著名机构讲义春季12-八年级培优版-梯形及中位线-教师版

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1、教师姓名 学生姓名 年 级 初二 上课时间 学 科 数学 课题名称 梯形及中位线 梯形及中位线 知识模块知识模块：梯形相关概念梯形相关概念 1、梯形梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形 底底：平行的两边叫做底，其中较长的是下底，较短的叫上底 腰腰：不平行的两边叫做腰 高高：梯形两底之间的距离叫做高 2、特殊梯形特殊梯形 直角梯形：直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形 特殊梯形 等腰梯形：等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形 注意：如果同时具备直角梯形和等腰梯形的特征，那么该图形是矩形 3、等腰梯形性质定理等腰梯形性质定理 （1）等腰梯形在同一底上的两个内角相等 （2）等腰梯

2、形的两条对角线相等 （3）等腰梯形是轴对称图形； 4、等腰梯形的判定定理、等腰梯形的判定定理 （1）在同一底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形 （2）对角线相等的梯形是等腰梯形 【例 1】（1）在周长为 30cm 的梯形 ABCD 中，上底 CD=5cm，DEBC 交 AB 于点 E，则 ADE 的周长为_cm； （2）如图，梯形 ABCD 中，ABCD，ACB=90，且 AC 平分BAD，D=120，CD=3cm， 则梯形的周长是_cm A B C D G D C B A E A D C B 【答案】（1）20 ； （2）15 【例 2】 如图所示： 在直角梯形 ABCD 中， AB/CD，

3、 D=90， AB=BC， AGBC 于点 G， 1 3 CGAB， 求 CD AB 的值. 【答案】作 CHAB,交 AB 于点 H， 可把梯形分为矩形和直角三角形， 易证 RtAGBRtCHB,有 BH=BG,从而 AH=CG， 于是 1 3 CDAHCG ABABAB 【例 3】如图所示;在梯形 ABCD 中，AD/BC，CA 平分BCD，DE/BC，交 BC 的延长线于点 E， B=2E.求证：AB=DC. 【答案】根据内角相等的梯形是等腰梯形易证. 知识模块知识模块：解决梯形问题常用解决梯形问题常用辅助线辅助线 作法 图形 平移腰，转化为三角平移腰，转化为三角 形、平行四边形形、平行

4、四边形 E C B A D 作高，转化为直角三作高，转化为直角三 角形、矩形角形、矩形 延长两腰，转化为三延长两腰，转化为三 角形角形 平移对角线，转化为平移对角线，转化为 三角形、平行四边形三角形、平行四边形 联结顶点与腰上的中 点，构造全等三角形 【例 4】如图，梯形ABCD中，/ /ABCD，90AB ，ABb，CDa，E、F分 别为AB、CD的中点，则EF的长等于（ ） A 2 ba B 3 ba C 2 ba D 3 ba 【答案】C 【例 5】 如图所示;在等腰梯形 ABCD 中， AD/BC， AB=DC.过点 A 作 AEBC， 垂足为点 E， B=60， CAD=45，4 2

5、AC ,求梯形 ABCD 的面积. 【答案】16.过点 D 作 DFBC， 再根据等腰梯形的性质好求. G A B C D F E H E D C O B A N M CD A B M N C B AD 【例 6】如图所示：在梯形 ABCD 中，AD/BC，B=30，C=60，点 M、N 分别为 BC、DA 的中 点，BC=10, 7 2 MN ,求 AD 的长度. 【答案】思想：通过作梯形的腰的平行线，把梯形的问题转化为平行四边形和三角形的问题. 法 1：过点 N 作 AB 的平行线交 BC 于点 E, 过点 N 作 CD 的平行线交 BC 于点 F. 法 2：过点 A 作 MN 的平行线交

6、 BC 于点 H, 过点 A 作 CD 的平行线交 BC 于点 G. 法 3：延长 BA、CD 交于点 P，联结 PN，转化为 RtPBC 和 RtPAD 的问题. 【例 77】如图所示;在等腰梯形 ABCD 中，AD/BC，AB=DC.且 ACBD，AE 为高，等腰梯形 ABCD 的面积为 49，求高 AE 的长度. 【答案】7.过点 A 作 AF/BD，交 CB 的延长线于点 F， 运用面积的割补法易求. 【例 8】如图所示：在直角梯形 ABCD 中，AB/CD，M 是腰 BC 的中点，MNAD 于点 N，求证：梯 形 ABCD 的面积为MN AD. 【答案】思想：倍长中线对图形进行割补.

7、 法 1:过 M 作 MF/AD,EF 交 DC 延长线于点 E，交 AB 于点 F， 易证MCEMBF,于是= AFEDABCD SSMN AD 梯形 Q P S O CD AB 【例 9】如图，在梯形 ABCD 中，AB/CD，ADBC，对角线 AC、BD 的交点 O，AOB60，又 S、 P、Q 分别是 DO、AO、BC 的中点 求证：SPQ 是等边三角形 【答案】联结 CS，BP 四边形 ABCD 是等腰梯形，且 AC 与 BD 相交于 O， 可得出：CABDBA， CABDBA， 同理可得出：ACDBDC， AOBO，CODO AOB 60， OCD 与OAB 均为等边三角形 S 是

8、 OD 的中点， CSDO 在 RtBSC 中，Q 为 BC 中点，SQ 是斜边 BC 的中线， SQ 1 2 BC 同理 BPAC 在 RtBPC 中，PQ 1 2 BC 又SP 是OAD 的中位线， SP 1 2 AD 1 2 BC SPPQSQ 故SPQ 为等边三角形 【例 10】已知：如图，在直角梯形COAB中，OCAB，以O为原点建立平面直角坐 标系，ABC， ，三点的坐标分别为(80)(810)(0 4)ABC， ， 点D为线段BC的中点， 动点P从点O 出发，以每秒 1 个单位的速度，沿折线OABD的路线移动，移动的时间为t秒 （1）求直线BC的解析式； （2）若动点P在线段OA

9、上移动，当t为何值时，四边形OPDC的面积是梯形COAB面积的 2 7 ? （3）动点P从点O出发，沿折线OABD的路线移动过程中，设OPD的面积为S，请直接写出S 与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围 【答案】（1）设 BC 解析式为 y=kx+b，代入 B（8，10） ，C（0，4） ， 解得直线BC的解析式为： 3 4 4 yx； （2）D 是线段 BC 中点，D（4，7） 2 7 OPDCCOAB SS 四边形梯形 ， 1121 744(104)8 2272 t ，解得： 16 7 t ； （3）当 P 点在 OA 上时，S= 17 7 22 t t (08)t ； 当 P 在

10、AB 上时， OPABPDOCDCOAB SSSSS 梯形 = 1111 (410)8448(8)(18)4244(818) 2222 tttt ； 当 P 在 BD 上时，S= OCDOPAABPCOAB SSSS 梯形 = 8184 55 t （18t23） ； 当 P 在 OD 上时，S=0， （舍） 7 (08) 2 244(818) 8184 (1823) 55 t t Stt t t 知识模块知识模块：三角形中位线的定义和性质三角形中位线的定义和性质 1. 定义三角形的中位线：联结三角形两边中点的线段，(强调它与三角形的中线的区别)； 2. 三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于

11、第三边，并且等于它的一半. 3. 梯形中位线定理： 梯形的中位线平行于底边，并且等于两底和的一半. 【例 11】如图所示，在正方形 ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 O，AE 平分BAC，交 BC 于点 E，交 OB 于点 F，求证：CE=2OF A D F O G A B D C O P x y 【答案】取 AE 的中点 G，联结 OG 正方形 ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 O， OG/CE，CE=2OG AOG=ACB=45，GOB=OBC=45 AE 平分BAC， CAE=22.5， EGO=EAC+AOG=22.5+45=67.5， OFG 中，OFG=180-67

12、.5-45=67.5， OFG=EGO， OG=OF， CE=2OF 【例 12】如图 1 所示，已知 BD、CE 分别是ABC的外角平分线，过点 A 作AFBD， AGCE， 垂足分别为 F、 G， 连接 FG， 延长 AF、 AG， 与直线 BC 相交， 易证 1 () 2 FGABBCAC （1）若 BD、CE 分别是ABC 的内角平分线（如图 2） ； （2）BD 为ABC 的内角平分线，CE 为ABC 的外角平分线（如图 3） ，则在图 2、图 3 两种情况 下，线段 FG 与ABC 三边又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，并对其中的一种情况给予证明 【答案】（1）图 2 中，分别延

13、长 AG、AF 交 BC 于 H、K， 易证BAF 与BKF 全等 E D CB A S1 S2 S6 S7 S5 S3 S4 N M A B D C AF=KF，AB=KB，同理可证 AG=HG，AC=HC，FG= 1 2 HK 又HK=BK-BH=AB+AC-BC， 1 () 2 FGABACBC； （2）图 3 中，分别延长 AG、AF 交 BC 或延长线于 H、K 易证BAF 与BKF 全等 AF=KF，AB=KB，同理可证 AG=HG，AC=HC FG= 1 2 HK 又HK=BH-BK=BC+AC-AB 1 () 2 FGBCACAB 【习题 1】（1）等腰梯形的两底之差为 12c

14、m，高为 6cm，则其锐角为_； （2）等腰梯形的对角线为 17，底边分别为 10 和 20，则梯形的面积是_ 【答案】（1）45；（2）120 【习题 2】如图，在四边形 ABCD 中，M，N 分别是 AB，CD 的中点，AN，BN，DM，CM 划 分四边形所成的 7 个区域的面积分别为 1 S， 2 S， 3 S， 4 S， 5 S， 6 S， 7 S，那么恒成立的关系式是 ( ) A 2 S+ 6 S= 4 S B 1 S+ 7 S= 4 S C 2 S+ 3 S= 4 S D 1 S+ 6 S= 4 S E H Q 【答案】B 过 A 作 AEDC 于点 E，过 M 作 MHDC 于

15、H， 过点 B 作 BQCD 于 Q， 则 AE/MH/BQ M 是 AB 中点，H 是 EQ 中点， 即 MH 是梯形 AEQB 的中位线，2MH=AE+BQ 346 1 2 MDC SSSSDCMH ， 67 1 2 BNC SSSNCBQ ， 13 1 2 ADN SSSDNAE ，又 DN=CN 7613 11 22 SSSSNCBQNDAE 1 () 2 DNAEBQ 11 2 22 DNMHDNMHCDMH 7613346 SSSSSSS， 174 SSS 【习题 3】如图，在梯形 ABCD 中， 0 / /9012ADBC BCADDBCCD， 0 45ABE， 若 AE=10，

16、求 CE. 【答案】过点 B 作 DA 的垂线交 DA 延长线于 M，M 为垂足, 延长 DM 到 G，使得 MG=CE，联结 BG， 可得四边形 BCDM 是正方形 BC=BM，C=BMG=90，EC=GM， BECBMG， MBG=CBE ABE=45，CBE+ABM=45，GBM+ABM=45， ABE=ABG=45，ABEABG，AG=AE=10 设 CE=x，则 AM=10x，AD=12（10x）=2+x，DE=12x 在 RtADE 中，由 AE2=AD2+DE2，解得：x=4 或 x=6 故 CE 的长为 4 或 6 【习题 4】如右图，已知梯形 ABCD 中，BC 是下底，AB

17、C=60，BD 平分ABC， 且 BDCD，若梯形周长是 30cm，求此梯形的面积 【答案】BD 平分ABC， ABD=DBC= 1 2 ABC=30 A B C D O E A B C D E M G E F D C O B A AD/BC，ADB=DBC=30，AB=AD BDCD，DCB=60，ABC=DCB， AB=CD 设 AB = CD = AD = x， RtBCD 中，DBC=30，BC = 2CD = 2x， 30 = x+x+x+2x，解得：x=6 作 AEBC，RtABE 中， BAE=30， BE=3，AE=3 3 S= 1 2 （AD+BC）AE=27 3 2 cm

18、【习题5】 如图所示;在等腰梯形ABCD中， AD/BC， AB=DC.对角线AC与BD相交于点O， BOC=60， AC=10cm,求梯形的高 DE 的长. 【答案】过点 D 作 DF/AC,交 BC 的延长线于点 F. 易得BDF 为等边，易得5 3DE 【习题 6】如图所示，在等腰梯形ABCD中，/ /ADBC，对角线ACBD，若两底长分别为 ab、，试列出这个梯形的面积S用ab、表示的等式 【答案】过点 D 作 DE/AC 交 BC 延长线于点 E， 则可得平行四边形 ADEC 等腰梯形 ABCD 中，AC=BD， BDE 是等腰三角形， BE=BC+CE=BC+AD=a+b 过 D

19、作 DFBC 于点 F， 等腰直角DBE 中，DF= 11 () 22 BEab， E F BDEABCD SS 梯形 = 2 11 () 24 BE DFab 【习题 7】如图所示，在四边形ABCD中，CDAB，E、F分别是AC、BD的中点 求证： 1 () 2 EFCDAB 【答案】取 AD 中点 G，联结 EG，FG E、F 分别是 AC、BD 的中点， 1 2 EGCD， 1 2 FGAB CDAB，EGFG 在EFG 中，EFEG-FG= 1 () 2 CDAB， 当 AB/CD 时，F、E、G 三点共线， 1 () 2 EFCDAB， 1 () 2 EFCDAB 【习题 8】如图，

20、在直角梯形 COAB 中，CBOA，以 O 为原点建立直角坐标系，A、C 的坐标分别为 A （10，0） 、C（0，8） ，CB4，D 为 OA 中点，动点 P 自 A 点出发沿 ABCO 的线路移动，速度为 1 个单位/秒，移动时间为 t 秒 （1）求 AB 的长，并求当 PD 将梯形 COAB 的周长平分时 t 的值，并指出此时点 P 在哪条边上； （2）动点 P 在从 A 到 B 的移动过程中，设APD 的面积为 S，试写出 S 与 t 的函数关系式，并指出 t 的取值范围； （3）几秒后线段 PD 将梯形 COAB 的面积分成 1:3 的两部分？求出此 时点 P 的坐标 【答案】 （1

21、）点 B 坐标为（4，8） ， 1080410 22 AB 由 2 841010 5 t，得 t11 ；此时点 P 在 CB 上 （2）证法一：作 OFAB 于 F，BEOA 于 E，DHAB 于 H，则 BE OC8 OFABBEOA, 8 BEOF，DH4 ttS24 2 1 （0t10） （3）点 P 只能在 AB 或 OC 上， （）当点 P 在 AB 上时，设点 P 的坐标为（x，y） A B C D E F G 第26题图 y xO P D C B A 由 COABAPD SS 梯形 4 1 ； 得 145 2 1 y，得 y 5 28 由 142 t，得 t7； 由 49 5 28 10 2 2 x，得 5 29 x. 即在 7 秒时有点) 5 3 5 , 5 4 5( 1 P； （）当点 P 在 OC 上时，设点 P 的坐标为（0，y） 由 COABOPD SS 梯形 4 1 ； 得 145 2 1 y，得 y 5 28 此时 t 5 2 16) 5 28 8(14； 即在 16 5 2 秒时，有点) 5 3 5 , 0( 2 P. 故在 7 秒时有点) 5 3 5 , 5 4 5( 1 P、在 16 5 2 秒时，有点) 5 3 5 , 0( 2 P使 PD 将梯形 COAB 的面积分成 1:3 的两 部分