著名机构讲义春季11-八年级培优版-特殊的平行四边形-教师版

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1、教师姓名 学生姓名 年 级 初二 上课时间 学 科 数学 课题名称 特殊的平行四边形 知识模块：矩形知识模块：矩形 1、 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 特殊的平行四边形 H GF E O A C B D H 2、 性质定理： （1）矩形的四个角都是直角. （2）矩形的对角线相等. （3）矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形，对称轴是每组对边的垂直平分线. 3、判定定理： （1）有三个角是直角的四边形是矩形. （2）对角线相等的平行四边形是矩形. 【例 1】如图，在矩形 ABCD 中，AB=3，AD=4，P 是 AD 上不与 A、D 重合的一动点， PEAC，PFBD，E、F 为垂

2、足，则 PE+PF 的值为 【答案】过点 D 作 DHAC 于点 H，连接 PO 矩形 ABCD 中，AB=3，AD=4， AC=5，AO=DO DHAC ， 12 5 DH ADODPOAPO SSS ， 111 222 AO PEDO PFAO DH 12 5 PEPFDH 【例 2】如图所示：点 O 是矩形 ABCD 的对角新 AC 与 BD 的交点，E、F、G、H 分别是 AO、BO、CO、 DO 上的一点，且 AE=BF=CG=DH.求证：四边形 EFGH 是矩形. 【答案】通过对角线先证平行四边形再证矩形. 【例 3】已知：矩形 ABCD 中，延长 BC 至 E，使 BE=BD，F

3、 为 DE 中点，连接 AF、CF 求证：AFCF 【答案】联结BF BE=BD，F 为 DE 中点，DEBF A B C D E F 90AFDBFA 90DCE，F 为 DE 中点，CFDF FDCFCD ， BCFADF BCAD ，BCFADF，DFCF BCFADF，BFCAFD 90AFDBFA，90BFCBFA， 即90AFC，AFCF 【例 4】将矩形 ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个既无缝隙又无重叠的四边形 EFGH，若 EH=3， EF=4，求 AD AB 的值 【答案】由翻折的性质可得：MEHAEH，BEFMEF 180BEFMEFMEHAEH， 90HEF同理可

4、证得：90HGF，90EHG 四边形EFGH是矩形，FGEH 90BEFAEH，90AHEAEH，BEFAHE 90BFEBEF，90CFGBFE，CFGBEF，CFGAHE CA，FGEH ，CFGAHE， CFGAHE， FNCFAH 又HNHD ，HFAD 在直角HEF中，43EFEH，由勾股定理可得：5HF EMHFEFHE， 5 12 EM 又EBEMAE， 5 24 2 EMAB， 24 525 24 5 ADAB ： 知识模块：菱形知识模块：菱形 1、 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2、 性质定理： （1）菱形的四条边都相等. A B C D E F G H M N

5、 D B C A E N O E M D A B C （2）菱形的对角线互相垂直，并且没一条对角线平分一组对角. （3）菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形，对称轴是对角线所在的直线. 3、判定定理： （1）四条边都相等的四边形是菱形. （2） 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 【例 5】如图，菱形 ABCD 的边长为 4 cm，且ABC60，E 是 BC 的中点，P 点在 BD 上，则 PE+PC 的最小值为_ 【答案】联结AE与BD的交点即为所求作的点P ABC60， ABC为等边三角形 E 是 BC 的中点， BCAE 42ABBE， 32 22 BEABAE 【例 6】如图所示：以等

6、腰 RtABC 的斜边 AB 为边作菱形 ABDE，使 D、E、C 三点在同一直线上，求 CAE. 【答案】15 提示：过点 C 作 CFAB，过点 E 作 EGAB 【例 7】如图所示：在ABC 中，BAC=90，ADBC 于点 D，BE 平分ABC 交 AD 于点 M，AN 平分DAC,交 BC 于点 N,BE、AN 相交于点 O. 求证：四边形 AMNE 是菱形. 【答案】通过AOMAOE 先证平行四边形再证菱形. E D AC B F 【例 8】如图，菱形 ABCD 的边长为 2，BD2，E，F 分别是边 AD，CD 上的两个动点且满足 AE+CF 2 （1）判断BEF 的形状，并说明

7、理由； （2）设BEF 的面积为 S，求 S 的取值范围 【答案】（1）菱形 ABCD 的边长为 2，BD =2， BCDABD和都为等边三角形 60BCFBDE，BCBD 2ADDEAE，又2CFAE， CFDE CFDE ，BCFBDE，BCBD， BCFBDE， CBFDBE，BFBE 60CBFDBFDBC， 60DBEDBF，即60EBF， BEF是正三角形； （2）设xEFBFBE，则 2 4 3 2 3 2 1 xxxS 当ADBE 时，x取最小值为3时，3 4 3 S； 当BE与AB重合时，x取最大值为 2，3S； 33 4 3 S 【例 9】已知ABC 是等边三角形，点 D

8、是射线 BC 上的一个动点（点 D 不与点 B、C 重合） ，ADE 是以 AD 为边的等边三角形，过点 E 作 BC 的平行线，分别交射线 AB、AC 于点 F、G，连接 BE （1）如图 1 所示，当点 D 在线段 BC 上时， 试说明：AEBADC 探究四边形 BCGE 是怎样特殊的四边形，并说明理由 （2）如图 2 所示，当点 D 在 BC 的延长线上时，探究四边形 BCGE 是怎样特殊的四边 形，并说明理由 O B D A C E （3）在（2）的情况下，当点 D 运动到什么位置时，四边形 BCGE 是菱形？并说明理 由 图 1 图 2 【答案】（1）ABC和DEA都是等边三角形 A

9、CAB，ADAE ，60EADBAC BADEADBADBAC，即BAEDAC ACAB，BAEDAC，ADAE ，ADCABE； 四边形BCGE是平行四边形 ABC和DEA都是等边三角形，60BACACB ADCABE，60ACDABE BACABE，ACBE BCEG，四边形BCGE是平行四边形 （2）四边形BCGE是平行四边形方法同（1） （3）当点D运动到BCDC 时，四边形BCGE是菱形 与（1）一样可证：ADCABE，则CDBE 与（1）一样可证：四边形BCGE是平行四边形 当BEBC 时，四边形BCGE是菱形，此时CDBC 即当点D运动到BCDC 时，四边形BCGE是菱形 知识模

10、块：正方形知识模块：正方形 1、 定义：有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形. 2、 性质定理： （1）正方形的四条边相等，四个角都是直角. （2）正方形的对角线相等，并且互相垂直，每条对角线平分一组对角. 【例 10】如图所示:正方形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O,E 是 OB 延长线上一点，CE=BD， 求ECB 的度数. A B C D E F G A B C D G E Q F BC AD P E 【答案】15 提示：联结 AE. 【例 11】已知：Q 为正方形 ABCD 的 CD 边的中点，P 为 CD 上一点，且BAP=2QAD 求证：AP=PC+B

11、C 【答案】延长DC到E，使得CECD，连接AE交 BC 于 F CECD，CD=AB， CE=AB ECF=B，CFE=AFB ABFECF BF=CF，即 1 2 BFCB Q 为正方形 ABCD 的 CD 边的中点， 1 2 DQCDBC=CD，DQ=BF DQ=BF，B=D，AB=AD， ABFADQ， QAD=BAF， BAP =BAF+PAF，BAP = 2QAD，QAD=BAF，BAF=PAF ABCD，BAF=E， E=PAF， PE=AP PE=PC+CE，CE=BC， APBCCP 【例 12】如图所示:正方形 ABCD 的边长为 12，点 P 在 BC 上，BP=5，EF

12、AP,垂足为 Q，且 EF 与 AB、CD 分别相交于点 E、F，求 EF 的长度. 【答案】13 提示：过点 B 作 BG/EF. M A BC D 【习题 1】四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O 若=AB AD，则平行四边形ABCD是 形； 若=AC BD，则平行四边形ABCD是 形； 若90ABC，则平行四边形ABCD是 形； 若BAODAO ，则平行四边形ABCD是 形 【答案】菱形；矩形；矩形；菱形 【习题 2】已知矩形的两条对角线的一个夹角为 120，一条对角线与较短边的和为 18，则对角线的长 为 . 【答案】12 【习题 3】如图，在矩形 ABCD 中，AB8，BC4，将

13、矩形沿 AC 折叠，使点 D 落在点 D 处， CD 交 AB 于点 F，则重叠部分AFC 的面积为 _ 【答案】10 【习题 4】设菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，AOB 的周长为33，ABC=60，则菱 形的面积为 . 【答案】2 3 【习题 5】如图所示：点 M 是ABCD边 AD 的中点，且 MB=MC.求证：ABCD是矩形. 【答案】通过AMBDMC 可得： A=D=90,从而可证. 【习题 6】已知：四边形 ABCD 是菱形，AC、BD 是它的对角线，ABC=30. F C E D G A B 求证： 2 ABAC BD. 【答案】作 AEBC 根据面积相等即可

14、证. 【习题 7】如图，在菱形 ABCD 中，AC=4，BD=6，P 是 AC 上一动点(P 与 C 不重合)，PE/BC 交 AB 于点 E，PF/CD 交 AD 于点 F，连结 EF，求图中阴影部分的面积 【答案】6 【习题 8】如图所示：在梯形 ABCD 中，AD/BC,AB=CD,BC=2AD,2ADAB,DEBC，垂足为点 F，且点 F 是 DE 的中点，联结 AE，交边 BC 于点 G.求证：四边形 DGEC 是正方形. 【答案】联结 BE、AC 先证平行四边形然后菱形最后正方形. 【习题 9】已知：如图边长为a的正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O，E、F分 F E B C

15、A D P 别为DC、BC上的点，且=DE CF 求证： （1）EOFO （2）M、N分别在OE、OF延长线上，OMONa，四边形MONG与正方形ABCD 重合部分的面积等于 2 1 4 a 【答案】（1） =DE CF，OCDO ， OCFODE COFDOECOFDOE 90EOCDOE，90EOCCOF， 即EOFO； （2）COFDOE， COFDOE SS 四边形MONG与正方形ABCD重合部分的面积等于 2 4 1 4 1 aSSSSSS ABCDODCODEOECOCFOEC 四边形 【习题 10】如图所示：在正方形 ABCD 中，点 P 在 BD 上，PEBC，PFCD，垂足分别为点 E、F. 求证：AP=EF. 【答案】联结 CP,通过APDCPD,先证 CFPE 为矩形 然后即可证. O N M G F E D CB A