著名机构数学讲义春季02-八年级基础版-一次函数的应用-教师版

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1、教师姓名 学生姓名 年 级 初二 上课时间 学 科 数学 课题名称 一次函数的应用 知识模块：一次函数与方程（组）和不等式知识模块：一次函数与方程（组）和不等式 转为可化 从图象上看 确定直线 与轴交点的横坐标 一次函数 当时， 求的值 解一元一次方程 一次函数的应用 y2=x+2 y1=-x-1 O y x 转为可化 从图象上看 转为可化 从图象上看 转为可化 从图象上看 【例 1】 方程2200x的解为_，自变量_x 时，函数220yx的值为 0. 直线1yx和3yx的位置关系是 ，由此可知方程组 1 3 yx yx 解的情 况为_. 方程组 1 2 yx yx 的解为_，由此可知直线 1

2、 1yx 与 2 2yx的交点坐标为_. 在同一直角坐标系中画出中 1 y与 2 y的图象，通过观察图象，填空： 当x 时， 1 0y ，当x 时， 2 0y 当x 时， 12 yy，当x 时， 12 1yy 【答案】 10x ，10； 平行，无解； 3 2 1 2 x y ， 31 22 ，； 图象如下： 当1x时， 1 0y ；当2x 时， 2 0y ； 当 3 2 x ， 12 yy；当 3 0 2 x时， 12 1yy 【例 2】在一次蜡烛燃烧实验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度 以交点为界限， 直线 位于直线上方的那 部分图象 一次函数 与，求当 时取值范围 解一元一次不等式

3、当时，直线上的 点在轴上方 时，直线上的点 在轴下方 一次函数 求当或时 的取值范围 解一元一次不等式 或 两条直线 与的交点 求一次函数 与图象的 交点坐标 解二元一次方程组 Ox(h) y(cm) 30 25 20 10 32.521 cmy与燃烧时间 hx之间的关系如图（实线为甲，虚线为乙） ，请根据图上信息，回答下列问题： 甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是多少？从点燃到燃尽所用的时间分别是多少？ 分别求出甲、乙两根蜡烛燃烧时y与x的函数关系式； 燃烧多久后，甲、乙两根蜡烛的高度相等？在什么时间范围内，甲蜡烛比乙蜡烛高？什么时间范围 内，甲蜡烛比乙蜡烛低？ 【答案】 甲乙的高度分别为25

4、cm30cm，；时间分别为2.5h2h，. 甲：1025(02.5)yxx 乙：1530(02)yxx 联立甲乙的解析式，求得方程组的解为 1 15 x y 燃烧 1 小时的时候，甲乙高度相等；1 小时之后，甲比乙高；1 小时之前，甲比乙 低. 【例 3】一家小型放影厅盈利额 y(元)同售票数 x 之间的关系如图所示，其中保险部门规定：超过 150 人时，要缴纳公安消防保险费 50 元试根据关系图回答下列问题： （1）当售票数 x 满足 0x150 时，盈利额 y(元)与 x 之间的函数关系式是_ （2） 当售票数 x 满足 150x250 时，盈利额 y(元)与 x 之间的函数关系式是_ （

5、3）当售票数 x 为_时，不赔不赚；当售票数 x 满足_时，放影厅要赔 本；若放影厅要获得最大利润 200 元，此时售票数 x 应为_ （4）当 x=_时，此时利润为 140 元 【答案】（1）2200yx； （2）3400yx； （3）100、0100x、200； （4）180 知识模块：一次函数的代数应用知识模块：一次函数的代数应用 一次函数实际应用题的命题形式多样，可以大致归为以下几类： 方案设计问题（物资调运、方案比较） ； 分段函数问题（分段价格、几何动点） ； x y 200 100 50 -200 0 200150 解读图象（单个函数图象、多个函数图象） 。 一次函数多种变量及其

6、最值问题。这些问题都渗透着函数的方法和思想，其中一次函数多种变量 及其最值是一个重难点，解决此问题的窍门是列表. 【例 4】某公司有 A 型产品 40 件，B 型产品 60 件，分配给下属甲乙两个商店销售，其中 70 件给甲店， 30 件给乙店，且都能卖完，两商店销售这两种产品每件的利润（元）如下表： A 型利润 B 型利润 甲店 200 170 乙店 160 150 （1）分配给甲店 A 型产品 x 件，这家公司卖出这 100 件产品的总利润为 W（元） ，求 W 关于 x 的函 数关系式，并求出定义域的取值范围； （2）若公司要求利润不低于 17560 元，则有多少种不同的分配方案，并将方

7、案设计出来； （3）为了促销，公司决定仅对甲店 A 型产品让利销售，每件让利 a 元，但让利后 A 型产品的每件利 润仍高于甲店 B 型产品的每件利润，甲店的 B 型产品以及乙店的 A、B 型产品的每件利润不变，问 该公司如何设计分配方案，使总利润达到最大? 【答案】 （1）W=20x+16800（1040x） ； （2）x=38 时，甲店 A 型 38 件，B 型 32 件，乙店 A 型 2 件，B 型 28 件；x=39 时，甲店 A 型 39 件，B 型 31 件，乙店 A 型 1 件，B 型 29 件； x=40 时，甲店 A 型 40 件，B 型 30 件，乙店 A 型 0 件，B

8、型 30 件； （3）W=（20-a）x+16800 当 0a20 时，x=40，即甲店 A 型 40 件，B 型 30 件， 乙店 A 型 0 件，B 型 30 件，能使总利润达到最大；当 a=20 时，10x40，符合题意的 各种方案，使总利润都一样；当 20a30 时，x=10，即甲店 A 型 10 件，B 型 60 件， 乙店 A 型 30 件，B 型 0 件，能使总利润达到最大 【例 5】王鹏和李明沿同一条路同时从学校出发到图书馆查阅资料，学校与图书馆的路程是 4 千米王 鹏骑自行车，李明步行当王鹏从原路回到学校时，李明刚好到达图书馆图中折线OABC和线 段OD分别表示两人离学校的路

9、程s（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数关系，请根据图象 回答下列问题： 王鹏在图书馆查阅资料的时间为 分钟，王鹏返回学校的速度为 千米/分钟； 请求出李明离开学校的路程s（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数关系式； 当王鹏与李明迎面相遇时，他们离学校的路程是多少千米？ 【答案】 15， 4 15 设线段 OD 所在直线为(0)skt k 点 D（45，4）在此直线上，则 4= 45k， 4 . 45 k 4 45 st 当045t 时， 4 45 st 设线段 BC 所在直线为 11 0sktb k 点 B（30，4）和点 C（45，0）在此直线上 则 1 1 430 045 k

10、b kb ，解得 1 4 15 12. k b 4 12. 15 st 当3045t 时， 4 12. 15 st 由知线段 OD 所在直线为 4 45 st， 由 4 45 4 12. 15 st st ，解得 135, 4 3. t s 直线 OD 与 BC 的交点坐标为 135 3 4 ， 答：当王鹏与李明迎面相遇时，他们离学校的路程是 3 千米. 【例 6】气象研究中心观测一场沙尘暴从发生到结束全过程，开始时风暴平均每小时增加 2 千米/时，4 小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加 4 千米/时，一段时间，风暴保持不变，当 李明 王鹏 453015 4 2 （千米） （

11、分钟） D C B A O s t 沙尘暴遇到绿色植被区时，其风速平均每小时减小 1 千米/时，最终停止结合风速与时间的图像，回 答下列问题： （1）在y轴括号内填入相应的数值； （2）沙尘暴从发生到结束，共经过多少小时? （3）求出当x25 时，风速y(千米/时)与时间x(小时)之间的函数关系式 （4）若风速达到或超过 20 千米/时，称为强沙尘暴，则强沙尘暴持续多长时间? 【答案】（1）8，32；（2）57 小时；（3） 57yx ；（4）30 小时 【例 7】在某次抗震救灾中得知，甲、乙两个重灾区急需一种大型挖 掘机，甲地需要 25 台，乙地需要 23 台A、B两省获知情况后慷慨 相助，

12、分别捐赠该型号挖掘机 26 台和 22 台并将其全部调往灾区如 果从A省调运一台挖掘机到甲地要耗资 0.4 万元，到乙地要耗资 0.3 万元；从B省调运一台挖掘机到甲地要耗资 0.5 万元，到乙地要耗资 0.2 万元设从A省调往甲地x台挖掘机，A、B两省将捐赠的挖掘 机全部调往灾区共耗资y万元 请直接写出y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围 若要使总耗资不超过 15 万元，有哪几种调运方案？ 乙灾区 需23台 B省捐赠 22台 甲灾区 需25台 A省捐赠 26台 25104x(小时) y(千米/时) A B C （ ） （ ） 怎样设计调运方案能使总耗资最少？最少耗资多少万元？ 【答案】

13、此类调运分配问题是一个难点，数量关系非常复杂，最简单的方法是列一个表格，把所有相关 的量填写清楚，这样所有问题都将一目了然 A 省 B 省 台数（台） 耗资（万元） 台数（台） 耗资（万元） 甲区 x 0.4x 25x 0.5 25x 乙区 26x 0.3 26x 2326x或 2225x 0.23x 由上表可知0.40.3 260.5 250.23yxxxx 化简得0.219.7yx 又260x ，250x ，30x 自变量x的取值范围为325x 0.219.715x，得23.5x x为整数且325x ，2425x ， 调运方案有两种，如下列： 方案一： A B 甲 24 1 乙 2 21

14、方案二： A B 甲 25 0 乙 1 22 由0.219.7yx可知y随x的增大而减小 当25x 时， min 14.7y 问中的方案二可使总耗资最少为 14.7 万元 知识模块：一次函数的几何应用知识模块：一次函数的几何应用 (1)0ykxb k与 x 轴的交点为,0 b k ，与 y 轴交点为（0,b） ； (2)函数与函数的交点问题可以通过接二元一次方程组解决； (3)0ykxb k与两条坐标轴围成的三角形面积 1 2 b sb k . 【例 8】如图，已知由x轴、一次函数4(0)ykxk的图像及分别过点 C（1，0） 、D（4，0）两点作 平行于y轴的两条直线所围成的图形 ABDC

15、的面积为 7，试求这个一次函数的解析式 【答案】 2 4 3 yx 【例 9】直线 3 1 3 yx 与x轴、y轴分别交于点 A、点 B，以线段 AB 为直角边在第一象限内作等腰 Rt ABC，且90BAC，如果在第二象限内有一点P（a， 1 2 ） ，且ABP的面积与Rt ABC的面积 相等，求a的值 【答案】 3 4 2 a 【例 10】如图所示，直线 l1的解析表达式为 y=3x+3，且 l1与 x 轴交于点 D，直线 l2经过点 A、B，直 线 l1、l2交于点 C （1）求点 D 的坐标； （2）求直线 l2的解析表达式； （3）求ADC 的面积 （4）在直线 l2上存在异于点 C

16、的另一点 P，使得ADP 与ADC 的面积相等，请直接写出 点 P 的坐标 【答案】（1）（1，0）；（2） 3 6 2 yx； （3） 9 2 ； （4）P（6，3） 【例 11】如图，一次函数yaxb与正比例函数ykx的图象交于第三象限内的点 A，与 y 轴交于 (04)B，且 OA=AB，OAB 的面积为 6 （1）求两函数的解析式； （2）若(20)M，直线 BM 与 AO 交于 P，求 P 点的坐标； （3）在 x 轴上是否存在一点 E，使 SABE=5，若存在，求 E 点的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】（1）正比例函数 2 3 yx，一次函数 2 4 3 yx ； （2）P（

17、3，2） ； （3）E（1，0）或（11，0） y x P M B A O F 离家时间(分钟) 离家的距离(米) 10 15 20 200 0 100 O 【习题 1】小智和同学骑车去郊外春游，下列说法中错误 的是（ ） A修车时间为 15 分钟 B春游的地方离家的距离为 2000 米 C到达春游地点共用时间 20 分钟 D自行车发生故障时离家距离为 1000 米 【答案】A 【习题 2】如图，在矩形ABCD中，AB=2，1BC ，动点 P 从点 B 出发，沿路线BCD作匀速运 动，那么ABP的面积 S 与点 P 运动的路程x之间的函数图象大致是（ ） D C P B A O y/km 90

18、 30 a 05 3 P 甲 乙 x/h 【答案】B 【习题 3】在一条直线上依次有 A、B、C 三个港口，甲、乙两船同时分别从 A、B 港口出发，沿直线匀 速驶向 C 港，最终达到 C 港设甲、乙两船行驶 x（h）后，与 B 港的距离分别为 1 y、 2 y（km） ， 1 y、 2 y与 x 的函数关系如图所示 （1）填空：A、C 两港口间的距离为_km，a _； （2）求图中点 P 的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义； （3）若两船的距离不超过 10km 时能够相互望见，求甲、乙两船可以相互望见时 x 的取值范围 【答案】（1）120，2；（2）P（1,30），表示两船出发 1 小时

19、后，甲船追上乙船，此时两船距 离 B 港 30 千米；（3） 24 33 x或 8 3 3 x 【习题 4】某工厂有甲、乙两条生产线先后投产，在乙生产线投产以前，甲生产线已生产了 200t 成品； 从乙生产线投产开始，甲、乙两条生产线每天分别生产 20t 和 30t 成品 （1）分别求出甲、乙两条生产线投产后，总产量 y(t)与从乙开始投产以来所用时间 x(天)之间的函 数关系式，并求出第几天结束时，甲、乙两条生产线的总产量相同； （2）分别求出第 15 天和第 25 天结束时，甲、乙两条生产线的产量是多少，并比较哪条生产线的总 产量高 【答案】（1）y甲=20x+200，y乙=30x，20

20、天后甲、乙两条生产线的总产量相同 （2）第 15 天时，甲的生产量是 500t，乙的生产量是 450t，甲的总产量高；第 25 天时， 甲的生产量是 700t，乙的生产量是 750t，乙的总产量高 O 3 1 1 3 S x A O 1 1 3 S x O 3 S x 3 O 1 1 3 S x B C D 2 【习题 5】如图，线段AB，CD分别是一辆轿车和一辆客车在行驶过程中油箱内的剩余油量 1 y（升） 、 2 y（升）关于行驶时间x（小时）的函数图像 （1）写出图中线段CD上点M的坐标及其表示的实际意义； （2）求出客车行驶前油箱内的油量； （3）求客车行驶 1 小时所消耗的油量相当于

21、轿车行驶几小时所消耗的油量 【答案】（1）M（1，60） ，客车行驶 1 小时后，邮箱内剩余 60 升油； （2）90 升； （3）2 小时 【习题 6】已知一次函数 y=2x+b 与两坐标轴围成的三角形面积为 24，求 b 的值 【答案】4 6 【习题 7】如右图：一次函数ykxb的图象经过 A、B 两点，则AOC 的面积为_ 【答案】4 【习题 8】 直线 PA 是一次函数的图像，直线 PB 是一次函数 （mn0）的图像 （1）用 m、n 表示 A、B、P 的坐标 yxn2yxm ( 第22题图 ) y y1 BD A M C 43 x（小时） y（升） 60 4 3 2 1 3 21-1 A B O x y C （2）四边形 PQOB 的面积是 ，AB=2，求点 P 的坐标 【答案】 （1）A（-n，0） B（m，0） P（，） （2）m=2，n=1，P（，） 5 6 2 1 3 nm 3 2nm 3 1 4 3