著名机构数学讲义春季14-七年级基础版-等边三角形-教师版

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1、教师姓名 学生姓名 年 级 初一 上课时间 学 科 数学 课题名称 等边三角形 等边三角形 定 义 示例剖析 等边三角形的定义：三条边都相等的三角 形叫做等边三角形 如图ABC 中，ABACBC，则ABC 是等边三角 形. 等边三角形的性质： 三边都相等，三个内角都相等，并且每一 个角都等于60 如图，ABC是等边三角形，则 60ABACBCABC ， 等边三角形的判定： 三条边都相等的三角形是等边三角形 三个角都相等的三角形是等边三角形 有一个角是60的等腰三角形是等边三 角形 若ABACBC，则ABC是等边三角形 若ABC ，则ABC是等边三角形 若60ABACA ，（或60B，或60C）

2、 ， 则ABC是等边三角形 【例 1】（1）等腰三角形的一个外角等于 120，则它是 三角形； （2）等边三角形是轴对称图形，它有_条对称轴，分别是_ 【答案】（1）等边三角形；（2）三，三边的垂直平分线 【例 2】（1）已知 AD 是等边ABC 的高，BE 是 AC 边的中线，AD 与 BE 交于点 F， 则AFE=_； （2）ABC 是等边三角形，ADBC，CDAD，则ACD = 【答案】（1）60；（2）30 【例 3】已知ABC 是等边三角形，点 D 在 AC 上，点 E 在 AB 上，BD 与 CE 相交于点 F， BC A BC A BC A A C D B F E 且 BF=CF

3、，说明ADE 是等边三角形 【答案】BFCF，FBCFCB 60 () ABCABACABCACBA ABDACEABDACE ASA 为等边三角形， ， AEADADE，是等边三角形 【例 4】如图所示，在ABC 中，AB=AC，ADB 和ACE 都是等边三角形， 且DAE=DBC，求BAC 的度数 【答案】20 【例 5】已知，如图，AB = AC，BDAC 于 D，求证：BAC = 2DBC 【提示】作顶角的平分线，底边中线，底边高线 【答案】方法一：作BAC 的平分线 AE，交 BC 于 E，则1 = 2 = 1 2 BAC 又AB = AC AEBC 2ACB = 90 BDAC D

4、BCACB = 90 2 = DBC BAC = 2DBC 方法二：过 A 作 AEBC 于 E（过程略） 方法三：取 BC 中点 E，连结 AE（过程略） 【例 6】已知，如图，ABC 中，AB = AC，D 为 BC 中点，DEAB 于 E，DFAC 于 F， 求证：DE = DF 【提示】有底边中点时，常作底边中线 A B C D E F A B C D E 21 E D CB A 【答案】连结 AD. D 为 BC 中点， BD = CD 又AB =AC AD 平分BAC DEAB，DFAC DE = DF 【例 7】已知，如图，ABC 中，AB = AC，在 BA 延长线和 AC 上

5、各取一点 E、F，使 AE = AF，求证： EFBC 【提示】将腰延长一倍，构造直角三角形解题 【答案】延长 BE 到 N，使 AN = AB,连结 CN,则 AB = AN = AC B = ACB, ACN = ANC BACBACNANC = 180 2BCA2ACN = 180 BCAACN = 90 即BCN = 90 NCBC AE = AF AEF = AFE 又BAC = AEF AFE BAC = ACN ANC BAC =2AEF = 2ANC AEF = ANC EFNC EFBC 【例 8】已知，如图，在ABC 中，AB = AC，D 在 AB 上，E 在 AC 延长

6、线上，且 BD = CE，连结 DE 交 BC 于 F，求证：DF = EF 【提示】过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线 【答案】法一：过 D 作 DNAE，交 BC 于 N，则DNB = ACB，NDE = E， F E N CB A F E D CB A AB = AC， B = ACB B =DNB BD = DN 又BD = CE DN = EC 在DNF 和ECF 中 1 = 2 NDF =E DN = EC DNF ECF（AAS） DF = EF 证法二：过 E 作 EMAB 交 BC 延长线于 M，则EMB =B（过程略） 【例 9】已知，如图，ABC 中，AB =AC，E

7、在 AC 上，D 在 BA 延长线上，且 AD = AE，连结 DE， 求证：DEBC 【提示】过一腰上的某一已知点做底的平行线 【答案】法一：过点 E 作 EFBC 交 AB 于 F，则 AFE =B AEF =C AB = AC B =C AFE =AEF AD = AE AED =ADE 又AFEAEFAEDADE = 180 2AEF2AED = 90 即FED = 90 DEFE 又EFBC D NF E C B A 2 1 M D F E C B A 2 1 M ND E CB A D F E CB A DEBC 法二：过点 D 作 DNBC 交 CA 的延长线于 N（过程略） 法

8、三：过点 A 作 AMBC 交 DE 于 M（过程略） 【例 10】已知，如图，ABC 中，AB = AC，BAC = 80，P 为形内一点，若PBC = 10，PCB = 30，求PAB 的度数. 【提示】将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形等边三角形 【答案】法一：以 AB 为一边作等边三角形 ABE，连结 CE 则BAE =ABE = 60 AE = AB = BE AB = AC AE = AC AEC =ACE EAC =BACBAE = 8060=20 ACE = 1 2 (180EAC)= 80 ACB= 1 2 (180BAC)= 50 BCE =ACEACB = 8050=30

9、 PCB = 30 PCB = BCE ABC =ACB = 50，ABE = 60 EBC =ABEABC = 6050=10 PBC = 10 PBC = EBC PBC = EBC BC = BC PCB = BCE PBC EBC（ASA） BP = BE E P C B A AB = BE AB = BP BAP =BPA ABP =ABCPBC = 5010= 40 PAB = 1 2 (180ABP)= 70 法二：以 AC 为一边作等边三角形，证法同一 法三：以 BC 为一边作等边三角形BCE，连结 AE,则 EB = EC = BC，BEC =EBC = 60 EB = EC

10、 E 在 BC 的中垂线上 同理 A 在 BC 的中垂线上 EA 所在的直线是 BC 的中垂线 EABC AEB = 1 2 BEC = 30=PCB 易知：ABC = 50 ABE = EBCABC = 10=PBC ABE =PBC，BE = BC，AEB =PCB ABE PBC（ASA） AB = BP BAP =BPA ABP =ABCPBC = 5010= 40 PAB = 1 2 (180ABP) = 1 2 (18040)= 70 【习题 1】下列说法中错误的是（ ） A等边三角形是等腰三角形 B等边三角形是锐角三角形 C等边三角形的高、中线、角平分线共有 3 条 E P C

11、B A D含有 60角的三角形是等边三角形 【答案】D 【习题 2】如图，ABC是等边三角形，90CBDBDBC，则 1 的度数是_ 【答案】75 【习题 3】如图，在等边三角形 ABC 中，点 D、E、F 分别是边 AB、BC、CA 上的动点， 且 AD=BE=CF，说明DEF 是等边三角形的理由 【答案】60ABCABCABBCAC 是等边三角形， ADBECFBDCEAF， ADFBED在和中，() ADBE ABADFBED SAS AFBD ， DFDEDEEF， 同理可证：，DEDFEFDEF，是等边三角形 【习题 4】（1）如图所示，已知：ABC 是等边三角形，M、N 分别是边

12、BC、AC 的中点， AM、BN 相交于点 P，求BPM 的大小； （2）如果点 M、N 分别在 BC、AC 的延长线上，且 BM=CNBPM 的大小会发生变 化吗? 【答案】（1）60；（2）不会 （1）ABC为等边三角形，60ABC 90 MBCAMBC PMB 是的中点， NACBNABC是的中点，平分， A B C N P M A B C P M N A B C D E F 3 2 1 A B C D 30MBP ，180180903060BPMPMBMBP （2）ABC是等边三角形，60BACACBACBCAB ， 120BANACM ，BMCNANCM， ()ABNCAM SAS

13、， NM 60BPMNPANMCAMACB ， 故BPM 的大小会不会发生变化 【习题 5】CAB 与CDE 是有公共顶点 C 的两个等边三角形，CDE 绕点 C 顺时针旋转 至以下各位置： （1） 当 E 在 BC 下方时，说明 AD=BE； （2） 当 E 在 BC 边上如图 2、当 E 在ABC 内如图 3、当 E 在 AC 边上如图 4， 当 CEAB 时，如图 5，AD=BE 还成立吗?请一一说明理由 A B C D E 图 1 A B C D E 图 2 A A E C E A B D 图 3 【答案】（1）ABC是等边三角形， 60ACBCACB， 60 60() . CDECD

14、CEDCE BCEBCDACDBCEACD SAS ADBE 是等边三角形， ， （3） 成立方法同（1） ，可证ACDBCE ，所以ADBE 【习题 6】如图，已知在等边三角形 ABC 中，D 是 AC 的中点，E 为 BC 延长线上一点，且 CECD， DMBC，垂足为 M求证：M 是 BE 的中点 【答案】 BD连接 60 11 6030 22 30 ABCACBABC DACDBCABC CECDCDEE ACBCDEEEDBCEBDED 为等边三角形， 是边的中点， ， ， DMBCMBE，是的中点 【习题 7】如图，在等腰ABC 中，AB=AC，A=200，在边 AB 上取点 D，使 AD=BC，求BDC 的度 数 A B C D E M B C A D E 【答案】30 ACABCACEDE以为一边在外侧作正三角形，连接 2080 60 80 80() 8020, 40 ABACAABC ACEACAECEEAC EADABACACAECEABAE ABAE ABCEADABCEADABCEAD SAS BCAD ACBEDABACAEDEDAC DECDEECEDC ， 是等边三角形， ， 在和中， ， ，70 180180807030 ECD BDCADEEDC