著名机构讲义春季04-八年级培优版-整式方程与分式方程-教师版

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1、教师姓名 学生姓名 年 级 初二 上课时间 学 科 数学 课题名称 整式方程和分式方程 知知识模块：整式方程识模块：整式方程 （一）代数方程（一）代数方程 整式方程和分式方程 代数方程 无理方程 分式方程 高次方程 二次方程 一次方程 整式方程 有理方程 （1）如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式,这个方程叫做一元整式方程; （2）一元整式方程中含未知数的项的最高次数是n(n是正整数),这个方程叫做一元n次方程;其中次 数n大于 2 的方程统称为一元高次方程,简称高次方程. （二）（二）二项方程二项方程 （1）二项方程：如果一元 n 次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，

2、另一边是零，那么这 样的方程就叫做二项方程. 一般形式： 关于 x 的一元 n 次二项方程的一般形式为 是正整数）nbabaxn, 0, 0(0 注 n ax =0（a0）是非常特殊的 n 次方程，它的根是 0. 这里所涉及的二项方程的次数不超过 6 次. 1、 二项方程的解法： 将方程0bax n 变形为 n b x a .当 n 为奇数时，方程有且只有一个实数根，当 n 为偶数时，如 果 ab0,那么方程没有实数根。 （三）（三）特殊的高次方程特殊的高次方程 （1） 双二次方程：只含有偶数次项的一元四次方程.一般形式：)0(0 24 acbxax 注 ： 当常数项不是 0 时，规定它的次数

3、为 0. （2）解双二次方程的基本思想：解高次方程的基本思想是降次，使其转化为一元一次方程或者一元二 次方程，降次通常采用换元法或因式分解法。 （3）解双二次方程的一般过程： 换元，设 2 xy，则原方程变为关于 y 的一元二次方程 2 0(a0)aybyc 2、 运用公式法、因式分解等方法解一元二次方程 【例 1】判断下列方程是不是二项方程? 3 230x ； （2） 5 0xx； （3） 5 9x ； （4） 6 5xx； （5） 1 2x x ； （6） 4 90x 【答案】（1）、（3）、（6）是二项方程，（2）、（4）、（5）不是 【例 2】解下列关于x的方程 （1）(32)2(3)

4、axx （2） 22 1 1(1)bxx b 【答案】（1）当0a时，原方程的根是 2 x a ；当0a时，原方程无解。 （2）当10b 时，原方程的根是 1 22 1 b x b ， 2 22 1 b x b ； 当10b 时，原方程没有实数根。 【例 3】解下列方程； （1）0414314 2 xx （2） 22 3132xx 【答案】（1）因式分解法， 12 13 , 24 xx （2）直接开平方法， 12 2 ,2 5 xx 【例 4】解下列方程 （1）086 23 xxx （2） 42 3100xx （3）01244)( 222 xxxx （4）01243 23 xxx 【答案】（1

5、） 123 0,2,4xxx； （2） 12 2,2xx； （3） 12 3,2xx ； （4） 123 3,2,2xxx 【例 5】解关于x的方程： （1） 2 (1)(83)150mxmxm； （2） 22 20xpxqpq ； （3） 22 621bxxb 【答案】（1）当10m ，即1m 时，原方程即为5150x，解得：3x ； 当10m ，即1m 时，方程为一元二次方程，分解因式得1530mxmx ， 解得： 1 5 1 m x m ， 2 3x ； （2）配方法得 222 2xpxppq，即 2 2 xppq，由 2 pq，得 2 0pq，则有 2 xppq ，解得： 2 1 xp

6、pq ， 2 2 xppq ； （3）整理方程得 2 14bx，由此可得10b ，即1b 时，方程无解； 当10b ，即1b 时，则有 2 4 1 x b ，解得： 1 2 1 1 xb b ， 2 2 1 1 xb b 【例 6】根据a的取值范围，讨论 2 221axaxax 的根的情况 【答案】整理方程得 2 2210axaxa ，由此进行分类讨论： 当0a 时，方程为一元一次方程210x ，即方程有唯一解 1 2 x ； 当0a 时，方程为一元二次方程， 2 224144aa aa ， 由此则有440a ，即1a 且0a 时，方程有两个不相等的实数根； 当440a ，即1a 时，方程有两

7、个相等的实数根； 当440a ，即1a 时，方程没有实数根 知知识模块：分式方程识模块：分式方程 （一）分式方程的概念（一）分式方程的概念 （1）定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程 （2）正确理解分式方程的概念，应注意的问题 分式方程与整式方程是相对概念，分式方程强调的是分母中含有未知数，但对未知 数、次数及形式没有限制，如 2 11157 1,2, 112 x xxyxx 是分式方程， 31 342 xx 是整式方程 （2）分母中含有字母的方程不一定是分式方程，当且仅当字母中有未知数时，才是分式 方程 （二）分式方程的解法（二）分式方程的解法 1、基本思想：通过去分母把分式方程转化为整

8、式方程，在求解。 2、一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时 先分解因式，找出最简公分母） （2）解这个整式方程，求出整式方程的根 （3）检验有两种方法：将求得的整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等 于 0，则这个根为原方程的增根；如果最简公分母不等于 0，这个根是原方程的根，从而得出原方程的 解；直接代入原方程中，看其是否成立 1、 常用方法： 2、 换元法解分式方程 3、 去分母解分式方程 4、 换元法解分式方程组 【例 7】解方程组： 46 3 91 1 xyxy xyxy 【答案】 4 2 x y 【例 8】解方程： 1111

9、 5867xxxx 【提示】直接去分母计算略有复杂，观察分母，可以发现左边两个分母中的常数项的和是 13，右边两 个分母中的常数项的和也是 13，因此可以采用分组通分的方法求解。 【答案】 13 2 x 【例 9】解方程： （1） 24556177855 31()37029() 1423 xxxx xxxx （2） 314413 0 12345xxxxxx （3） 2222 11114 325671221xxxxxxxx 【答案】 （1） 5 2 x ，提示：原方程可化为 292931311111 31( 56)37029( 78) 14231423xxxxxxxx 即。 （2） 12345

10、557575+ 17517 , 22222 xxxxx ，提示：原方程可化为： 111111 3+4+=0 52314xxxxxx （3）3-7或 【例 10】解下列方程： （1） 2 2 11 1256890xx xx ； （2） 11111 (1)(1)(9)(10)12x xx xxx ； （3） 222 111 0 11828138xxxxxx 【答案】（1） 12 1 2 2 xx， 34 32 23 xx，；（2） 12 211xx ，； （3） 2 1 81xx， 34 81xx ， 【例 11】已知关于x的方程 0 2 22 2 xx ax x x x x 只有一个实数根，求实

11、数a的值 【答案】4a 当时，原方程只有一个实数根，且这个实数根是1x 8a 当时，原方程只有一个实数根，且这个实数根是1x 【例 12】已知关于 x 的方程 2 2 253 2831 2 xxab xab x 有一个增根，且a b、 互为相反数， 求a b、 的值。 【答案】1,1.ab 【习题 1】下列方程中，只有两个实数根的方程的个数是（ ） 02 3 xx 0243 2 xx 162 4 x 065 24 xx A0 B1 C2 D3 【答案】B 【习题 2】解关于x的方程： 2 42axax a 【答案】整理方程得 2 42 2 a ax a ，由题意可得0a ，由此进行分类讨论：

12、当20a 时，必有 2 42 0 a a ，即2a 时，方程无解； 当20a ，即2a 且0a 时，方程解为 2 2 42 2 a x aa 【习题 3】解下列方程： （1） 42 416xx； （2） 42 20xx； （3） 222 (231)22331xxxx； （4） 22 (1)1 x xx 【答案】（1） 1234 022xxxx ，； （2） 12 11xx ，； （3） 1234 33 03 22 xxxx ，； （4） 1234 2210xxxx ， 【习题 4】当 a，b 满足什么条件时，关于 x、y 的方程组 23 36 axy xby ，有唯一解?无数解? 【答案】当6

13、ab 时方程组有唯一解， 3 2 a 且4b 时方程组有无数解 【习题 5】解下列方程： （1） 36 40 321 x xx （2） 2 7271 111 x xxx （3） 22 313 2(x 1)(x 2)xxxx （4） 2 116 1 2+2312 x xxx （5） 222 11 322 x xxxxxx 【答案】 （1） 12 3,2xx （2）4x（3） 5 2 x （4） 12 2 ,3 3 xx （5）3x 【习题 6】解下列分式方程： （1） 51 7 31 1 xyxy xyxy ； （2） 513 4 221 2 xy xy 【答案】（1） 3 4 1 4 x y ； （2） 6 12 x y 【习题 7】已知关于x的方程 2 122 1232 aa xxxx 有增根，求a的值 【答案】 3 2 a 或2a 【习题 8】解已知关于x的方程 22 (1)()(27)10 11 xx aa xx （1）求a的取值范围，使得方程有实数根； （2）求a的取值范围，使得方程恰有一个实数根； （3）若原方程的两个相异的实数根为 12 xx，且 12 12 3 1111 xx xx ，求a的值 【答案】（1） 53 28 a 且1a （2） 53 28 a 或1a ；（3） 12 8 10 3 aa ，