著名机构数学讲义暑假18-八年级培优 版-几何证明基础（2）-学生版

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1、教师姓名 学生姓名 年 级 初二 上课时间 学 科 数学 课题名称 几何证明基础（2） 几何证明基础（2） 知识模块：知识模块：逆定理和命题逆定理和命题 1 1、 互逆命题、原命题、逆命题互逆命题、原命题、逆命题 （1）互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一问题 的结论又是第二个命题的题设，那么这个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫 做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。 （2）一个命题(定理)的逆命题（逆定理）并不是唯一的。这是因为一个命题的题设中可能 有两个或多个条件，结论也可能不止一个 （3）逆命题的真假与原命题的真假无关。 2、互逆定理、定理、逆定

2、理互逆定理、定理、逆定理 （1）如果一个定理的逆命题经过证明也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做 另一个定理的逆定理。 （2）并不是每个定理都有逆定理。 （3）判定一个定理是否有逆定理，关键是判定其逆命题的真假，如果一个定理的逆命题经过证 明是真命题，这个定理才有逆定理。 【例 1】写出下列命题的逆命题： （1）等腰三角形的底角相等。 （2）等边三角形是轴对称图形。 (3) 正方形的四条边相等。 (4) 如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角。 【例 2】试证明下列真命题的逆命题是假命题： （1）如果两个角都是直角，那么这两个角相等。 （2）如果三角形中有一个角是钝角，那么另外

3、两个角都是锐角。 【例 3】下列定理有没有逆定理？为什么？ （1）对顶角相等。 图1 m D A B C C B A D m 图2 （2）全等三角形的对应边相等。 知识模块知识模块：线段的垂直平分线线段的垂直平分线 1、线段垂直平分线的性质线段垂直平分线的性质 （1）垂直平分线性质定理）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段 两个端点的距离相等. 定理的数学表示定理的数学表示：如图 1，已知直线m与线段AB垂直相交于点D， 且ADBD，若点C在直线m上，则ACBC. 定理的作用定理的作用：证明两条线段相等 （3）线段关于它的垂直平分线对称. 2、线段垂直平分线性质定理的逆定理线段垂

4、直平分线性质定理的逆定理 线段垂直平分线的逆定理：线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点 在这条线段的垂直平分线上. 定理的数学表示：定理的数学表示：如图 2，已知直线m与线段AB垂直相交于点D， 且ADBD，若ACBC，则点C在直线m上. 定理的作用：定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上. 【例 4】如图，已知直线AB是线段CD的垂直平分线，下列说法正确的是（ ） AACBC BADBD CBCBD DABCD 【例 5】 如图， 在ABC中，20ABACcm， DE 垂直平分AB， 垂足为E， 交AC于D， 若DBC 的周长为35cm，则BC的长为（ ） A5cm

5、B10cm C15cm D17.5cm E C B A D A B O D P C 图5 图4 C F D E O B A 【例 6】已知：ABAC，DBDC，E是AD上一点，求证：BECE 【答案】略 知识模块知识模块：角的角平分线角的角平分线 1、角平分线的性质定理：角平分线的性质定理： 角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. . 定理的数学表示：如图 4，已知OE是AOB的平分线，F是OE上一点， 若CFOA于点C，DFOB于点D，则CFDF. 定理的作用：证明两条线段相等；用于几何作图问题；：证明两条线段相等；用于几何作图问题

6、； 角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线. 2、角平分线性质定理的逆定理：角平分线性质定理的逆定理： 角平分线性质定理的逆定理：在角的内部，且到角的两边距离相等的点在角的内部，且到角的两边距离相等的点 在这个角的角平分线上在这个角的角平分线上. . 定理的数学表示：如图 5，已知点P在AOB的内部， 且PCOA于C，PDOB于D，若PCPD， 则点P在AOB的平分线上. 定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线 注意角平分线的性质定理与逆定理的区别和联系. 【例 7】如图，OP平分AOB，PCOA，PDOB，

7、垂足分别是CD、，下列结论中错误的是 （ ） APCPD BOCOD CCPODPO DOCPC 【例 8】如图，在ABC 中，ACB=90，BE 平分ABC，DEAB 于 D，如果 AC=3cm，那么 AE+DE 等于（ ） A2cm B3cm C4cm D5cm 【例 9】如图，ABC 中，B 的平分线 BD 与C 的外角平分线 CE 交于点 P求证：点 P 到三边 AB、 BC、CA 所在的直线的距离相等 知识模块知识模块：轨迹轨迹 1.把符合某些条件的所有点的集合叫做点的轨迹 2.轨迹定义： （1）图形上任意一点都符合条件； （2）符合条件的任意一点都在图形上。 3.三条基本轨迹： （

8、1）垂直平分线：和已知线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线； （2）角平分线：到已知角的两边距离相等的点的轨迹这个角的平分线； （3）圆：到顶点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心、定长为半径的圆。 【例 10】到两个定点 A、B 的距离相等的点的轨迹是_ 【例 11】如图，在ABC 中，AB=AC，ABC=72 （1）用直尺和圆规作ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D（保留作图痕迹，不要求写作法） ； （2）在（1）中作出ABC 的平分线 BD 后，求BDC 的度数 【 例 12 】已 知： 如图， 直线 AB 与 直线 BC 相交 于点 B ，点 D 是 直线 BC

9、 上 一点 求作：点 E，使直线 DEAB，且点 E 到 B，D 两点的距离相等 （在题目的原图中完成作图）结论： BE=DE 知识模块知识模块：交轨法作图交轨法作图 1.利用轨道相交进行作图的方法叫做交轨法。 2.如果要求做的点（图形）同时要满足两个条件时，我们通常先作出满足条件 A 的轨迹，然后在作出满 足条件 B 的轨迹，两轨迹的交点则同时满足条件 A 和条件 B. 3.交规法是常见的作图方法：作三角形、线段的垂直平分线、角的平分线。 4.尺规作图：是指用无刻度直尺和圆规来作几何图形： （1）作一条线段等于已知线段； （2）做一个角等 于已知角； （3）作已知角的平分线； （4）经过一点

10、作已知线段的垂线； （5）作线段的垂直平分线。 【例 13】如图，两条国道 OA、OB 在我市交汇于 O，在AOB 的内部 C、D 处各有一个工厂现要修 建一个货站 P，使货站 P 到两条国道 OA、OB 的距离相等，到 C 厂、D 厂的距离也相等，请在图中画 出货站 P 的位置 （要求：用圆规直尺作图，保留作图痕迹，不写已知、求作和作法） N B A K Q C B E D C A G F P D E C BA 【例 14】为进一步打造“宜居上海” ，某区拟在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐 喷泉 M 到广场的两个入口 A、 B 的距离相等， 且到广场管理处 C 的距离等于

11、A 和 B 之间距离的一半， A、 B、C 的位置如图所示请在答题卷的原图上利用尺规作图作出音乐喷泉 M 的位置 （要求：不写已知、 求作、作法和结论，保留作图痕迹，必须用铅笔作图 【习题 1】如图，已知 BQ 是ABC 的内角平分线，CQ 是ACB 的外角平分线，由 Q 出发，作点 Q 到 BC、 AC 和 AB 的垂线 QM、 QN 和 QK， 垂足分别为 M、 N、 K， 则 QM、 QN、 QK 的关系是 【习题 2】如图，在ABC 中，B=300，C=900，AD 平分CAB，交 CB 于 D，DEAB 于 E，则 BDE= = 【习题 3】如图，已知 ABCD，PEAB，PFBD，

12、PGCD，垂足分别为 E、F、G，且 PF=PG=PE， 则BPD= A C O E B D 【习题 4】如图，已知 ABCD，0 为CAB、ACD 的平分线的交点OEAC，且 OE=2，则两平行 线 AB、CD 间的距离等于 【习题 5】如图，在ABC 中，BC 的垂直平分线 EF 交ABC 的平分线 BD 于 E，如果BAC=60， ACE=24，那么BCE 的大小是（ ） A24 B30 C32 D36 【习题 6】如图，ABC 中，A=80，B=40，BC 的垂直平分线交 AB 于点 D，联结 DC如果 AD=2，BD=6，那么ADC 的周长为_ 【习题 7】通过两定点 A、B 的圆的

13、圆心的轨迹是_ 【习题 8】下列命题中逆命题是假命题的是（ ） A如果两个三角形的三条边都对应相等，那么这两个三角形全等 B如果 a2=9，那么 a=3 C对顶角相等 D线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等 【习题 9】已知：如图，在ABC 中，C=120，边 AC 的垂直平分线 DE 与 AC、AB 分别交于点 D 和点 E （1）作出边 AC 的垂直平分线 DE； B C E D A （2）当 AE=BC 时，求A 的度数 【习题 10】如图，ADDC，BCDC： ，E 是 DC 上一点，AE 平分DAB (1)如果 BE 平分ABC，求证：点 E 是 DC 的中点； (2)如果 E 是 DC 的中点，求证：BE 平分ABC 【习题 11】如图，在ABC 中，BC=AC，ACB=90，D 是 AC 上一点，AEBD 交 BD 的延长线于点 E，且 1 2 AEBD，求证：BD 是ABC 的角平分线