北京四中七年级上册数学两条直线的位置关系（基础）知识讲解

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1、 第 1 页 共 5 页 两条直线的位置关系两条直线的位置关系（基础基础）知识讲解）知识讲解 【学习目标】【学习目标】 1. 初步理解同一平面内的两直线的位置关系，初步认识相交线和平行线； 2.了解对顶角、补角、余角，知道对顶角相等、等角的余角相等、等角的补角相等，并能 解决一些实际问题； 3. 理解垂直作为两条直线相交的特殊情形，掌握垂直的定义及性质； 4. 理解点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离. 【要点梳理】【要点梳理】 要要点一、点一、同一平面内两条直线的位置关系同一平面内两条直线的位置关系 同一平面内，同一平面内，两条直线的位置关系：两条直线的位置关系：相交和平行. 要点诠

2、释：要点诠释： （1）平行线：平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.两直线平行，用符号“”表 示. 如下图，两条直线互相平行，记作 ABCD 或 ab. （2）互相重合的直线通常看做一条直线，两条线段或射线平行是指它们所在的直线平行. （3）相交线：相交线：若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线，这个公共点叫做 交点. 两条直线相交只有一个交点. 要点二、对顶角、补角、余角要点二、对顶角、补角、余角 1. .余角与补角余角与补角 （1 1）定义：定义：如果两个角的和是 180，那么这两个角互为补角，简称互补，其中一个角叫 做另一个角的补角 类似地，如果两个角的和是 90

3、，那么这两个角互为余角简称互余，其中一 个角叫做另一个角的余角 （2 2）性质：）性质：同角（等角）的余角相等同角（等角）的补角相等 要点诠释：要点诠释： (1)互余互补指的是两个角的数量关系，而与它们的位置无关 (2)一个锐角的补角比它的余角大 90 2 2. .对顶角对顶角 （1）定义：）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边(相对)的两个角，互 为对顶角 要点诠释：要点诠释： (1)对顶角满足的条件：相等的两个角；有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向 延长线. (2)只有两条直线相交时，才能产生对顶角两条直线相交时，除了产生对顶角外，还会产 生邻补角，邻补角满足的条

4、件：有公共顶点；有一条公共边，另一边互为反向延长线. （3）邻补角一定互为补角，但互为补角的角不一定是邻补角. （2）性质：）性质：对顶角相等 要要点三点三、垂线、垂线 第 2 页 共 5 页 1 1垂线的定义：垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就称这两条直线互相 垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足如下图 要点诠释：要点诠释： (1)记法：直线a与b垂直，记作：ab； 直线 AB 和 CD 垂直于点 O，记作：ABCD 于点 O. (2) 垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有： 90AOC 判定 性质 CDAB 2 2

5、垂线的垂线的画法：画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三 角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点， 沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示) 要点诠释：要点诠释： (1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时， 指的是它所在直线的垂线， 垂足可能在射线的 反向延长线上，也可能在线段的延长线上 (2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段垂线段 3 3垂线的垂线的性质：性质： （1）平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 （2）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短简单说成：

6、垂线段最短 要点诠释：要点诠释： （1）性质（1）成立的前提是在“同一平面内” ， “有”表示存在， “只有”表示唯一， “有且 只有”说明了垂线的存在性和唯一性 （2）性质（2）是“垂线段最短 ”实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条， 但只有一条最短，即垂线段最短在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题 4 4点到直线的距离：点到直线的距离： 定义：定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离 要点诠释：要点诠释： （1） 点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离； （2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量

7、垂线 段的长度 【典型例题】【典型例题】 第 3 页 共 5 页 类型一、类型一、两条直线的位置关系两条直线的位置关系 1.如图，在正方体中： （1）与线段AB平行的线段_； （2）与线段AB相交的线段_； （3）与线段AB既不平行也不相交的线段_ 【答案】 （1）CD、A1B1、C1D1； （2）BC、BB1、A1A、AD； （2）A1D1、D1D 、B1C1、CC1 【解析】 （1）与线段 AB 平行的线段的种类为：直接与 AB 平行，与平行于 AB 的线段平行 （2）与线段AB相交的线段的种类为：交于 B 点的线段，交于 A 点的线段 （3）用排除法，在正方体中除了线段 AB 外还有 1

8、1 条棱，在这 11 条棱中排除（1） （2）中 的线段，便得到与线段AB既不平行也不相交的线段 【总结升华】考查平行线与相交线的定义 类型二类型二、对顶角、补角、余角、对顶角、补角、余角 2如图所示，直线 AB、CD 相交于点 O，165，求2、3、4 的度数 【思路点拨】观察图形可以得到一些角的和差关系 【答案与解析】 解： 12180，165， 218065115 又3165， 同理，42115 综上得，3165， 42115 【总结升华】两条直线相交所成的四个角中，只要已知其中一个角，就可以求出另外三角 举一反三：举一反三： 【变式】如图所示，两直线相交，已知l 与2 的度数之比为 3

9、:2，求1 与2 的度数 【答案】 第 4 页 共 5 页 解：设1 与2 的度数分别为 3x 和 2x根据题意，得 3x+2x180 解这个方程得 x36，所以 3x108，2x72 答：这两个角的度数分别是 108，72 类型三类型三、垂线垂线 3下列语句中，正确的有 ( ) 一条直线的垂线只有一条 在同一平面内，过直线上一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 两直线相交，则交点叫垂足 互相垂直的两条直线形成的四个角一定都是直角 A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 【答案】C 【解析】正确的是： 【总结升华】充分理解垂直的定义与性质. 举一反三：举一反三： 【变式】直线l外有一点 P，则点

10、 P 到直线l的距离是( ). A点 P 到直线l的垂线的长度. B点 P 到直线l的垂线段. C点 P 到直线l的垂线段的长度. D点 P 到直线l的垂线. 【答案】C 4. (山东济宁)如图所示，直线 AB、CD 相交于点 O，EOAB 于点 O， COE55则BOD 的度数为 ( ). A40 B45 C30 D35 【答案】D 【解析】要求BOD，只要求出其对顶角AOC 的度数即可为此要寻找AOC 与COE 的数量关系因为 EOAB，所以AOE90，所以AOCAOECOE90 5535，所以BODAOC35 【总结升华】图形的定义既可以作为判定图形的依据，也可以作为该图形具备的性质.

11、举一反三：举一反三： 【变式】如图, 直线 AB 和 CD 交于 O 点, OD 平分BOF, OE CD 于点 O, AOC=40, 则EOF=_. 第 5 页 共 5 页 【答案】130 5. 如图所示，要把水渠中的水引到水池 C，在渠岸 AB 的什么地方开沟，才能使沟最 短?画出图来，并说明原因 【思路点拨】两点之间线段最短，而点线之间垂线段最短 【答案与解析】 解：如图，过点 C 作 CDAB，垂足为 D所以在点 D 沿 CD 开沟，才能使沟最短，原因 是从直线外一点到直线上所有各点的连线中，垂线段最短 【总结升华】 “如何开沟、使沟最短” ，实质上是如何过 C 点向 AB 引线段，使线段最短， 这就是最熟悉的垂线的性质的应用 举一反三：举一反三： 【变式】(1)用三角尺或量角器画已知直线l的垂线，这样的垂线能画出几条? (2)经过直线l上一点 A 画l的垂线，这样的垂线能画出几条? (3)经过直线l外一点 B 画l的垂线，这样的垂线能画出几条? 【答案】 解：(1)能画无数条；(2)能画一条；(3)能画一条