2020高考数学(文)专项复习《三角函数与解三角形》含答案解析
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1、三角函三角函数与解三角形数与解三角形 三角函数是一种重要的基本初等函数, 它是描述周期现象的一个重要函数模型, 可以加 深对函数的概念和性质的理解和运用其主要内容包括:三角函数的概念、三角变换、三角 函数、解三角形等四部分 在掌握同角三角函数的基本关系式、 诱导公式、 两角和与两角差、 二倍角的正弦、 余弦、 正切公式的基础上,能进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明;理解并能正确解决 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质问题;运用三角公式和正弦定理、余弦定理解 斜三角形重点考查相关的数学思想方法,如方程的思想、数形结合、换元法等 3 31 1 三角函数的概念三角函数的概念 【知识要点
2、】【知识要点】 1角扩充到任意角:通过旋转和弧度制使得三角函数成为以实数为自变量的函数 2弧度 rad 以及度与弧度的互化: 3 .57) 180 (rad1 , 180; r l 3三角函数的定义:在平面直角坐标系中,任意角的顶点在原点,始边在x轴正半 轴上,终边上任意一点P(x,y),OPr(r0),则;cos;sin r x r y x y tan 4三角函数的定义域与值域: 函数 定义域 值域 ysinx R R 1,1 ycosx R R 1,1 ytanx , 2 |Z kkxx R R 5三角函数线:正弦线MP,余弦线OM,正切线AT 6同角三角函数基本关系式: cos sin
3、tan, 1cossin 22 7诱导公式:任意角的三角函数与角 2 ,等的三角函数之间的关系, 可以统一为“k 2 ”形式,记忆规律为“将看作锐角,符号看象限,(函数名)奇变 偶不变” 【复习要求】【复习要求】 1会用弧度表示角的大小,能进行弧度制与角度制的互化;会表示终边相同的角;会 象限角的表示方法 2根据三角函数定义,熟练掌握三角函数在各个象限中的符号,牢记特殊角的三角函 数值, 3会根据三角函数定义,求任意角的三个三角函数值 4理解并熟练掌握同角三角函数关系式和诱导公式 【例题分析】【例题分析】 例例 1 1 (1)已知角的终边经过点A(1,2),求 sin,cos,tan的值; (
4、2)设角的终边上一点),3(yP ,且 13 12 sin,求y的值和 tan 解:解:(1)5| OAr, 所以. 2tan, 5 5 cos, 5 52 5 2 sin x y r x r y (2), 13 12 3 sin,3| 2 2 y y yOPr 得 13 12 3 0 2 2 y y y ,解得. 32 3 6 tan, 6 x y y 【评析】【评析】 利用三角函数的定义求某一角三角函数值应熟练掌握, 同时应关注其中变量的 符号 例例 2 2 (1)判断下列各式的符号: sin330cos(260)tan225 sin(3)cos4 (2)已知 cos0 且 tan0,那么
5、角是( ) A第一象限角 B第二象限角 C第三象限角 D第四象限角 (3)已知是第二象限角,求角 2 , 2 的终边所处的位置 解:解:如图 311,图 312 (1)330是第四象限角,sin3300;260是第二象限角,cos(260)0; 225是第三象限角,tan2250;所以 sin330cos(260)tan2250. 3 是第三象限角,sin(3)0;5 是第四象限角,cos50,所以 sin(3)cos5 0 或:3357.3171.9,为第三象限角;5557.3286.5,是第四 象限角 【评析】【评析】 角的终边所处的象限可以通过在坐标系中逆时针、 顺时针两个方向旋转进行判
6、 断,图 311,图 312 两个坐标系应予以重视 (2)cos0,所以角终边在第二或第三象限或在x轴负半轴上 tan0,所以角 终边在第二或第四象限中,所以角终边在第二象限中,选 B. 【评析】【评析】角的终边在各个象限中时角的函数值的符号应熟练掌握, (3)分析: 容易误认为 2 是第一象限角, 其错误原因为认为第二象限角的范围是), 2 ( 是第二象限角, 所以 2k 2 2k, (kZ Z), 所以, 2 2 4 kk)(Zk 如下图 313,可得 2 是第一象限或第三象限角,又 4k24k2,2是第三 象限或第四象限角或终边落在y轴负半轴的角 【评析】【评析】处理角的象限问题常用方法
7、 (1)利用旋转成角,结合图 311,图 312,从角度制和弧度制两个角度处理; (2)遇到弧度制问题也可以由) 180 (rad157.3化为角度处理; (3)在考虑角的终边位置时,应注意考虑终边在坐标轴上的情况 (4)对于象限角和轴上角的表示方法应很熟练 如第一象限角:)( , 2 22Zkkk,注意防止 2 0的错误写法 例例 3 3 (1)已知 tan3,且为第三象限角,求 sin,cos的值; (2)已知 3 1 cos,求 sintan的值; (3)已知 tan2,求值: cossin cossin2 ;sin 2sincos 解:解:(1)因为为第三象限角,所以 sin0,cos
8、0 1cossin 3 cos sin 22 ,得到. 10 10 cos 10 103 sin (2)因为0 3 1 cos,且不等于1,所以为第二或第三象限角, 当为第二象限角时,sin0, ,22 cos sin tan, 3 22 cos1sin 2 所以 3 24 tansin 当为第三象限角时,sin0, ,22 cos sin tan, 3 22 cos1sin 2 所以 3 24 tansin 综上所述:当为第二象限角时, 3 24 tansin,当为第三象限角时, 3 24 tansin 【评析】【评析】已知一个角的某一个三角函数值,求其余的三角函数值的步骤: (1)先定所给
9、角的范围:根据所给角的函数值的符号进行判断 (2)利用同角三角函数的基本关系式,求其余的三角函数值(注意所求函数值的符号) (3)当角的范围不确定时,应对角的范围进行分类讨论 (3)(法一):因为 tan2,所以.cos2sin, 2 cos sin 原式1 cos3 cos3 coscos2 coscos4 , 原式(2cos) 2(2cos)cos2cos2, 因为 1cossin cos2sin 22 ,得到 5 1 cos2,所以 5 2 cossinsin 2 (法二):原式, 1 12 14 1tan 1tan2 1 cos sin 1 cos sin 2 原式 5 2 14 24
10、 1tan tantan cossin cossinsin 2 2 22 2 【评析】【评析】已知一个角的正切值,求含正弦、余弦的齐次式的值: (1)可以利用 cos sin tan将切化弦,使得问题得以解决; (2)1 的灵活运用,也可以利用 sin 2cos21, cos sin tan,将弦化为切 例例 4 4 求值: (1)tan2010_; (2) 6 19 sin( _; (3) ) 2 cos()3sin() 2 3 sin( )cos()2sin( 解 :解 : (1)tan2010 tan(1800 210 ) tan210 tan(180 30 ) 3 3 30tan (2
11、) 2 1 6 sin) 6 sin() 6 3sin( 6 19 sin) 6 19 sin( 或: 2 1 6 sin) 6 sin() 6 3sin() 6 19 sin( 【评析】【评析】 “将看做锐角,符号看象限,(函数名)奇变偶不变” , 6 2 2 6 , 可以看出是 2 的2 倍(偶数倍), 借助图 312 看出 6 为第二象限角, 正弦值为正 (3)原式 ) 2 cos()sin() 2 (sin )cos(sin sin 1 sincos cos sinsin) 2 sin( cossin 【分析】【分析】 2 3 2 3 ,将看做锐角,借助图 312 看出 2 3 为第三
12、象限 角 , 正 弦 值 为 负 , 2 的 3 倍 ( 奇 数 倍 ) , 改 变 函 数 名 , 变 为 余 弦 , 所 以 可 得 cos) 2 3 sin(,同理可得sin) 2 cos(,所以原式 csc sin 1 sinsincos )cos(sin . 【评析】【评析】诱导公式重在理解它的本质规律,对于“将看做锐角,符号看象限,(函数 名)奇变偶不变”要灵活运用,否则容易陷入公式的包围,给诱导公式的应用带来麻烦 例例 5 5 已知角的终边经过点) 5 sin, 5 cos(,则的值为( ) A 5 B 5 4 C)( , 5 Zkk D)( , 2 5 4 Zkk 解:解:因为
13、0 5 sin, 0 5 cos,所以点) 5 sin, 5 cos(在第二象限中,由三角函数定 义得, 5 tan 5 cos 5 sin tan x y ,因为角的终边在第二象限, 所以)2 5 4 tan( 5 4 tan) 5 tan(tank, 所以,)( , 2 5 4 Zkk,选 D 例例 6 6 化简下列各式: (1)若为第四象限角,化简 2 sin1tan (2)化简 2 tan1cos (3)化简)4cos(4sin21 解:解:(1)原式|cos| cos sin |cos|tancostan 2 , 因为为第四象限角,所以 cos0,原式 sincos cos sin
14、, (2)原式 |cos| cos cos 1 cos cos sincos cos cos sin 1cos 22 22 2 2 当为第二、三象限角或终边在x轴负半轴上时,cos0,所以原式1 cos cos , 当为第一、四象限角或终边在x轴正半轴上时,cos0,所以原式1 cos cos . (3)原式|4cos4sin|)4cos4(sin4cos4sin21 2 . 4 弧度属于第三象限角,所以 sin40,cos40, 所以原式(sin4cos4)sin4cos4 【评析】【评析】利用同角三角函数关系式化简的基本原则和方法: (1)函数名称有弦有切:切化弦;(2)分式化简:分式化整
15、式; (3)根式化简:无理化有理(被开方式凑平方),运用| 2 xx ,注意对符号的分析讨 论; (4)注意公式(sincos) 212sincos1sin2的应用 例例 7 7 扇形的周长为定值L,问它的圆心角(0)取何值时,扇形的面积S最大? 并求出最大值 解:解:设扇形的半径为) 2 0( L rr,则周长Lr2r(0) 所以 4 4 2 1 44 2 1 )2( 2 1 2 1 2 , 2 2 2 2 2 2 22 LLL rrS L r 因为84 4 24 4 ,当且仅当 4 ,即2(0,)时等号成立 此时 16 8 1 2 1 2 2 L LS,所以,当2 时,S的最大值为16 2
16、 L . 练习练习 3 31 1 一、选择题一、选择题 1已知 3 2 cos,角终边上一点P(2,t),则t的值为( ) A5 B5 C 5 5 D 5 5 2 “tan1”是“Zkk, 4 2”的( ) A充分而不必要条件 B必要不而充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3已知点P(sincos,tan)在第一象限,则在0,2上角的取值范围是( ) A) 4 5 , () 4 3 , 2 ( B) 4 5 , () 2 , 4 ( C) 2 3 , 4 5 () 4 3 , 2 ( D), 4 3 () 2 , 4 ( 4化简 170cos10sin21( ) Asin10cos1
17、0 Bsin10cos10 Ccos10sin10 Dsin10cos10 二、填空题 5已知角,满足关系 2 0 ;,则的取值范围是_ 6扇形的周长为 16,圆心角为 2 弧度,则扇形的面积为_ 7若 2 3 ,sinm,则 tan()_ 8已知: 2 4 , 8 1 cossin,则 cossin_ 三、解答题三、解答题 9已知 tan2,且 cos()0,求 (1)sincos的值 (2) 2 cossin22的值 10已知 2 1 tan,求值: (1) cossin cos2sin ; (2)cos 22sincos 11化简 tan 1tan cossin ) 1cos() 1si
18、n( )cos()sin( 2 kk kk 3 32 2 三角变换三角变换 【知识要点】【知识要点】 1两角和与差的正弦、余弦、正切公式 sin()sincoscossin;sin()sincoscossin; cos()coscossinsin;cos()coscossinsin; tantan1 tantan )tan(; tantan1 tantan )tan( 2正弦、余弦、正切的二倍角公式 sin22sincos: cos2cos 2sin212sin22cos21; 2 tan1 tan2 2tan 【复习要求】【复习要求】 1牢记两角和、差、倍的正弦、余弦、正切公式,并熟练应用;
19、 2掌握三角变换的通法和一般规律; 3熟练掌握三角函数求值问题 【例题分析】【例题分析】 例例 1 1 (1)求值 sin75_; (2)设 5 4 sin), 2 (,则) 4 cos(_; (3)已知角 2 的终边经过点(1,2),则) 4 tan(的值为_; (4)求值 15tan1 15tan1 _ 解:解:(1)30sin45cos30cos45sin)3045sin(75sin 2 2 2 3 2 2 2 1 4 26 (2)因为 5 3 cos, 5 4 sin), 2 (所以, 10 27 ) 5 4 5 3 ( 2 2 sin 2 2 cos 2 2 ) 4 cos( (3)
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