著名机构数学讲义春季12-八年级基础版-特殊的平行四边形-教师版

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1、教师姓名 学生姓名 年 级 初二 上课时间 学 科 数学 课题名称 特殊的平行四边形 知识模块：知识模块：矩形矩形 1、 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 特殊的平行四边形 C D A B O P O A B C D 2、 性质定理： （1）矩形的四个角都是直角. （2）矩形的对角线相等. （3）矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形，对称轴是每组对边的垂直平分线. 3、判定定理： （1）有三个角是直角的四边形是矩形. （2）对角线相等的平行四边形是矩形. 【例 1】如图所示，在矩形 ABCD 中， 1 4 ODAOADBOC ,求证：OB=OC=AB. 【答案】通过AOBD0C 得出

2、：OB=OC 根据角的关系可得出： BAOAOBCODDOC 从而可证 OB=OC=AB. 【例 2】如图所示，在矩形 ABCD 中，POBD，交 BC 于点 P, 2AB ,6BC 求证：PD 垂直平分 OC. 【答案】根据勾股定理易得： OCD 是等边三角形 易证点 D 在 OC 的垂直平分线上 点 P 在 OC 的垂直平分线上 从而 PD 垂直平分 OC. 【例 3】如图所示，在ABC 中，AB=AC，AD 是BAC 的平分线，交 BC 于点 D，AN 是ABC 外角 CAM 的平分线，CEAN，垂足为点 E.求证：四边形 ADCE 是矩形. E D C B A M N C A B E

3、D 【答案】根据有三个角是直角的四边形是矩形可证. 【例 4】如图所示：在四边形 ABCD 中，AD/BC，点 E 在 BC 上，AE/DC，BD=DC,DE 平分BDC. 求证：四边形 ABED 是矩形. 【答案】根据对角线相等的平行四边形是矩形可证. 知识模块：菱形知识模块：菱形 1、 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. F E C D B A O C D A B G D E F A B C 2、 性质定理： （1）菱形的四条边都相等. （2）菱形的对角线互相垂直，并且没一条对角线平分一组对角. （3）菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形，对称轴是对角线所在的直线. 3、判定定理：

4、 （1）四条边都相等的四边形是菱形. （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 【例 5】如图所示：在菱形 ABCD 中，DEAB,DFBC，垂足分别为点 E、F，BF=FC，求EDF 的 度数. 【答案】60. 【例 6】如图所示：在菱形 ABCD 中，AB=13cm，AC=24cm，求菱形 ABCD 的面积. 【答案】120. 【例 7】 如图所示： 在ABC 中， BD 平分ABC， AFBD 于点 F， 延长 AF 交 BC 于点 E， GAF=DAF， 联结 EG、ED.求证：四边形 AGED 是菱形. 【答案】通过两次全等得出四边相等 从而四边形 AGED 是菱形. F E O D

5、 A C B 【例 8】如图所示：在ABCD中，对角线 AC、BD 相交于点 O，过点 O 作直线 EFBD，分别交 AD、 BC 于点 E 和点 F.求证：四边形 BEDF 是菱形. 【答案】根据全等证平行四边形， 然后对角线垂直证全等 知识模块：正方形知识模块：正方形 1、 定义：有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形. 2、 性质定理： （1）正方形的四条边相等，四个角都是直角. F G E 0 B C A D DC AB M N FE A D CB （2）正方形的对角线相等，并且互相垂直，每条对角线平分一组对角. 【例 9】如图所示：在正方形 ABCD 中，对角线 AC、

6、BD 交于点 O，点 E 是 BO 的中点，DGCE 于点 G，交 OC 于点 F.若正方形 ABCD 边长为 10cm，求 EF 的长度. 【答案】5cm 提示：先证EOCFOD,再利用勾股定理. 【例 10】如图所示：点 M、N 分别在正方形 ABCD 的边 BC、CD 上，MCN 的周长等于正方形 ABCD 周长的一半，求MAN 的度数. 【答案】45 延长 ND 至点 E，使 DE=BM，联结 AE. 通过ADEABM, 通过ANEANM 即可求出. 【例 11】如图所示：在 RtABC 中，A=90，点 D 是 BC 边上的中点，DEAB,DFAC，垂足分 别是点 E、F，且 BE=

7、CF.求证：四边形 AEDF 是正方形. 【答案】先证矩形再证正方形. B C A D E G F B C A D E H 【例 12】如图所示：在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 O，点 E 是 BD 延长线上的点， 且ACE 是等边三角形，AED=2EAD.求证：四边形 ABCD 是正方形. 【答案】通过ACE 是等边三角形，证 ACBD， 然后可得出 ABCD 是菱形，再证ADO 为 45， 即ADC=90，即可证四边形 ABCD 是正方形. 【习题 1】下列命题中真命题是（ ） A对角线互相垂直的四边形是矩形 B对角线相等的四边形是矩形； C四条边都相等的四边形是矩

8、形； D四个内角都相等的四边形是矩形； 【答案】D 【习题 2】 （1）菱形的两条对角线长的比是3:4，边长为 10 厘米，菱形的面积是_； （2）菱形的两条对角线长的比是 2:3，面积是 12cm2，则它的两条对角线的长分别是_cm、 _cm，该菱形的周长是_cm 【答案】（1）96 平方厘米；（2）4、6、134 【习题 3】如图所示，矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，BEAC于点 E，CFBD 于点 F，求证：BE=CF 【答案】矩形 ABCD，OCOB OCOB ，CFOBEO，COFBOE COFBOE，BE=CF 【习题 4】如图所示，在矩形 ABCD 中，BC=8

9、，AB=6，把矩形折叠使点 C 与点 A 重合， 求折叠 EF 的长 【答案】联结 AC 交 EF 于 O，连接 CE 矩形折叠使点 C 与点 A 重合，CEAE 设xCEAE，则xDE8 在直角EDC中， 222 68xx，解得： 4 25 x 由勾股定理可得：10AC 矩形 ABCD，5 2 1 ACAO 在直角AOE中， 222 AOOEAE，解得： 4 15 OE 2 15 2 OEEF 【习题 5】如图，矩形纸片ABCD中，=4AB，8AD ，将纸片折叠，使得点B与点D重合， 折痕为EF （1）求证：四边形BEDF是菱形； （2）求菱形BEDF的边长 【答案】（1）设EF与AB的交点

10、为O 将纸片折叠，使得点B与点D重合，折痕为EF BDEF ，DOBO CDAB，FBOEDO OBFODE， OEOF DOBO ，四边形BEDF是平行四边形 BDEF ，四边形BEDF是菱形； （2）设xDFBF，则xFC8， A B C D E F O O O 在直角CFD中，由勾股定理，得： 222 48xx，解得：5x， 菱形BEDF的边长为 5 【习题 6】如图，在ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作AC的垂线与边AD、BC分别交于 点E、F 求证： （1）AOECOF； （2）四边形AFCE是菱形 【答案】（1）BCAD，FCAEAC OCOA，COFAOE，AOECOF；

11、 （2）AOECOF， OFOE ， OCOA，四边形AFCE是平行四边形 EFAC ，四边形AFCE是菱形 【习题 7】如图，正方形 ABCD 的对角线 AC 上截取 CE=CD，作 EFAC 交 AD 于点 F 求证：AE=EF=FD 【答案】正方形 ABCD，EFAC， 90DEFC CECD ，CFCF ，CEFCDF EFDF 45DAE，AEEF ，45AFEFAE EFAE ，FDFEAE 【习题 8】 如图， 已知 E 是正方形 ABCD 的边 BC 上的任意一点， BFAE， 垂足为 G， 交 CD 于点 F 求 O F E D C B A A B C D E F A D F G 证：AE=BF 【答案】BFAE，90GBAEAB 90FBCGBA，FBCEAB FBCEAB，BCFEBA，BCAB BCFABE， BFAE