著名机构讲义春季13-八年级培优版-平面向量及概率-教师版

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1、教师姓名 学生姓名 年 级 初二 上课时间 学 科 数学 课题名称 平面向量及概率 知识模块：平面向量知识模块：平面向量 1. .向量的概念向量的概念 既有大小又有方向的量叫做向量 向量的大小也叫做向量的长度 （或向量的模） 2. .向量的运算法则向量的运算法则 （1）向量的加法满足交换律：向量的加法满足交换律：abba 平面向量及概率 （2）向量的加法满足结合律：向量的加法满足结合律：()()abcabc （3）向量的减法定律：向量的减法定律： ()abab 【例 1】 （2018 宝山一模 3）已知a、b为非零向量，下列判断错误的是（ ） A如果2ab，那么ab； B如果| |ab，那么a

2、b或ab ； C0的方向不确定，大小为 0； D如果e为单位向量且2ae，那么向量| 2a . 【答案】B 【例 2】 （2018 年黄浦一模 5）如图，向量OA与OC均为单位向量，且OAOB，令nOAOB，则|n =（ ） （A）1； （B）2； （C）3； （D）2. 【答案】B 【例 3】 （2018 年嘉定一模 5） 已知矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O， 如果BCa=，DCb=， 那么BO等于() （A） 1 () 2 ab-； （B） 1 () 2 a b+； （C） 1 () 2 ba-； （D）ab- 【答案】A 【例 4】 （2018 年青浦一模 14） 如图 4，在

3、ABC 中，点 D 是边 AB 的中点如果CAa，CDb， 那么CB （结果用含a、b的式子表示） 【答案】2 ba 【例 5】 （2018 年徐汇一模 8）计算： 3 245abab= . 【答案】7ab 【例 6】 （2018 年崇明贤一模 20） 如图， 在ABC中， BE 平分ABC交 AC 于点 E， 过点 E 作EDBC 交 AB 于点 D，已知5AD ，4BD （第5题） B A O D C BA 图4 （1）求 BC 的长度； （2）如果ADa，AEb，那么请用a、b表示向量CB 【答案】 （1）BE平分ABC ABECBE EDBC DEBCBE ABEDEB 2 分 4BD

4、DE EDBC DEAD BCAB 1 分 又5AD，4BD 9AB 45 9BC 36 5 BC 2 分 （2）EDBC 5 = 9 DEAD BCAB 9 5 BCDE 1 分 又ED与CB同向 9 5 CBED 1 分 ADa，AEb EDa b 1 分 99 55 CBab 2 分 【例 7】 （2018 年浦东一模 20）如图，已知ABC 中，点 D、E 分别在边 AB 和 AC 上，DEBC， 且 DE 经过ABC 的重心，设BCa （1）DE （用向量a表示） ； （2）设ABb，在图中求作 1 2 ba （不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量 ） A B C D E （

5、第20题图） （第20题图） A B C D E （第20题图） A B C D E F 【答案】 （1）DE 2 3 a（5 分） （2）图正确得 4 分， 结论：AF就是所要求作的向量 （1 分） 【例 8】 （2018 年奉贤一模 20）已知：如图 5，在平行四边形ABCD中，2AD，点E是边BC的中点， AEBD、相交于点F，过点F作FGBC，交边DC于 点G。 （1）求FG的长； （2） 设ADa，=DC b， 用a、b的线性组合表示AF。 【答案】 （1）ADBC，E为BC的中点 1 2 BEBF ADDF = FGBC 2 3 DFFG DBBC = 又2AD=, 2 23 FG

6、 = 即 4 3 FG = （2）由（1）可得 2 3 AFAE= ()AEABBE=+ ADa=，DCb= ABa=， 1 2 BEb= 2112 () 3233 AFbaab=+=+ 知识模块：概率知识模块：概率 1、一般说来，如果一次试验中共有n种等可能出现的结果，其中事件A包含的结果有k种，那么事件A 的概率( )= k P A n 事件A包含的可能结果数 所有的可能结果总数 2、不可能事件必定不发生，规定用“0”作为不可能事件的概率；而必然事件必定发生，就规定用“1” 作为必然事件的概率这样随机事件的概率，就是大于 0 且小于 1 的一个数，通常可以写成纯小数、百 分数或真分数 由于

7、任何事件A发生的次数k总不能大于试验的次数n，因此随机事件的概率( )P A满 足 0( )1P A 3、概率越大，表明事件发生的可能性越大；概率越小，表明事件发生的可能性越小人们通常对随机 事件进行大量的反复试验来研究概率，一般地，次数大的试验，事件发生的频率才接近概率 【例 9】抛掷两枚分别标有 1,2,3,4 的四面体骰子，写出这个实验中的一个随机事件 是_；写出这个实验中的一个必然事件是_ 【答案】随机事件：一枚骰子 4 朝上，一枚骰子 3 朝上； 必然事件：任意两个骰子面朝上的数字和不小于 2 【例 10】在某个电视节目中，曾有一种竞猜游戏，游戏规则是：在 20 个商标牌中，有 5

8、个 商标牌的背面注明了一定的奖金，其余商标牌的背面是一张“哭脸” ，若翻到“哭脸”就不获奖， 参与这个游戏的观众有 3 次翻牌的机会，且翻过的牌不能再翻，有一位观众已经翻牌两次，一次获 奖、一次不获奖，那么这位观众第三次翻牌获奖的概率是_ 【答案】 2 9 【例 11】甲乙两同学设计了这样一个游戏：把三个完全一样的小球分别标上数字 1、2、3 后，放在一个不透明的口袋里，甲同学先随意摸出一个球，记住球上标注的数字，然后让乙同学抛 掷一个质地均匀的、各面分别标有数字 1、2、3、4、5、6 的正方体骰子，又得到另一个数字，再 把两个数字相加若两人的数字之和小于 7，则甲获胜；否则，乙获胜 （1）

9、请你用画树状图或列表法把两人所得的数字之和的所有结果都列举出来 （2）这个游戏公平吗?如果公平，请说明理由；如果不公平，请你加以改进，使游戏变得公平 【答案】（1）不公平；（2）两人的数字和小于 6 甲胜，否则乙胜 【例 12】某学校七年级数学兴趣小组组织一次教学活动在一座有三道环形路的数字迷宫 的每个进口处都标记着一个数，要求进入者把自己当做数“1” ，进入时必须乘进口处的数，并将结 果带到下一个进口，依次累乘下去，再通过最后一个进口时，只有乘积是 5 的倍数，才可以进入迷 宫中心，现让一名 5 岁小朋友小军从最外环任一个进口进入 （1）小军能进入迷宫中心的概率是多少?请画出树状图进行说明

10、（2）小组两位组员小张和小李商量做一个游戏，以猜测小军进迷宫的结果比胜负游戏规则规定： 小军如果能进入迷宫中心，小张和小李各得一分；小军如果不能进入迷宫中心，则他在最后一 个进口处所得乘积是奇数时，小张得 3 分，所得乘积是偶数时，小李得 3 分，你认为这个游戏 公平吗?如果公平，请说明理由；如果不公平，请在第二道环进口处的两个数中改变其中一个 数使游戏公平 （3）在（2）的游戏规则下，让小军从最外环进口任意进入 10 次，最终小张和小李的总得分之和不 超过 28 分，请问小军至少几次进入迷宫中心? 【答案】（1） 1 3 ；（2）不公平，可以将第二环道上的 4 改成任一奇数； （1）2 次

11、【例 13】如图所示，边长为 25 厘米的正方形里面挖去边长为 23 厘米的两个等腰直角三 角形，现有均匀的粒子散落在正方形中，问粒子落在中间带形区域的概率是多少? 【答案】 2 2 1 232 96 2 1 25625 p 【习题 1】下列事件中，属于确定事件的个数是（ ） 打开电视，正在播广告； 投掷一枚普通的骰子，掷得的点数小于 10； 射击运动员射击一次，命中 10 环； 在一个只装有红球的袋中摸出白球 A、0； B、1； C、2； D、3 【答案】C 【习题 2】甲、乙两人各自投掷一个普通的正方体骰子，如果两者之积为奇数，那么甲得 1 分；如果两 者之积为偶数，那么乙得 1 分，连续

12、投掷 20 次，谁得分高，谁就获胜请你用掌握的数学知识分析， 谁获胜的可能性大？（ ） A、甲； B、乙； C、甲、乙一样； D、不能确定 【答案】B 【习题 3】如图，一飞镖游戏板,其中每个小正方形的大小相等，则随意投掷一个飞镖，击中黑色区域 的概率是（ ） A、； B、； C、； D、 【答案】B 【习题 4】 （2018 年奉贤一模 4）设n为正整数，a为非零向量，那么下列说法不正确的是（ ） （A）na表示n个a相乘； （B）na表示n个a相加； （C）na与a是平行向量； （D）na与na互为相反向量。 【答案】A 【习题 5】 （2018 年静安一模 1）下列判断错误的是 （ ）

13、（A）如果0k或0 a，那么0 ak； （B）设m为实数，则bmambam ； （C）如果ea /，那么eaa ； （D）在平行四边形ABCD中，BDABAD. 【答案】C 【习题 6】布袋中有两个红球和两个白球，它们除颜色外其它都相同，从布袋中一次摸出两个球，事件 “一次摸出的两个球都是白球”的概率是_ _ 【答案】 1 6 【习题 7】 （2018 年宝山一模 10）计算： 13 45 22 abb_ 【答案】2ab 【习题 8】 （2018 年虹口一模 4）已知a=3，b=5，且b与a的方向相反，用a表示向量b为（ ） A 3 5 ba； B 5 3 ba； C 3 5 ba ； D 5

14、 3 ba 【答案】D 【习题 9】 （2018 年虹口一模 9）如果2()axbx，那么x （用向量、a b表示向量x） 2 1 8 3 4 1 3 1 【答案】2ab 【习题 10】 （2018 年徐汇一模 12）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，若 ABa，BCb，则OD用a、b可表示为 . 【答案】 11 22 ab 【习题 11】已知在梯形ABCD中，/ /ADBC()ADBC，M是BC的中点，联结AM和 DM画出图形，并写出所有与AD平行的向量 【答案】图形如图所示， 与AD平行的向量有BC BM MC CB MBCMDA， 【习题 12】如图，已知ABCD

15、中，设ABa，ADb，试用a、b表示下列向量： （1）CB； （2）AC； （3）ABBD； （4）BDCB； （5）求作向量：BDDCABCB； （6）求作向量：DCOAADCB 【答案】 （1）CBb ； （2）ACab； （3）ABBDb； （4）BDCBCBBDCDBAa ； （5）BDDCABCBBCABCBABa； （6）DCOAADCBOB 【习题 13】如图，已知a，b，c，求作：acb 第12题 O D CB A O O D D C C B B A A c c b b a a 【答案】 ，d为所求 【习题 14】在 33 的方格纸中，点 A、B、C、D、E、F 分别位于如图所示的小正方形的顶点上 （1）从 A、D、E、F 四个点中任意取一点，以所取的这一点及点 B、C 为顶点画三角形，则所画三角 形是等腰三角形的概率是 ； （2）从 A、D、E、F 四个点中先后任意取两个不同的点，以所取的这两点及点 B、C 为顶点画四边形， 求所画四边形是平行四边形的概率（用树状图或列表法求解） 【答案】 （1） 1 4 ； （2） 1 3