著名机构数学讲义春季13-七年级培优版-等腰三角形-教师版

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1、教师姓名 学生姓名 年 级 初一 上课时间 学 科 数学 课题名称 等腰三角形 知识模块：等腰三角形知识模块：等腰三角形 等腰三角形 C D A B 定 义 示例剖析 等腰三角形的定义：有两条边相等的三角 形叫做等腰三角形 如图，ABC是等腰三角形，ABAC 则AB、AC是该三角形的腰. BC是该三角形的底边. B、C是该三角形的底角， 且BC . A是该三角形的顶角. ABAC，BC 等腰三角形的性质： （1）两底角相等（等边对等角） （2） “三线合一” ，即顶角平分线、底 边上的中线、底边上的高相互重合 （3） 是轴对称图形，底边的垂直平分线 是它的对称轴 ABC是等腰三角形，ABAC

2、若ADBC，则BDCD， BADCAD ； 若BDCD，则BADCAD ， ADBC； 若BADCAD ，则ADBC，BDCD. 等腰三角形的判定方法： 有两条边相等的三角形是等腰三角形 有两个角相等的三角形是等腰三角形 （等角对等边） 若ABAC或BC，则ABC是等腰三角形. 易错点：注意分类讨论，并舍去不符合条件的情况 【例 1】如图所示，在ABC 中，AB=AC，试说明B=C 的理由. 【答案】作 BC 边上中线 AD,则 BD=CD. CB A D CB A CB A D A CB C B A D C D A B 在ABD 与ACD 中， ABAC ADAD BDCD ABDACD，

3、BC 【例 2】如图所示，在ABC 中，AB=AC，BD 平分ABC.若ADB=108，求A 的度数. 【答案】36 【例 3】如图所示，在ABC 中，B=C，试说明 AB=AC 的理由. 【答案】作 ADBC，垂足为点 D， 90ADBADC 在ABD 与ACD 中， ADBADC BC ADAD ABDACD， ABAC 【例 4】如图所示：AB=AD，ABC=ADC，试说明 BC=DC 的理由. 【答案】联结 BD， AB=AD， ABDADB E D A BC E B C D F A P RQ F D E C B A ABCADC ， CBDCDB BCDC 【例 5】 如图所示， 在

4、ABC 中， BD 平分ABC， 过点 D 作 BC 的平行线 DE， 交 AB 于 E， 试说明 DE=BE 的理由. 【答案】BD 平分ABC，ABDCBD DE/BC， EDBCBD EBDEDB DEBE 【例 6】如图所示，在ABC 的边 AB 延长线上取一点 D，过 D 作 DFAC，垂足为 F，交 BC 于 E，且 BD=BE，试说明ABC 为等腰三角形的理由. 【答案】BD=BE，DBED CEFBED ， DCEF DFAC，90CEFC 90DA AC ABCB ABC 为等腰三角形 【例 7】如图所示，F、C 是线段 BE 上的两点，BF=CE，AB=DE，B=E，QR/

5、BE，试说明PQR 是等腰三角形的理由. 【答案】BF=CE，BC=EF D B A C E G 在ABC 与DEF 中， ABDE BE BCEF ABCDEF， ACBDFE QR/BE，QACB RDFE QR QPQR PQR 是等腰三角形 【例 8】如图所示，在ABC 中，AB=AC，在 AB 边上取点 D，在 AC 延长线上取点 E，使 BD=CE，联 结 DE 交 BC 于 G，试说明 DG=DE 的理由. 【答案】过点 D 作 DF/AC，交 BC 于点 F. DF/AC，DFBACB DFGECG AB=AC，BACB BDFB 因此 DB=DF， CE=DB，CEDF 在D

6、FG 与ECG 中， DGFEGC DFGECG DFCE DFGECG， DGGE 知识模块：等边三角形知识模块：等边三角形 定 义 示例剖析 等边三角形的定义：三条边都相等的三角 形叫做等边三角形 如图ABC 中，ABACBC，则ABC 是等边三角 形. 等边三角形的性质： 三边都相等，三个内角都相等，并且每一 个角都等于60 如图，ABC是等边三角形，则 60ABACBCABC ， 等边三角形的判定： 三条边都相等的三角形是等边三角形 三个角都相等的三角形是等边三角形 有一个角是60的等腰三角形是等边三 角形 若ABACBC，则ABC是等边三角形 若ABC ，则ABC是等边三角形 若60

7、ABACA ，（或60B，或60C） ， 则ABC是等边三角形 【例 9】 已知： 如图， 在等边三角形ABC的AC边上取中点 D，BC 的延长线上取一点 E，使 DB=DE求证：CE=CD. 【答案】ABC是等边三角形， 60ABCACB D为AC中点， 30DBC， DBDE 30E ACBCDEE ， CDCE. 【例 10】已知 A、B、C 三点共线，分别 AC、BC 为边，在直线 AB 同侧作等边CAN 和等 边BCM，易得 AM=BN （1）将CAN 绕点 C 旋转一定的度数，得到图（2） ，试问：AM=BN 吗? （2）将（1）中等边CAN 再绕点 C 旋转一定角度，得到图（3）

8、 ，上述 AM=CN 还成 BC A BC A BC A E D C B A 立吗?请说明理由； （3）在旋转过程中，直线 AM 和直线 BN 所夹的锐角的大小随着旋转角的改变而改变 吗?说说你的理由 【答案】（1）CAN为等边三角形，60CACNACN， 60 60 ( . . ). BCMCMCBBCM ACMNCMNCB ACMNCB S A SAMBN 为等边三角形， ， （2）成立方法同（1） （3）不变AMBN令直线和直线所夹锐角为，所夹钝角为， 6060120 60 . ACMNCBAMCNBC NBMAMBNBMAMCBMC NBMNBCBMCCBMBMC ， 【习题 1】 等

9、腰三角形底边长为 7cm， 它的周长不大于 25cm， 则它的腰长 x 的取值范围是_ 【答案】 7 9 2 cmxcm A B C 图 1 N M A B C 图 2 M N A B C N 图 3 M 21 D B A C D A CB F E D A CB 【习题 2】（1）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 50，则顶角的度数是_； （2） 等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为 50，则顶角的度数是_ 【答案】（1）40或140；（2）100 【习题 3】（1）等腰三角形的一个外角等于 120，则它是 三角形； （2）等边三角形是轴对称图形，它有_条对称轴，分别是_ 【答案】（1）等边

10、三角形；（2）三，三边的垂直平分线 【习题 4】在ABC 中，AB=AC，A=36，BD 平分ABC，DE/AB，EF/BD，则图中有等腰三角 形 个. 【答案】7 【习题 5】如图，在ABC 中，AB=AC，D 在 AC 上，且 BD=BC=AD,求A 的度数. 【答案】A=36 【习题 6】如图，DBAB，DCAC，且1=2，试说明 ADBC 的理由. 【答案】先说明ABDACD，得 AB=AC, 进而利用“等腰三角形三线合一”得到 ADBC BA M DC O E D C A B F DE C B A 【习题 7】如图，OA=OB，AC=BD，且 OAAC，OBBD，点 M 在 CD 上

11、，AOM=BOM，试说明 OMCD 的理由. 【答案】联结 OC=OD，则有OACOBD， 进而 OC=OD，AOC=BOD，则COM=DOM， 利用“等腰三角形三线合一”得到 OMCD 【习题 8】如图，在ABC 中，BAC=90，ADBC 于 D，AE 平分ABC 交 AD 于 F，交 AC 于 E， 试说明AEF 为等腰三角形的理由. 【答案】由角平分线得ABE=CBE， 则AFE=BFD=AEF，所以 AF=AE 【习题 9】如图，点 D 是ABC 的平分线与ACB 的外角平分线的交点，DE/BC，交 AB 于 E，交 AC 于 F，试说明 EF=BECF 的理由. 【答案】先说明 B

12、E=DE，CF=DF， 则 EF=DEDF=BECF O E B A C D E B A C D 【习题 10】如图所示，在ABC 中，D、E 分别是 AC、AB 边上的点，BE=CD，BD=CE，试说明 OE=OD 的理由. 【答案】先说明BECCDB，得DBCECB ， 进而有 OB=OC. 【习题 11】如图，点 D、E 在ABC 的边 BC 上，AD=AE，BD=EC，试说明 AB=AC 的理由. 【答案】由 AD=AE，得ADEAED，进而有ADBAEC 可以得到ABDACE，则 AB=AC. 【习题 12】如图，在等边三角形 ABC 中，点 D、E、F 分别是边 AB、BC、CA 上的动点， 且 AD=BE=CF，说明DEF 是等边三角形的理由 【答案】60ABCABCABBCAC 是等边三角形， ADBECFBDCEAF， ADFBED在和中，() ADBE ABADFBED SAS AFBD ， DFDEDEEF， 同理可证：，DEDFEFDEF，是等边三角形 A B C D E F