著名机构数学讲义春季12-七年级培优版-全等三角形的判定(二)-教师版
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1、教师姓名 学生姓名 年 级 初一 上课时间 学 科 数学 课题名称 知识模块:知识模块:全等模型全等模型 把一个图形经过平移、翻折、旋转后,它们的位置虽然变化了,但是形状、大小都没有改变,即平移、 翻折、旋转前后的图形全等. 我们把平移、翻折(轴对称) 、旋转称为几何变换. 1、常见平移模型 全等三角形的判定(二) 2、常见轴对称模型 3、 常见旋转模型: 【例 1】如图(1)所示,把ABC 沿直线 BC 移动线段 BC 那样长的距离可以变到ECD 的位置; 如图(2)所示,以 BC 为轴把ABC 翻折 180,可以变到DBC 的位置; 如图(3)所示,以点 A 为中心,把ABC 旋转 180
2、,可以变到AED 的位置,像这样,只改变图形 的位置, 而不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换. 在全等变换中可以清楚地识别全等三角形的对 应元素,以上的三种全等变换分别叫平移变换、翻折变换和旋转变换, 问题:如图(4) ,ABCDEF,B 和 E、C 和 F 是对应顶点,问通过怎样的全等变换可以使它们重 合,并指出它们相等的边和角 A B C D E (1) A B C D (2) A BC DE (3) A B C (4) D E F 【答案】先翻折变换再平移变换或先旋转变换再平移变换 【例 2】如图:A、E、F、C 四点在同一条直线上,AE=CF,过 E、F 分别作 BEAC、 DFA
3、C,且 AB=CD,ABCD试说明:BD 平分 EF 【答案】ABCD,A=C A B C D E F G 在AGB 和CGD 中, AC AGBCGD ABCD AGBCGD(AAS), BG=DG BEAC,DFAC, BEG=DFG=90 在BGE 和DGF 中, BGEDGF BEGDGF BGDG BGEDGF(A.A.S), GE=GF, 即 BD 平分 EF 【例 3】在正 ABC 中,P 为 ABC 内一点,将 ABP 绕 A 点按逆时针方向旋转 600,使得 AB 与 AC 重 合.经过这样旋转变化,将图(11a)中的 PA、PB、PC 三条线段集中于(11b)中的一个 PC
4、P 中,此时 PAP 为 三角形 . 【例 5】在正方形 ABCD 中,P 为正方形 ABCD 内一点,将 ABP 绕 B 点按顺时针方向旋转 900,使得 BA 与 BC 重合.经过旋转变化,将图(21a)中的 PA、PB、PC 三条线段集中于图(21b)中的 CPP中,此时 BPP为 三角形. ? (3)等腰直角三角形类型 在等腰直角三角形 ABC 中,C=90, P 为 ABC 内一点,将 APC 绕 C 点按逆时针方向旋转 900,使得 AC 与 BC 重合.经过这样旋转变化,在图(31b)中的一个 PCP 为 三 角形. 【答案】(1)等边(2)等腰直角(3)等腰直角 【例 4】如图
5、 1,ABD 和AEC 中,AB=AD=BD,AE=EC=AC,连接 BE、CD (1)请判断:线段 BE 与 CD 的大小关系是_; (2)观察图 2,当ABD 和AEC 分别绕点 A 旋转时,BE、CD 之间的大小关系是 否会改变; (3)观察图 3 和图 4,若四边形 ABCD、DEFG 都是正方形,猜想类似的结论是_, 在图 4 中证明你的猜想; (4)这些结论可否推广到任意正多边形(不必证明),如图 5,BB1与 EE1的关系 是_;它们分别在哪两个全等三角形_;请在图 6 中标出较小的 正六边形 AB1C1D1E1F1的另五个顶点,连接图中哪两个顶点,能构造出两个全等三 角形? 【
6、答案】(1)BE CD ;(2)不变;(3)AE CG ; (4) 11 BBEE , 11 ABBAEE和 ,连接 FF1,可证 11 ABBAFF 知识模块:知识模块:添加辅助线构造三角形全等添加辅助线构造三角形全等 1、 倍长中线法;构造全等 证明线段相等 证明线段不等 证明线段倍分 证明线段垂直 计算角度大小 A B C D E 图 1 A B C D E 图 2 A B C D E F G A B C D E F G 图 4 图 3 A B C D E B1 E1 A B C D E F 图 6 图 5 D C A B 3 1 2 F G DE C A B 2、 添加平行线构造全等三
7、角形; 3、 截长补短构造全等的三角形; 【例 6】已知:如图,ABC 中,AB=4,AC=6,AD 为 BC 边上的中线, 求 AD 的取值范围? 【答案】延长 AD 到 E,使 DE=AD,连接 BE D 是 BC 的中点, BD = CD 在ADC 与EDB 中, ADDE ADCBDE BDCD ADCEDB, 6BEAC 在ABE 中,AB=4,6BE BEABAEBEAB, 210AE15AD 【例 7】在ABC 中,ABAC,E 为 BC 边中点,AD 为BAC 的角平分线,过 E 作 AD 的平行线,交 AB 于 F,交 CA 的延长线于 G,求证:BF=CG 【答案】延长 G
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