2020年江苏省南通市海门市东洲国际学校中考数学模拟试卷（三）含答案解析

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1、2020 年南通市海门市东洲国际学校中考数学模拟试卷（三）年南通市海门市东洲国际学校中考数学模拟试卷（三） 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1下列各数中，最小的数是（ ） A3 B（2） C0 D 2 我国是世界上严重缺水的国家之一， 目前我国年可利用的淡水资源总量为 27500 亿米 3， 27500 亿这个数保留两个有效数字为（ ） A2.751012 B2.81010 C2.81012 D2.71010 3如图所示图形，下列选项中不是图中几何体的三视图的是（ ） A B C D 4不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A B C D 5如图在ABC 中C90，AD 平分BAC

2、 交 BC 于 D，若 BC64，且 BD：CD9： 7，则点 D 到 AB 边的距离为（ ） A18 B32 C28 D24 6如图，ab，12，340，则4 等于（ ） A40 B50 C60 D70 7在“我的阅读生活”校园演讲比赛中，有 11 名学生参加比赛，他们决赛的最终成绩各不 相同，其中一名学生想知道自己能否进入前 6 名，除了要了解自己的成绩外，还要了解 这 11 名学生成绩的（ ） A众数 B方差 C平均数 D中位数 8 如图， 在ABCD 中， 用直尺和圆规作BAD 的平分线 AC 交 BC 于点 E 若BCD80， 则AEC 的度数为（ ） A80 B100 C120 D

3、140 9现有三张质地大小完全相同的卡片，上面分别标有数字2，1，1，把卡片背面朝上洗 匀，从中任意抽取一张卡片，记下数字后放回，洗匀，再任意抽取一张卡片，则第一次 抽取的卡片上的数字大于第二次抽取的卡片上的数字的概率是（ ） A B C D 10如图，将边长为 2cm 的正方形 OABC 放在平面直角坐标系中，O 是原点，点 A 的横坐 标为 1，则点 C 的坐标为（ ） A （） B （2，1） C （1，） D （1，） 二填空题（共二填空题（共 5 小题）小题） 11|1| 12关于 x 的一元二次方程 x26x+b0 有两个不相等的实数根，则实数 b 的取值范围 是 13若关于 x

4、的方程 x22ax+a20 的一个实数根为 x11，另一个实数根 x21，则抛 物线 yx2+2ax+2a 的顶点到 x 轴距离的最小值是 14如图，在 RtAOB 中，AOB90，OA2，OB1，将 RtAOB 绕点 O 顺时针旋 转 90后得到 RtFOE， 将线段 EF 绕点 E 逆时针旋转 90后得到线段 ED， 分別以 O、 E 为圆心，OA、ED 长为半径画弧 AF 和弧 DF，连接 AD，则图中阴影部分的面积 是 15如图，在菱形 ABCD 中，AB，B120，点 E 是 AD 边上的一个动点（不与 A， D 重合） ，EFAB 交 BC 于点 F，点 G 在 CD 上，DGDE

5、若EFG 是等腰三角形， 则 DE 的长为 三解答题（共三解答题（共 8 小题）小题） 16先化简，再求值： （），其中 a+1，b1 17某小学开展寒假争星活动，学生可以从“自理星” 、 “读书星” 、 “健康星” 、 “孝敬星”等 中选一个项目参加争星竞选，根据该校一年级某班学生的“争星”报名情况，绘制成了 如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息回答下列问题： （1）参加调查的学生共有 人 （2）将条形统计图补充完整； （3）请计算扇形统计图中“读书星”对应的扇形圆心角度数； （4）根据调查结果，试估计该小学全校 3600 名学生中争当“健康星”的学生人数 18如图，在 RtABC 中，A

6、CB90，以 AC 为直径的O 与 AB 边交于点 D，过点 D 作O 的切线交 BC 于点 E （1）求证：BEEC （2）填空：若B30，AC2，则 DB ； 当B 度时，以 O，D，E，C 为顶点的四边形是正方形 194 月 18 日，一年一度的“风筝节”活动在市政广场举行，如图，广场上有一风筝 A， 小江抓着风筝线的一端站在 D 处， 他从牵引端 E 测得风筝 A 的仰角为 67， 同一时刻小 芸在附近一座距地面 30 米高（BC30 米）的居民楼顶 B 处测得风筝 A 的仰角是 45， 已知小江与居民楼的距离 CD40 米，牵引端距地面高度 DE1.5 米，根据以上条件计 算风筝距地

7、面的高度 （结果精确到 0.1 米， 参考数据： sin67， cos67， tan67 ，1.414） 20 如图， 一次函数 yx+的图象与反比例函数 y （k0） 的图象交于 A， B 两点， 过 A 点作 x 轴的垂线，垂足为 M，AOM 面积为 1 （1）求反比例函数的解析式； （2）在 y 轴上求一点 P，使 PA+PB 的值最小，并求出其最小值和 P 点坐标 21一家商店进行门店升级需要装修，装修期间暂停营业，若请甲乙两个装修组同时施工， 8 天可以完成，需付费用共 3520 元；若先请甲组单独做 6 天，再请乙组单独做 12 天可以 完成，需付费用 3480 元，问： （1）甲

8、、乙两组工作一天，商店各应付多少钱？ （2）已知甲组单独完成需 12 天，乙组单独完成需 24 天，单独请哪个组，商店所需费用 最少？ （3） 装修完毕第二天即可正常营业， 且每天仍可盈利200元 （即装修前后每天盈利不变） ， 你认为商店应如何安排施工更有利？说说你的理由 （可用（1） （2）问的条件及结论） 22 （1）观察猜想 如图点 B、A、C 在同一条直线上，DBBC，ECBC 且DAE90，ADAE，则 BC、BD、CE 之间的数量关系为 ； （2）问题解决 如图，在 RtABC 中，ABC90，CB4，AB2，以 AC 为直角边向外作等腰 RtDAC，连结 BD，求 BD 的长；

9、 （3）拓展延伸 如图，在四边形 ABCD 中，ABCADC90，CB4，AB2，DCDA，请直 接写出 BD 的长 23已知：直线 yx3 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B，抛物线 yx2+bx+c 经过点 A、 B，且交 x 轴于点 C （1）求抛物线的解析式； （2）点 P 为抛物线上一点，且点 P 在 AB 的下方，设点 P 的横坐标为 m 试求当 m 为何值时，PAB 的面积最大； 当PAB 的面积最大时，过点 P 作 x 轴的垂线 PD，垂足为点 D，问在直线 PD 上是否 存在点 Q， 使QBC 为直角三角形？若存在， 直接写出符合条件的 Q 的坐标， 若不存在， 请说明理由

10、 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1下列各数中，最小的数是（ ） A3 B（2） C0 D 【分析】应明确在数轴上，从左到右的顺序，就是数从小到大的顺序，据此解答 【解答】解：因为在数轴上3 在其他数的左边，所以3 最小； 故选：A 2 我国是世界上严重缺水的国家之一， 目前我国年可利用的淡水资源总量为 27500 亿米 3， 27500 亿这个数保留两个有效数字为（ ） A2.751012 B2.81010 C2.81012 D2.71010 【分析】首先利用科学记数法表示 27500 亿，然后再保留两个有效数字即可 【解答】解：27500

11、 亿27500 0000 00002.7510122.81012， 故选：C 3如图所示图形，下列选项中不是图中几何体的三视图的是（ ） A B C D 【分析】根据三视图的意义，可得答案 【解答】解：A、是主视图，故 A 不符合题意； B、不是三视图，故 B 符合题意； C、是俯视图，故 C 不符合题意； D、是左视图，故 D 不符合题意； 故选：B 4不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A B C D 【分析】求出不等式组的解集，表示在数轴上即可 【解答】解：， 由得：x1， 由得：x2， 则不等式组的解集为 1x2， 表示在数轴上，如图所示： 故选：C 5如图在ABC 中C90，AD 平

12、分BAC 交 BC 于 D，若 BC64，且 BD：CD9： 7，则点 D 到 AB 边的距离为（ ） A18 B32 C28 D24 【分析】过 D 作 DEAB 于 E，根据角平分线的性质可以得到 DECD，而根据已知条 件可以求出 CD 的长，也就求出了 DE 的长 【解答】解：如图，过 D 作 DEAB 于 E， AD 平分BAC 交 BC 于 D，而C90， CDDE， BC64，且 BD：CD9：7， CD6428， DE28， 则点 D 到 AB 边的距离为 28 故选：C 6如图，ab，12，340，则4 等于（ ） A40 B50 C60 D70 【分析】先根据平行线的性质求

13、出1+2 的度数，再由12 得出2 的度数，进 而可得出结论 【解答】解：ab，340， 1+218040140，24 12， 214070， 4270 故选：D 7在“我的阅读生活”校园演讲比赛中，有 11 名学生参加比赛，他们决赛的最终成绩各不 相同，其中一名学生想知道自己能否进入前 6 名，除了要了解自己的成绩外，还要了解 这 11 名学生成绩的（ ） A众数 B方差 C平均数 D中位数 【分析】 11 人成绩的中位数是第 6 名的成绩 参赛选手要想知道自己是否能进入前 6 名， 只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可 【解答】解：由于总共有 11 个人，且他们的分数互不相同

14、，第 6 的成绩是中位数，要判 断是否进入前 6 名，故应知道中位数的多少 故选：D 8 如图， 在ABCD 中， 用直尺和圆规作BAD 的平分线 AC 交 BC 于点 E 若BCD80， 则AEC 的度数为（ ） A80 B100 C120 D140 【分析】利用平行四边形的性质得BADBCD80，ADBC，再由作法得 AE 平 分BAD，所以FAE40，接着利用平行线的性质得到AEB40，然后根据邻补 角的定义计算 AEC 的度数 【解答】解：四边形 ABCD 为平行四边形， BADBCD80，ADBC， 由作法得 AE 平分BAD， FAEBAD40， AFBE， AEBFAE40， A

15、EC18040140 故选：D 9现有三张质地大小完全相同的卡片，上面分别标有数字2，1，1，把卡片背面朝上洗 匀，从中任意抽取一张卡片，记下数字后放回，洗匀，再任意抽取一张卡片，则第一次 抽取的卡片上的数字大于第二次抽取的卡片上的数字的概率是（ ） A B C D 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与第一次抽取 的卡片上的数字大于第二次抽取的卡片上的数字的情况， 再利用概率公式即可求得答案 【解答】解：画树状图如下： 由树状图知，共有 9 种等可能结果，其中满足条件的结果数为 3， 所以第一次抽取的卡片上的数字大于第二次抽取的卡片上的数字的概率是， 故选：A 1

16、0如图，将边长为 2cm 的正方形 OABC 放在平面直角坐标系中，O 是原点，点 A 的横坐 标为 1，则点 C 的坐标为（ ） A （） B （2，1） C （1，） D （1，） 【分析】作 ADy 轴于 D，作 CEy 轴于 E，则ADOOEC90，得出1+2 90，由正方形的性质得出 OCAO，1+390，证出32，由 AAS 证明 OCEAOD，OEAD1，CEOD，即可得出结果 【解答】解：作 ADy 轴于 D，作 CEy 轴于 E，如图所示： 则ADOOEC90， 1+290， 点 A 的坐标为（1，） ， AD1，OD， 四边形 OABC 是正方形， AOC90，OCAO，

17、1+390， 32， 在OCE 和AOD 中， ， OCEAOD（AAS） ， OEAD1，CEOD， 点 C 的坐标为（，1） 故选：A 二填空题（共二填空题（共 5 小题）小题） 11|1| 2 【分析】原式利用立方根定义，以及绝对值的代数意义计算即可求出值 【解答】解：原式312， 故答案为：2 12 关于 x 的一元二次方程 x26x+b0 有两个不相等的实数根， 则实数 b 的取值范围是 b 9 【分析】根据判别式的意义得到（6）24b0，然后解不等式即可 【解答】解：根据题意得（6）24b0， 解得 b9 故答案为：b9 13若关于 x 的方程 x22ax+a20 的一个实数根为

18、x11，另一个实数根 x21，则抛 物线 yx2+2ax+2a 的顶点到 x 轴距离的最小值是 【分析】由一元二次方程根的范围结合图形，即可得出关于 a 的一元一次不等式组，解 之即可得出 a 的取值范围，由二次函数的性质可得出抛物线的顶点坐标，利用配方法即 可求出抛物线 yx2+2ax+2a 的顶点到 x 轴距离的最小值 【解答】解：关于 x 的方程 x22ax+a20 的一个实数根为 x11，另一个实数根 x2 1， ， 解得：1a 抛物线 yx2+2ax+2a 的顶点坐标为（a，a2a+2） ， a2a+2（a）2+， 当 a时，a2a+2 取最小值 故答案为： 14如图，在 RtAOB

19、 中，AOB90，OA2，OB1，将 RtAOB 绕点 O 顺时针旋 转 90后得到 RtFOE， 将线段 EF 绕点 E 逆时针旋转 90后得到线段 ED， 分別以 O、 E 为圆心，OA、ED 长为半径画弧 AF 和弧 DF，连接 AD，则图中阴影部分的面积是 【分析】作 DHAE 于 H，根据勾股定理求出 AB，根据阴影部分面积ADE 的面积+ EOF 的面积+扇形 AOF 的面积扇形 DEF 的面积、利用扇形面积公式计算即可 【解答】解：作 DHAE 于 H， AOB90，OA2，OB1， AB， 由旋转，得EOFBOA， OABEFO， FEO+EFOFEO+HED90， EFOHE

20、D，HEDOAB， DHEAOB90，DEAB， DHEBOA（AAS） ， DHOB1， 阴影部分面积ADE 的面积+EOF 的面积+扇形 AOF 的面积扇形 DEF 的面积 31+12+ ， 故答案为： 15如图，在菱形 ABCD 中，AB，B120，点 E 是 AD 边上的一个动点（不与 A， D 重合） ，EFAB 交 BC 于点 F，点 G 在 CD 上，DGDE若EFG 是等腰三角形， 则 DE 的长为 1 或 【分析】由四边形 ABCD 是菱形，得到 BCAD，由于 EFAB，得到四边形 ABFE 是平 行四边形，根据平行四边形的性质得到 EFAB，于是得到 EFAB，当EFG

21、为 等腰三角形时，EFGE时，于是得到 DEDGAD1，GEGF 时，根据勾股定理得到 DE 【解答】解：四边形 ABCD 是菱形，B120 DB120，A18012060，BCAD， EFAB， 四边形 ABFE 是平行四边形， EFAB， EFAB，DEFA60，EFCB120， DEDG， DEGDGE30， FEG30， 当EFG 为等腰三角形时， 当 EFEG 时，EG， 如图 1，过点 D 作 DHEG 于 H， EHEG， 在 RtDEH 中，DE1， GEGF 时，如图 2， 过点 G 作 GQEF， EQEF， 在 RtEQG 中，QEG30， EG1， 过点 D 作 DPE

22、G 于 P， PEEG， 同的方法得，DE， 当 EFFG 时，EFG180230120CFE，此时，点 C 和点 G 重 合，点 F 和点 B 重合，不符合题意， 故答案为：1 或 三解答题（共三解答题（共 8 小题）小题） 16先化简，再求值： （），其中 a+1，b1 【分析】 先计算括号内分式的减法、 把除法转化为乘法， 再约分即可化简原式， 最后把 a、 b 的值代入计算可得 【解答】解：原式 ， 当 a+1，b1 时， 原式 17某小学开展寒假争星活动，学生可以从“自理星” 、 “读书星” 、 “健康星” 、 “孝敬星”等 中选一个项目参加争星竞选，根据该校一年级某班学生的“争星”

23、报名情况，绘制成了 如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息回答下列问题： （1）参加调查的学生共有 50 人 （2）将条形统计图补充完整； （3）请计算扇形统计图中“读书星”对应的扇形圆心角度数； （4）根据调查结果，试估计该小学全校 3600 名学生中争当“健康星”的学生人数 【分析】 （1）A 项目人数除以总人数可得； （2）总人数乘以 B 项目的百分比可得； （3）360乘以读书星人数所占比例可得； （4）总人数乘以样本中健康星所占比例可得 【解答】解： （1）参加调查的学生共有 816%50 人， 故答案为：50； （2） “自理星”的人数为 5030%15 人， 补全图形如下： （3

24、）扇形统计图中“读书星”对应的扇形圆心角度数为 36072； （4）3600864， 答：该小学全校 3600 名学生中争当“健康星”的学生人数为 864 人 18如图，在 RtABC 中，ACB90，以 AC 为直径的O 与 AB 边交于点 D，过点 D 作O 的切线交 BC 于点 E （1）求证：BEEC （2）填空：若B30，AC2，则 DB 3 ； 当B 45 度时，以 O，D，E，C 为顶点的四边形是正方形 【分析】 （1）证出 EC 为O 的切线；由切线长定理得出 ECED，再求得 EBED，即 可得出结论； （2）由含 30角的直角三角形的性质得出 AB，由勾股定理求出 BC，再

25、根据 BDBC cos30计算即可； 由等腰三角形的性质，得到ODAA45，于是DOC90然后根据有一组 邻边相等的矩形是正方形，即可得到结论 【解答】 （1）证明：连接 DO ACB90，AC 为直径， EC 为O 的切线； 又ED 也为O 的切线， ECED， 又EDO90， BDE+ADO90， BDE+A90 又B+A90， BDEB， BEED， BEEC； （2）解：ACB90，B30，AC2， AB2AC4， BC6， AC 为直径， BDCADC90， BDBCcos303 故答案为：3； 当B45时，四边形 ODEC 是正方形，理由如下： ACB90， A45， OAOD，

26、ADO45， AOD90， DOC90， ODE90， 四边形 DECO 是矩形， ODOC， 矩形 DECO 是正方形 故答案为：45 194 月 18 日，一年一度的“风筝节”活动在市政广场举行，如图，广场上有一风筝 A， 小江抓着风筝线的一端站在 D 处， 他从牵引端 E 测得风筝 A 的仰角为 67， 同一时刻小 芸在附近一座距地面 30 米高（BC30 米）的居民楼顶 B 处测得风筝 A 的仰角是 45， 已知小江与居民楼的距离 CD40 米，牵引端距地面高度 DE1.5 米，根据以上条件计 算风筝距地面的高度 （结果精确到 0.1 米， 参考数据： sin67， cos67， ta

27、n67 ，1.414） 【分析】如图，作 AMCD 于 M，作 BFAM 于 F，EHAM 于 H ，设 AFBFx， 则 CMBFx， DMHE40x， AHx+301.5x+28.5， 在 RtAHE 中， 根据 tan67 ，构建方程即可解决问题 【解答】解：如图，作 AMCD 于 M，作 BFAM 于 F，EHAM 于 H ABF45，AFB90， AFBF， 设 AFBFx， 则 CMBFx， DMHE40x， AHx+301.5x+28.5， 在 RtAHE 中，tan67， ， 解得 x19.9m AM19.9+3049.9m 风筝距地面的高度 49.9m 20 如图， 一次函数

28、 yx+的图象与反比例函数 y （k0） 的图象交于 A， B 两点， 过 A 点作 x 轴的垂线，垂足为 M，AOM 面积为 1 （1）求反比例函数的解析式； （2）在 y 轴上求一点 P，使 PA+PB 的值最小，并求出其最小值和 P 点坐标 【分析】 （1）根据反比例函数比例系数 k 的几何意义得出|k|1，进而得到反比例函数 的解析式； （2）作点 A 关于 y 轴的对称点 A，连接 AB，交 y 轴于点 P，得到 PA+PB 最小时， 点P的位置， 根据两点间的距离公式求出最小值AB的长； 利用待定系数法求出直线A B 的解析式，得到它与 y 轴的交点，即点 P 的坐标 【解答】解：

29、 （1）反比例函数 y（k0）的图象过点 A，过 A 点作 x 轴的垂线，垂 足为 M，AOM 面积为 1， |k|1， k0， k2， 故反比例函数的解析式为：y； （2）作点 A 关于 y 轴的对称点 A，连接 AB，交 y 轴于点 P，则 PA+PB 最小 由，解得，或， A（1，2） ，B（4，） ， A（1，2） ，最小值 AB 设直线 AB 的解析式为 ymx+n， 则，解得， 直线 AB 的解析式为 yx+， x0 时，y， P 点坐标为（0，） 21一家商店进行门店升级需要装修，装修期间暂停营业，若请甲乙两个装修组同时施工， 8 天可以完成，需付费用共 3520 元；若先请甲组

30、单独做 6 天，再请乙组单独做 12 天可以 完成，需付费用 3480 元，问： （1）甲、乙两组工作一天，商店各应付多少钱？ （2）已知甲组单独完成需 12 天，乙组单独完成需 24 天，单独请哪个组，商店所需费用 最少？ （3） 装修完毕第二天即可正常营业， 且每天仍可盈利200元 （即装修前后每天盈利不变） ， 你认为商店应如何安排施工更有利？说说你的理由 （可用（1） （2）问的条件及结论） 【分析】 （1）设甲组工作一天商店应付 x 元，乙组工作一天商店应付 y 元，根据“若请 甲乙两个装修组同时施工， 8 天可以完成， 需付费用共 3520 元； 若先请甲组单独做 6 天， 再请乙

31、组单独做 12 天可以完成，需付费用 3480 元” ，即可得出关于 x、y 的二元一次方 程组，解之即可得出结论； （2）根据所需总费用每天应付钱数工作天数，分别求出单独请甲、乙两组完成所需 费用，比较后即可得出结论； （3）根据损失总钱数每天盈利装修时间+装修队所需费用，分别求出单独请甲、乙 两组及请甲乙两组同时完成所损失的总钱数，比较后即可得出结论 【解答】解： （1）设甲组工作一天商店应付 x 元，乙组工作一天商店应付 y 元， 根据题意得：， 解得： 答：甲组工作一天商店应付 300 元，乙组工作一天商店应付 140 元 （2）单独请甲组所需费用为：300123600（元） ， 单独

32、请乙组所需费用为：140243360（元） ， 36003360， 单独请乙组所需费用最少 （3）商店请甲乙两组同时装修，才更有利，理由如下： 单独请甲组完成，损失钱数为：20012+36006000（元） ， 单独请乙组完成，损失钱数为：20024+33608160（元） ， 请甲乙两组同时完成，损失钱数为：2008+35205120（元） 816060005120， 商店请甲乙两组同时装修，才更有利 22 （1）观察猜想 如图点 B、A、C 在同一条直线上，DBBC，ECBC 且DAE90，ADAE，则 BC、BD、CE 之间的数量关系为 BCAB+ACBD+CE ； （2）问题解决 如图

33、，在 RtABC 中，ABC90，CB4，AB2，以 AC 为直角边向外作等腰 RtDAC，连结 BD，求 BD 的长； （3）拓展延伸 如图，在四边形 ABCD 中，ABCADC90，CB4，AB2，DCDA，请直 接写出 BD 的长 【分析】 （1）观察猜想：证明ADBEAC，可得结论：BCAB+ACBD+CE； （2） 问题解决： 作辅助线， 同理证明： ABCDEA， 可得 DEAB2， AEBC4， 最后利用勾股定理求 BD 的长； （3）拓展延伸：同理证明三角形全等，设 AFx，DFy，根据全等三角形对应边相等 列方程组可得结论 【解答】解： （1）观察猜想 结论：BCBD+CE，

34、理由是： 如图，B90，DAE90， D+DABDAB+EAC90， DEAC， BC90，ADAE， ADBEAC（AAS） ， BDAC，ECAB， BCAB+ACBD+CE； （2）问题解决 如图，过 D 作 DEAB，交 BA 的延长线于 E， 由（1）同理得：ABCDEA， DEAB2，AEBC4， RtBDE 中，BE6， 由勾股定理得：BD2； （3）拓展延伸 如图，过 D 作 DEBC 于 E，作 DFAB 于 F， 同理得：CEDAFD， CEAF，EDDF， 设 AFx，DFy， 则，解得：， BF2+13，DF3， 由勾股定理得：BD3 23已知：直线 yx3 与 x 轴

35、、y 轴分别交于点 A、B，抛物线 yx2+bx+c 经过点 A、 B，且交 x 轴于点 C （1）求抛物线的解析式； （2）点 P 为抛物线上一点，且点 P 在 AB 的下方，设点 P 的横坐标为 m 试求当 m 为何值时，PAB 的面积最大； 当PAB 的面积最大时，过点 P 作 x 轴的垂线 PD，垂足为点 D，问在直线 PD 上是否 存在点 Q， 使QBC 为直角三角形？若存在， 直接写出符合条件的 Q 的坐标， 若不存在， 请说明理由 【分析】 （1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点 A、B 的坐标，再利用待定系数 法即可求出抛物线的解析式； （2）过点 P 作 PDx 轴于

36、D，交 AB 于点 E，设点 P 的横坐标为 m，则点 P 的坐标 为（m，m2m3） ，点 E 的坐标为（m，m3） ，进而可得出 PE 的长度，再利用 三角形的面积公式即可得出 SPABm2+6m，利用配方法即可解决最值问题； 利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点 C 的坐标，设点 Q 的坐标为（3，y） ，则 CQ2（）2+y2，BC29+，BQ29+（y+3）2，分QCB90、CBQ90及 CQB90三种情况，利用勾股定理即可得出关于 y 的方程，解之即可得出结论 【解答】解： （1）直线 yx3 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B， 点 A 的坐标为（6，0） ，点 B 的坐标为

37、（0，3） 将 A（6，0） 、B（0，3）代入 yx2+bx+c，得： ，解得：， 抛物线的解析式为 yx2x3 （2）过点 P 作 PDx 轴于 D，交 AB 于点 E，如图 1 所示 设点 P 的横坐标为 m，则点 P 的坐标为（m，m2m3） ，点 E 的坐标为（m，m 3） ， PEm3（m2m3）m2+2m， SPABPE（AD+DO）（m2+2m）6m2+6m（m3）2+9， 当 m3 时，PAB 的面积最大，最大值是 9 当 y0 时，有x2x30， 解得：x1，x26， 点 C 的坐标为（，0） 设点 Q 的坐标为（3，y） ， 则 CQ2（）2+y2，BC29+，BQ29+（y+3）2 当QCB90时，有 CQ2+BC2BQ2， 即（）2+y2+9+9+（y+3）2， 解得：y； 当CBQ90时，有 BC2+BQ2CQ2， 即 9+9+（y+3）2（）2+y2， 解得：y； 当CQB90时，有 BQ2+CQ2BC2， 即（）2+y2+9+（y+3）29+， 方程无解 综上所示：在直线 PD 上存在点 Q（3，）或（3，） ，使QBC 为直角三角形