著名机构讲义春季18-八年级培优版-四边形的存在性-教师版
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1、教师姓名 学生姓名 年 级 初二 上课时间 学 科 数学 课题名称 四边形的存在性 知识模块:知识模块:平行四边形的存在性平行四边形的存在性 平行四边形的问题是近几年来考试的热点,考察学生的分类讨论的思想常见的题型是在平面直角坐标 系中已知三点和第四点构成平行四边形,求第四点;或者已知两点,另外两点在某函数图像上,四点构 成平行四边形;利用两点间的距离公式和平移的思想,结合题目中的条件构造等量关系 【例 1】如图 1,在平面直角坐标系中,点 A 的坐标为(4,4) ,点 B 的坐标为(0,2) (1)求直线 AB 的解析式; 四边形的存在性 (2)以点 A 为直角顶点作CAD=90,射线 AC
2、 交 x 轴的负半轴于点 C,射线 AD 交 y 轴的负半 轴于点 D当CAD 绕着点 A 旋转时,OCOD 的值是否发生变化?若不变,求出它的值;若变化, 求出它的变化范围; (3)如图 2,点 M(4,0)是 x 轴上的一个点,点 P 是坐标平面内一点若 A、B、M、P 四点 能构成平行四边形,请写出满足条件的所有点 P 的坐标(不要解题过程) 【答案】 (1)设直线 AB 的解析式为:y=kx+b(k0) 点 A(4,4) ,点 B(0,2)在直线 AB 上, 44 2 kb b ,解得 1 2 2 k b , 直线 AB 的解析式为: 1 2 2 yx ; (2)不变理由如下: 过点
3、A 分别作 x 轴、y 轴的垂线,垂足分别为 E、F,如图 1 则AEC=AFD=90,又BOC=90,AEF=90,DAE+DAF=90, CAD=90,DAE+CAE=90,CAE=DAF A(4,4) ,OE=AF=AE=OF=4 在AEC 和AFD 中 AECAFD AEAF CAEDAF AECAFD(ASA) ,EC=FD OCOD=(OE+EC)(FDOF)=OE+OF=8 故 OCOD 的值不发生变化,值为 8; (3)A(4,4) ,B(0,2) ,M(4,0) , AM=4,BM= 22 422 5,AB= 22 4422 5, x A 图 4 C B O y 当 AM 为
4、对角线时,连接 BP 交 AM 于点 H,连接 PA、PM,如图 2, 四边形 ABMP 为平行四边形,且 AB=BM, 四边形 ABMP 为菱形, PBAM,且 AH=HM,PH=HB, P 点坐标为(8,2) ; 当 BM 为对角线时, AMx 轴,BC 在 y 轴的负半轴上, 四边形 ABPM 为平行四边形, BP=AM=4,P 点坐标为(0,2) ; 当 AB 为对角线时,同可求得 P 点坐标为(0,6) ; 综上可知满足条件的所有点 P 的坐标为(0,6) 、 (0,2)和(8,2) 【例 2】如图 4,在平面直角坐标系xOy中,直线2 xy与x轴、y轴分别相交于点 A 和点 B,
5、点 C 在y轴的正半轴上,且 OC=2OB (1)求线段 BC 的长度; (2)如果点 D 在直线 AB 上,且以 B、C、D、E 为顶点的四边形 为菱形,请直接写出点 E 的坐标 【答案】(1)直线2 xy与x轴、y轴分别相 交于点A和点B, 点A(2,0) ,点B(0,-2) OB=2 OC=2OB,OC=4,点C(0,4) BC的长度是6 (2)根据题意,当以 B、C、D、E 为顶点的四边形为菱形时,点 E 的坐标可以是: (-3,1) , (6,-2) , (23,423) , (23-,423-) 【例3】已知:如图,四边形ABCD是菱形,B是锐角,AFBC于点F, CHAD于点H,
6、 在AB边上 取点E,使得AEAH,在CD边上取点G,使得CGCF联结EF、FG、GH、HE (1)求证:四边形 EFGH 是矩形; (2)当B 为多少度时,四边形 EFGH 是正方形并证明 A B C D E F G H O 【答案】(1),BD FH如图,连结 , , , , (), , , ABCD ADBCBADBCDABCADC AFBC CHADAFAD CHBC AFCHAHCFAECG AEHFCG SASEHFG EFHGEFGH BEBF AEAHAEHAHEBEFBFE AEHAHEBEFBFEABC 四边形是菱形 四边形为矩形, 同理可证:四边形是平行四边形 360 ,
7、BAD ,180 , 90 ,90 , ADBCABCBAD BEFAEHFEH EFGH 四边形是平行四边形. (2)45,;BEFGH当等于度时四边形是正方形 , , 180 ,180 , , ,45, , 18045135 2 AC ABCDABBCBACACB AECFBEBFBEFBFE BACACBABCBEFBFEABC BACBEFEFACEFHFOC EFGHEFHFOC AFCHOFOC OFCOCF 连接与FH相交于点 菱形 正方形 四边形是矩形 2 135 ,135 , 2 ,180 ,45 , 45 ABCDABCDOCFOCDBCD ABCDABCBCDABC BE
8、FGH , 菱形, 等于度时,四边形是正方形 【例 4】如图,在平面直角坐标系中,直线 1 6 2 yx 与 y 轴交于点 A,与直线 1 2 yx相 交于点 B,点 C 是线段 OB 上的点,且AOC 的面积为 12 (1)求直线 AC 的表达式; (2)设点 P 为直线 AC 上的一点,在平面内是否存在点 Q,使四边形 OAPQ 为菱形, 若存在,求点 Q 的坐标,若不存在,请说明理由 【答案】(1),ACykxb设解析式为 A B x y C 1 6,(0,6), 2 1 6 6 2 13 2 1 (6,3), 2 1 12,612,4, 2 4,2,(4,2), 61 246 6; A
9、OCcc yxA yx x y yx BOByx Sxx xyC bk kbb yx 点坐标为 , 点坐标为解析式为 当时点坐标为 , (2)存在; 6, , 6,(6,0), ,45 ,6 2, 2,6 26,(3 2,63 2), (3 2, 3 2), OAPQOAAPPQQO PA ACyxE AOOEAEOOAEAE OAAPPEP Q 当四边形为菱形时, 若 在 点右侧 为 , ,45 , 6,( 3 2,3 2). PA OQAPAOQOAP OQQ 若 在 点左侧 当 AO 时对角线时,P(3,3)Q(-3,3) , 综上当四边形 OAPQ 是菱形时, (3 2, 3 2)(
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