著名机构数学讲义春季04-八年级基础版-整式方程和分式方程-学生版

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1、教师姓名 学生姓名 年 级 初二 上课时间 学 科 数学 课题名称 整式方程与分式方程 知知识模块：整式方程识模块：整式方程 （一）代数方程（一）代数方程 整式方程与分式方程 代数方程 无理方程 分式方程 高次方程 二次方程 一次方程 整式方程 有理方程 （1）如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式,这个方程叫做一元整式方程; （2）一元整式方程中含未知数的项的最高次数是n(n是正整数),这个方程叫做一元n次方程;其中次 数n大于 2 的方程统称为一元高次方程,简称高次方程. （二）（二）二项方程二项方程 （1）二项方程：如果一元 n 次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，

2、另一边是零，那么这 样的方程就叫做二项方程. 一般形式： 关于 x 的一元 n 次二项方程的一般形式为 是正整数）nbabaxn, 0, 0(0 注 n ax =0（a0）是非常特殊的 n 次方程，它的根是 0. 这里所涉及的二项方程的次数不超过 6 次. 1、 二项方程的解法： 将方程0bax n 变形为 n b x a .当 n 为奇数时，方程有且只有一个实数根，当 n 为偶数时，如 果 ab0,那么方程没有实数根。 （三）（三）特殊的高次方程特殊的高次方程 （1） 双二次方程：只含有偶数次项的一元四次方程.一般形式：)0(0 24 acbxax 注 ： 当常数项不是 0 时，规定它的次数

3、为 0. （2）解双二次方程的基本思想：解高次方程的基本思想是降次，使其转化为一元一次方程或者一元二 次方程，降次通常采用换元法或因式分解法。 （3）解双二次方程的一般过程： 换元，设 2 xy，则原方程变为关于 y 的一元二次方程 2 0(a0)aybyc 2、 运用公式法、因式分解等方法解一元二次方程 【例 1】判断下列关于 x 的方程，哪些是一元整式方程，并指出这些整式方程分别是一元几次方程? 23 270xa x； 32 1 240(0)xxxab ab ； 1 3(0) 1 xx x ； 2 1 2(0) x x x ； 2 1 350 2 mxm x ； 3 5 2 270(1)

4、21 x xxb b 【例 2】判断下列方程是不是二项方程? 3 230x ； （2） 5 0xx； （3） 5 9x ； （4） 6 5xx； （5） 1 2x x ； （6） 4 90x 【例 3】解下列关于 x 的方程： （1） 2 22 8120xxxx； （2） 42 6767720xx 【例 4】解下列关于x的方程 （1） 42 780xx； （2） 2 22 626630xxxx； （3） 22 2131x xx； （4） 32 7214xxx 【例 5】解下列关于x的方程 （1） 222 20xmxmn； （2） 22 40xxk； （3） 222 ()0(0)abxab xa

5、bab； 【例 6】若关于x的方程 22 (21)10m xmx 有两个实数根，求m的取值范围 【例 7】已知无论 k 取何值，x=2 总是关于 x 的方程1 23 kxaxbk 的解，求 a、b 的值 知知识模块：分式方程识模块：分式方程 （一）分式方程的概念（一）分式方程的概念 （1）定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程 （2）正确理解分式方程的概念，应注意的问题 分式方程与整式方程是相对概念，分式方程强调的是分母中含有未知数，但对未知 数、次数及形式没有限制，如 2 11157 1,2, 112 x xxyxx 是分式方程， 31 342 xx 是整式方程 （2）分母中含有字母的方程

6、不一定是分式方程，当且仅当字母中有未知数时，才是分式 方程 （二）分式方程的解法（二）分式方程的解法 1、基本思想：通过去分母把分式方程转化为整式方程，在求解。 2、一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时 先分解因式，找出最简公分母） （2）解这个整式方程，求出整式方程的根 （3）检验有两种方法：将求得的整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等 于 0，则这个根为原方程的增根；如果最简公分母不等于 0，这个根是原方程的根，从而得出原方程的 解；直接代入原方程中，看其是否成立 3、 常用方法： 4、 换元法解分式方程 5、 去分母解分式方程

7、 6、 换元法解分式方程组 【例 8】已知方程： （1） 2 4 1 2 x x ； （2） 2 2 1 x x ； （3） 1 1x x x ； （4） 2 3 2 x x，其中是分式 方程的有_ 【例 9】分式方程 22 22 8(2 )33 11 12 xxx xxx ，如果设 2 2 2 1 xx y x ，那么原方程可以化为关 于y的 整 式方程为 【例 10】解下列方程（组） ： （1） 2 2 2 1xx xx （2） 2 2 11 4(x)5(x)14 xx （3） 32 12 53 1 xy xy （4） 111 10 111 15 111 12 xy yz zx 【例 11

8、】当m时什么数值时，分式方程 0 11 63 xx mx xx 有增根？ 【例 12】当a取何值时，方程 2 2 1 2 2 1 2 xx ax x x x x 的解是负数？ 【习题 1】下列方程中， 42 3100xx ； 42 60xx ； 3 12160xx ； 322 651xxx，是双二次方程的是_ 【习题 2】方程012 24 xxx的解为_ 【习题 3】 （1）若分式 2 2 2 21 xx xx 的值为 0，则x的值等于_； （2）若分式 35 1 x x 无意义，当 51 0 322mxmx 时，则m _ 【习题 4】下列说法错误的个数是（ ） 二项方程一定有解； 二项方程的

9、解最多有两个； 二项方程如果有两个解， 则一定互为相反数； A0 B1 C2 D3 【习题 5】关于x的方程3 51xabx 有唯一解，则必须（ ） A2ab； B6a 且3b ； C3b ； D6a 且3b 【习题 6】求m为什么实数时，方程 2 16 +3=0mxx有实数根；没有实数根 【习题 7】关于x的方程43mxxn，分别求m n、 为何值时，原方程： （1）有唯一解； （2）有无数多解； （3）无解 【习题8】解下列方程： （1） 42 5140xx； （2） 42 2310xx ； （3） 22 10 1 xx xx （4） 2 2162 242 xx xxx （5） 22 22 133 11 xx xx 20； （6） 2 2 6 22 (1) xx x ； 【习题 9】已知方程 2 222 2 (1)21 () x axaa xa 有实数根，求实数 a 的取值范围 【习题 10】当a取什么整数时，关于x的方程 22 0 2(2) xxxa xxx x 只有一个实数根，并求此实数 根