著名机构数学讲义春季13-八年级基础版-梯形及中位线-教师版

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1、教师姓名 学生姓名 年 级 初二 上课时间 学 科 数学 课题名称 梯形及中位线 知识模块知识模块：梯形相关概念梯形相关概念 梯形及中位线 1、梯形梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形 底底：平行的两边叫做底，其中较长的是下底，较短的叫上底 腰腰：不平行的两边叫做腰 高高：梯形两底之间的距离叫做高 2、特殊梯形特殊梯形 直角梯形：直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形 特殊梯形 等腰梯形：等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形 注意：如果同时具备直角梯形和等腰梯形的特征，那么该图形是矩形 3、等腰梯形性质定理等腰梯形性质定理 （1）等腰梯形在同一底上的两个内角相等 （2）等腰梯

2、形的两条对角线相等 （3）等腰梯形是轴对称图形； 4、等腰梯形的判定定理、等腰梯形的判定定理 （1）在同一底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形 （2）对角线相等的梯形是等腰梯形 【例 1】如图，在等腰梯形 ABCD 中，ADBC，对角线 AC，BD 相交于点 O，有如下四个结论：AC BD； ACBD； 等腰梯形 ABCD 是中心对称图形； AOBDOC则正确的结论是 （ ） A、 B、 C、 D、 【答案】A 【例 2】已知：如图，AM 是ABC 的中线，D 是线段 AM 的中点，AMAC，AEBC 求证：四边形 EBCA 是等腰梯形 【答案】AEBC，AEDMCD，EADCMD D M A

3、E B C ADMD，AEDMCD AECM BMCM，AEBM 四边形 AEBM 是平行四边形 EBAM 而 AMAC，EBAC AEBC，EB 与 AC 不平行，四边形 EBCA 是梯形 梯形 EBCA 是等腰梯形 【例 3】如图，梯形 OABC 中，O 为直角坐标系的原点，A、B、C 的坐标分别为（14，0）、 （14，3）、（4，3）点 P、Q 同时从原点出发，分别作匀速运动，点 P 沿 OA 以每秒 1 个单位 向终点 A 运动，点 Q 沿 OC、CB 以每秒 2 个单位向终点 B 运动当这两点中有一点到达自己的终 点时，另一点也停止运动 （1）设从出发起运动了 x 秒，当 x 等于

4、多少时，四边形 OPQC 为平行四边形? （2）四边形 OPQC 能否成为等腰梯形?说明理由 【答案】（1）由题可知：OC=5，BC=10，OA=14 BC/OA 当 Q 点在 BC 上，且 OP=CQ 时，四边形 OPQC 是平行四边形 即 2x-5= x，解得：x = 5； （2）作点 C 作 CEOA 于点 E，过点 Q 作 QFOP 与点 F AO/BC，CE=QF 当 OE=PF=4 时，OCEPQF，此时四边形 OPQC 为等腰梯形， 即 OP=OE+CQ+PF，x=4+（2x-5）+4，解得：x=-3（舍） ， 四边形 OPQC 不能成为等腰梯形 知识模块知识模块：解决梯形问题常

5、用解决梯形问题常用辅助线辅助线 作法 图形 E A B C O P Q x y F 平移腰，转化为三角平移腰，转化为三角 形、平行四边形形、平行四边形 作高，转化为直角三作高，转化为直角三 角形、矩形角形、矩形 延长两腰，转化为三 角形 平移对角线，转化为平移对角线，转化为 三角形、平行四边形三角形、平行四边形 联结顶点与腰上的中 点，构造全等三角形 【例 4】在梯形 ABCD 中，ADBC，其中 AB4，CB8，AD2，则腰 CD 的取值范围是_ 【答案】210CD（平移一条腰，构造平行四边形和三角形） 【例 5】如图，梯形 ABCD 中，ADBC，且BC90，E、F 分别是两底的中点，联结

6、 EF，若 AB8，CD6，则 EF 的长为 D B A CE D B A C 【答案】EF5（平移两条腰，构造直角三角形） 【例 6】 如图， 在等腰梯形 ABCD 中， ADBC， ABCD， 对角线 ACBD 交于点 O， 其中梯形高为32 cm，则梯形面积是_cm2 【答案】 12 （提示： 如果题中出现对角线互相垂直对角线互相垂直， 那么一般都是通过平移对角线构造直角三角形） 【例 7】如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，E 是 CD 的中点，且 ABAE若 AB5，AE6，则梯形 上下底之和为 【答案】13（构造 X 型全等） 【例 8】如图，梯形 ABCD 中，ADBC，B45

7、，C120，AB8，则 CD 的长是 【答案】 8 6 3 【例 9】如图，在ABC中，点 D 是边 BC 的中点，点 E 在ABC内，AE 平分BAC，CEAE， 点 F 在边 AB 上，EF/BC （1） 求证：四边形 BDEF 是平行四边形； F ED BC A HGF ED BC A E O C B A D F E O C B A D C E B AD C E F B AD D A B C FE D A B C A B C D E F G （2） 线段 BF、AB、AC 之间有怎么样的数量关系?并证明 【答案】（1）延长 CE 交 AB 于点 G AECG，AE 平分BAC AEG 与

8、ACE 中，GAE=CAE，AE=AE，AEG=AEC AGEACEAG=AC，即AGC 是等腰三角形，E 是 GC 的中点 D 是 CB 的中点，DE/BA， EF/BD， 四边形 BDEF 是平行四边形； （2）ED 是BCG 的中位线， ED= 1 2 BG 又平行四边形 BDEF，ED=BF，BF= 1 2 BG，即 BG=2BF AG=AC， 2BF+AC=BG+AG=BA 知识模块知识模块：三角形中位线的定义和性质三角形中位线的定义和性质 1. 定义三角形的中位线：联结三角形两边中点的线段，(强调它与三角形的中线的区别)； 2. 三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且

9、等于它的一半. 3. 梯形中位线定理： 梯形的中位线平行于底边，并且等于两底和的一半. 【例 10】 （1）顺次联结四边形各边中点所组成的四边形是； （2）顺次联结平行四边形各边中点所组成的四边形是； （3）顺次联结矩形各边中点所得到的四边形是； （4）顺次联结正方形各边中点所得到的四边形是； （5）顺次联结菱形各边中点所得到的四边形是； （6）顺次联结对角线互相垂直的四边形各边中点所得到的四边形是； （7）顺次联结等腰梯形各边中点所得到的四边形是； （8）顺次联结对角线相等的四边形各边中点所得到的四边形是； （9）顺次联结对角线相等且互相垂直的四边形各边中点所得到的四边形是 【答案】（1）平

10、行四边形；（2）平行四边形；（3）菱形；（4）正方形；（5）矩形； （6）矩形；（7）菱形；（8）菱形；（9）正方形 【例 11】在梯形 ABCD 中，EF 分别是对角线 BD 和 AC 的中点，求证： 1 () 2 EFBCAD E D CB A G FE D B C A FE D B C A 【答案】联结 DF 并延长交 BC 与 G，证明ADFCGF，再根据三角形中位线可得 【例 12】如图，在ABC 中，点 D 是边 BC 的中点，点 E 在ABC 内，AE 平分BAC 内，CEAE， 点 F 在边 AB 上，EFBC （1）求证：四边形 BDEF 是平行四边形； （2）线段 BF、A

11、B、AC 的数量之间具有怎样的关系？证明你所得到的结论 【答案】 （1）证明：延长 CE 交 AB 于点 G， AECE，AEGAEC90 ， 又GAECAE，AEAE，AGEACE GEEC BDCD，DE/AB EF/BC，四边形 BDEF 是平行四边形 （2）解：四边形 BDEF 是平行四边形，BFDE D、E 分别是 BC、GC 的中点，BG 2BF2DE AGEACE，AGAC， 2BFABAGABAC 【习题 1】直角梯形一腰长为 12cm，这条腰和一个底边所成的角为 60，则另一腰长为 _cm，若上底为 3cm，则梯形的面积为_ E F AD B C E F AD B C 【答案

12、】6 3；36 3 2 cm 【习题 2】如右图，在等腰梯形 ABCD 中，ADBC，AC，BD 相交于点 O，有下列四个结论： （1）AC=BD；（2）梯形 ABCD 是轴对称图形；（3）ADB=DAC； （4）AODABO其中正确的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【答案】C 【习题 3】已知梯形ABCD中，/ /ADBC，70B，40C，2AD ，10BC 求DC的长 【答案】CD = 8 【习题 4】如图，在等腰三角形 ABC 中，点 D、E 分别是两腰 AC、BC 上的点，联结 BE、CD 相交于点 O，1=2 求证：梯形 BDEC 是等腰梯形 【答案】ABAC， D

13、BC=ECB 在BCD 与ECB 中，1=2，BC=BC BCDECB，BD=CE AB=AC， AD=AE，ADE=AED= 1 (180) 2 A=ABC=ACB DE/BC， 又BD 与 CE 不平行 四边形 BDEC 是梯形，且 BD=CE，梯形 BDEC 是等腰梯形 【习题 5】如图，四边形 ABCD 是梯形，BDAC，且 BDAC，若 AB2，CD4，求梯形 ABCD 的 面积。 【答案】如图，过点 B 作 BEAC 交 DC 的延长线于点 E， 过点 B 作 BFDC 于点 F， 则 ACBE，DEDC+CEDC+AB6。 又BDAC 且 BDAC，BDE 是等腰直角三角形。 A

14、 B C D O A B C D E A B D C E O 1 2 F G E H A B C D F G E H A B C D G F E B D C A H G F E B D C A BFDE3。 梯形 ABCD 的面积为（AB+CD）BF9。 【习题 6】如图，在四边形 ABCD 中，E、F、G、H 分别是边 AB、BC、CD、DA 的中点，依次联结各 边中点得到的中点四边形 EFGH这个中点四边形 EFGH 的形状为 ；说明理由 【答案】问题 1：平行四边形； 证明：联结 AC， E 是 AB 的中点，F 是 BC 的中点， EFAC，EF 1 2 AC 同理：HGAC，HG 1

15、 2 AC EFHG，EFHG， 四边形 EFGH 是平行四边形 【习题 7】如图，梯形 ABCD 中，ABCD，点 E、F、G 分别是 BD、AC、DC 的中点已知两底的差 是 8，两腰和是 12，求EFG 的周长。 【答案】联结 AE 并延长，交 CD 于点 H ABCD， ABEHDE，EABEHD， 又E 为 BD 中点， BEDE AEBHED DHAB，AEEH F 为 AC 中点； EF 1 2 HC 1 2 (CDDH) 1 2 (CDAB)4 1 2 1 2 ED BC A GF ED BC A 点 E、F、G 分别是 BD、AC、DC 的中点 EG 1 2 BC， FG 1

16、 2 AD； EG+ FG 1 2 (BC+AD)6 EFG 的周长为 10 【习题 8】如图，已知 BE、CD 分别是ABC 的角平分线，并且 AEBE 于 E 点，ADDC 于 D 点 求证： （1）DEBC； （2）DE 1 2 (AB+ACBC) 【答案】 （1）延长 AD、AE，交 BC 于 F、G； BEAG， AEBBEG90； BE 平分ABG，ABEGBE； BAEBGE； ABG 是等腰三角形； ABBG，即 E 是 AG 中点； 同理可得：D 是 AF 中点； DE 是AFG 的中位线； DEBC （2）由（1）知 DE 是AFG 的中位线，DE 1 2 FG； FGBG+CF-BC，且 ABBG，ACCF； FGAB+AC-BC，即 DE 1 2 （AB+AC-BC）