 于一点共有 n(n-1)对对顶角，2n(n-1)对邻补角。 【例 4】 如图，1=30，ABCD，垂足为 O，EF 经过点 O求2、3 的度数 【答案】由题意得： 3=1=30（对顶角相等） ABCD（已知） BOD=90（垂直的定义） 3+2=90 即 30+2=90 2=60 【例 5】如图所示，一辆汽车在直线形公路 AB 上由

9、A 向 B 行驶，M、N 分别是位于公路两侧的村庄 (1)设汽车行驶到公路 AB 上点 P 位置时， 距离村庄 M 最近； 行驶到点 Q 位置时， 距离村庄 N 最近， 请在图中的公路 AB 上分别画出点 P 和点 Q 的位置(保留作图痕迹) (2)当汽车从 A 出发向 B 行驶时，在公路 AB 的哪一段路上距离 M、N 两村庄都越来越近?在哪一段 路上距离村庄 N 越来越近，而离村庄 M 越来越远?(分别用文字表述你的结论，不必说明) 【答案】(1)过点 M 作 MPAB，垂足为 P，过点 N 作 NQAB，垂足为 Q，点 P、Q 就是要画的两点， 如图所示 (2)当汽车从 A 向 B 行驶

10、时，在 AP 这段路上，离两个村庄越来越近；在 PQ 这段路上，离村庄 M 越来越远，离村庄 N 越来越近 【习题1】 b、c 是平面上任意三条直线，交点可以有（ ） A1 个或 2 个或 3 个 B 0 个或 1 个或 2 个或 3 个 C1 个或 2 个 D 都不对 【答案】B 【习题2】 下列说法正确的有 ( ) 因为1 与2 是对顶角，所以12； 因为1 与2 是邻补角，所以12； 因为1 和2 不是对顶角，所以12； 因为1 和2 不是邻补角，所以1+2180 A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 【答案】B 【习题3】 如图， 直线 AB、 CD 相交于点 O， OEAB， OF

11、CD， 则图中与EOF 相等的角还有 （ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【答案】B 【习题4】 如图，PQR138，SQQR，QTPQ，则SQT 等于（ ） A42 B64 C48 D24 【答案】A 【习题5】 如图所示，OCOA，ODOB，AOB150，COD 的度数为 ( ) A90 B60 C30 D 45 【答案】C 【习题6】 已知关于距离的四种说法： 连结两点的线段长度叫做两点间的距离； 连结直线外的点和直线上的点的线段叫做点到直线的距离； 以直线外一点所引的这条直线的垂线叫做点到直线的距离； 直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离 其中正确命题的个数 （

12、 ） A0 个 B1 个 C2 个 D 3 个 【答案】B 【习题7】 如图所示： 直线 AB 与 CD 相交于 O， 已知1=30， OE 是BOC 的平分线， 则2= ， 3= 【答案】30，75 【习题8】 如图，ADBD，BCCD，ABa cm，BCb cm，则 BD 的取值范围是_ 【答案】bcmBDa cm 【习题9】 请你在表盘上画出时针与分针，使时针与分针恰好互相垂直 (1) 时针和分针互相垂直的整点时刻分别为 ； (2)一天 24 小时，时针与分针互相垂直_次 【答案】(1)3 时或 9 时； (2)44 【解析】一天 24 小时中时针转 2 圈，分针转 24 圈，所以分针要

13、超过时针的圈数是：24-2=22（圈） ，分 针每超过时针一圈，前后各有一次垂直，所以一天 24 小时中分针与时针垂直的次数是： （24-2）2=22 2=44（次） 【习题10】 在同一平面内，OAMN，OBMN，所以 OA，OB 在同一直线线上，理由是 _ 【答案】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【习题11】 100 条直线两两相交于一点，则共有对顶角（不含平角）_对，邻补角_对。 【答案】9900，19800。 【解析】100 条直线两两相交，最多有100(100 1)4950 2 个交点每个交点处有两组对顶角，4 对邻 补角，故 100 条直线相交于一点共有 495

14、029900（对）对顶角， 有 4950419800（对）邻补角。 【习题12】 如图所示，OAOB，OCOD，OE 为BOD 的平分线，BOE=17求AOC 的度数 【答案】解：OAOB，OCOD， AOB=COD=90， OE 为BOD 的平分线，BOE=17， BOD=2BOE=34， AOC=360909034=146 【习题13】 如图，已知 A、O、B 三点在一直线上，AOC120，OD、OE 分别是AOC， BOC 的平分线 (1)判断 OD 与 OE 的位置关系； (2)当AOC 大小发生变化时，OD、OE 仍分别是AOC、BOC 的平分线，则 OD 与 OE 的位置 关系是否

15、改变? 请说明理由 【答案】解：(1)ODOE (2)不变，理由如下： OD，OE 分别是AOC，BOC 的平分线， COD 1 2 AOC，COE 1 2 COB DOE 1 2 (AOC+COB) 1 2 18090， ODOE 【习题14】 如图，AOB 为一条在 O 处拐弯的河，要修一条从村庄 P 通向这条河的道路，现在有两种 设计方案：一是沿 PM 修路，二是沿 PO 修路如果不考虑其他因素，这两种方案哪一个经济一些?它 是不是最佳方案？如果不是，请你帮助设计出最佳的方案，并简要说明理由 【答案】解：本题所给出的两种方案中，沿 PO 修路这种方案更经济一些，因为 PO 是 OA 的垂线段， PM 是 OA 的斜线段，根据垂线段最短可知，POPM，但它仍不是最佳方案，最经济的方案应为沿如 图所示的线段 PN 修路因为垂线段最短得知，线段 PN 是 P 与 OB 上的各点的连线中最短的，PO 是 P 与 OA 上的各点的连线中最短的，即 PNPOPM所以沿线段 PN 修路是最经济的方案