著名机构数学讲义春季14-八年级基础版-平面向量及其加减运算-教师版

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1、教师姓名 学生姓名 年 级 初二 上课时间 学 科 数学 课题名称 平面向量及其加减运算 知识模块：知识模块：平面向量的概念平面向量的概念 平面向量及其加减运算 1有向线段有向线段 规定了方向的线段叫做有向线段 2向量向量 既有大小又有方向的量叫做向量 向量的大小也叫做向量的长度 （或向量的模） 3向量的表示向量的表示 （1）向量可以用有向线段直观表示）向量可以用有向线段直观表示 有向线段的长度表示向量的长度； 有向线段的方向表示向量的方向 （2）常见的表示方法）常见的表示方法 向量AB，长度记为AB； 向量a、b、c，长度记为a、b、c 4相等的向量相等的向量 方向相同且长度相等的两个向量叫

2、做相等的向量 5相反的向量相反的向量 方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反的向量 6平行向量平行向量 方向相同或相反的两个向量叫做平行向量 【例 1】 （1）既有 、又有 的量，叫做向量向量 （2）向量的 也叫向量的模向量的模（或向量的长度）它是一个 （3）零向量零向量：大小为 ，方向 的向量；记作_ _ 【答案】 （1）大小，方向； （2）大小，数； （3）零，任意，0； 【例 2】 （1）方向 且大小 的两个向量叫做相等向量相等向量 （2）方向 且大小 的两个向量叫做相反向量相反向量 （3）方向 的两个向量叫做平行向量平行向量 【答案】 （1）相同，相等； （2） 相反，相等； （3）

3、相同或相反； 【例 3】下列关于a、b的式子：/ /ab；ab ；0ab；ab 如果a、b互为相反向量，那么上面式子中正确的个数为（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【答案】C 【例 4】如图，梯形 ABCD 中，AD/BC，AC、BD 相交于 O，下列命题正确的个数是（ ） 若ABDC，则梯形是等腰梯形； 若OBOC，则梯形是等腰梯形； 若梯形是等腰梯形，则ABDC 若ABDC，则ACDB A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【答案】C 【例 5】如图，等边ABC中，D、E、F分别是AC、AB、BC 的中点，图中点的边 都看成有向线段，那么（1）与ED相等的线段有 条； （2

4、）写出与向量DE相等的向量； （3）写出与向量DE平行的向量 【答案】 （1）8； （2）FB，CF； （3）BF，FC，BC，CF，FB，CB，ED 知识模块：向量的加法知识模块：向量的加法 1向量的加法向量的加法 求两个向量的和向量的运算叫做向量的加法 2零向量零向量 长度为零的向量叫做零向量，记作0规定0的方向可以是任意的（或者说不确定） ；0 0 A B C D E F A B C D O 因此，两个相反向量的和向量是零向量，即：()0aa 对于任意向量，都有0aa，0aa 3向量的加法满足交换律：向量的加法满足交换律：abba 4向量的加法满足结合律：向量的加法满足结合律：()()a

5、bcabc 5向量加法的三角形法则向量加法的三角形法则 求不平行的两个向量的和向量时，只要把第二个向量与第一个向量首尾相接，那么以第一个向 量的起点为起点、第二个向量的终点为终点的向量就是和向量 6向量加法的多边形法则向量加法的多边形法则 几个向量相加，可把这几个向量首尾顺次相接，那么以第一个向量的起点为起点、最后一个向 量的终点为终点的向量，就是这几个向量的和向量 【例 6】向量的运算： （1）向量加法、减法的三角形法则： ABBC_；ACBC_ _ （2）向量加法、减法的平行四边形法则： ABAD_；ABAD_ _ （3）向量的加法运算律： 向量加法满足交换律 即： ； 向量加法满足结合律

6、， 即： 【答案】 （1）AC，AB； （2）AC，DB； （3） ；abba ， ()()abcabc 【例 7】 （1）如图 1，一只蚂蚁从点 A 出发，沿着ABC 的边爬行一周回到点 A，则 ABBCCA ； （2）如图 2，一只蚂蚁从点 A 出发，沿着四边形 ABCD 的边爬行一周回到点 A，则 ABBCCDDA ； （3）如图 3，一只蚂蚁从点 A1出发，沿着 n 边形的边爬行一周回到点 A1，那么 C BA D 1223341n AAA AA AA A 图 1 图 2 图 3 【答案】 （1）0； （2）0； （3）0 【例 8】如图，已知向量a b c d，其中ac 求作： （1

7、）+bd； （2）+ac； （3）+ +bc d； （4）+ +a b d 【答案】（1） ， AC为所求； （2） ， DE为所求； （3） ， GJ为所求； A B C A B C D A2 A3 A4 A5A6 An A1 （4） ， KP为所求 知识模块：向量的减法知识模块：向量的减法 1向量的减法向量的减法 已知两个向量的和及其中一个向量，求另一个向量的运算叫做向量的减法 减去一个向量等于加上这个向量的相反向量，即：()abab 2向量减法的三角形法则向量减法的三角形法则 在平面内取一点，以这个点为公共起点作出这两个向量，那么它们的差向量是以减 向量的终点为起点，被减向量的终点为终点

8、的向量 3向量加法的平行四边形法则向量加法的平行四边形法则 如果a，b是两个不平行的向量，那么求它们的和向量时，可以在平面内任取一点为公 共起点作两个向量与a，b相等，以这两个向量为邻边作平行四边形，然后以所取的公共起 点为起点，作这个平行四边形的对角线向量，则这一对角线向量就是a，b的和向量，这个 法则叫做向量加法的平行四边形法则 4另外一个对角线向量，即是另外一个对角线向量，即是a，b的差向量，这个差向量与被减向量共终点的差向量，这个差向量与被减向量共终点 【例 9】化简：ABCBCDED_ 【答案】 AE 【例 10】如图，在图中画出向量ABAC 【答案】 CB 【例 11】已知：矩形

9、ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O （1）利用图中的向量表示：BCCD ； C C B BA A A B C D O （2）利用图中的向量表示：AOAD ； （3）如果5AB ，12BC ，则BO 【答案】（1） BD；（2） DO；（3）6.5 【例 12】某人从A出发向西走了 200 米到达点B，然后改变了方向向北偏西60走了 450 米到达点C，最后又改变方向，向东走了 200 米到达点D （1）作出向量AB、BC、CD（比例尺为1:10000） ； （2）求DA 【答案】（1） ； （2）0.045 【例 13】甲从点 A 出发向正东方向走了 2 千米，到达点 B，然后向东

10、北方向前进5 2千米，达到点 C， 最后向正东方向前进 5 千米到达 D 停下， （1） 画出向量AB、BC、CD； （2）求出向量BD、AD模的大小 【答案】（1）如图； （2）55 BD，13 AD 【习题 1】下列各式中，正确的个数是（ ） 若0a ，则0a ； 若0a ，则0a ； 若ab，则ab或ab ； 若0a ，则0a A、0 个 B、1 个 C、2 个 D、3 个 【答案】B 【习题 2】设b是a的相反向量，则下列说法错误错误的是（ ） A、a与b的长度必相等 B、ab C、a与b所在直线一定平行 D、a是b的相反向量 【答案】A 【习题 3】已知正方形 ABCD 的边长为 1

11、，=ABaACc BC b，则|abc为（ ） A0 B3 C2 D22 【答案】D 【习题 4】计算： （1）OACAOC ； （2）AOADOC ； （3）ABDECDBE ； （4）ACBACKBK 【答案】（1） 0；（2） DC；（3） AC；（4） 0 【习题 5】如图，已知向量a与b，求作ab a b 【答案】 OB为所求 F E D CB O A 【习题 6】如图，点B、D在平行四边形AECF的对角线EF上，且EBDF，设ECa， EAb,ADc （1）填空：ab ； bc （2）求作：ac 【答案】（1） AC； ED； （2） 如图，EM 为所求 【习题 7】如图，正六边形

12、 ABCDEF 的中心是 O，已知AOa，ABb，用a，b表示以下向量： EF=_，CF=_，FA=_， CE=_，AE=_，AC=_. 【答案】EFa，2CFb，FAba， 2CEab，2AEa b，ACab 【习题 8】如图，一只蜗牛从点 A1出发，沿着多边形的边爬行一周后回到点 A1， 求 1223341n A AA AA AA A 【答案】 0 A B C D E F A3 A4 A1 A2 An A5 A B C D E 【习题 9】如图，已知向量ABa、BCb、CDc、DEd；试用a、b、c、d表示下列向 量： （1）ABAC； （2）ABAE 【答案】 （1）b； （2）bcd 【习题 10】如图，在梯形 ABCD 中，ABCD，AEBC交 CD 于点 E，如果把图中的线段都表示有向 线段，那么在这些有向线段表示的向量中， （1） 找出所有与向量AE的平行向量； （2） 若 CD=2AB，指出所有与向量AB相等的向量； （3） 联结 AC、BE 交于点 O，在向量OA、OC、OB、OE中找出两对相反的向量 【答案】（1）BC，CB，EA；（2）DE，EC； （3）OA与OC互为相反的向量；OB、OE互为相反的向量 A B C D E O