北京四中七年级上册数学幂的运算（提高）知识讲解

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1、 第 1 页 共 3 页 幂的运算幂的运算（提高提高） 【学习目标】【学习目标】 1. 掌握正整数幂的乘法运算性质（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方） ； 2. 能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算. 【要点梳理】【要点梳理】 要点一、要点一、同底数幂的乘法性质同底数幂的乘法性质 mnm n aaa(其中,m n都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 要点诠释：要点诠释： （1） 同底数幂是指底数相同的幂， 底数可以是任意的实数， 也可以是单项式、 多项式. （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即 mnpm n p aaaa （,

2、,m n p都是正整数）. （3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数 与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即 m nmn aaa （,m n都是正整数）. 要点二、要点二、幂的乘方法则幂的乘方法则 () m nmn aa(其中,m n都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘. 要点诠释：要点诠释： （1）公式的推广：() ) m npmnp aa (0a，, ,m n p均为正整数) （2）逆用公式： nm mnmn aaa，根据题目的需要常常逆用幂的乘 方运算能将某些幂变形，从而解决问题. 要点三、要点三、积的乘方法则积的乘方法则 () nnn

3、 abab (其中n是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方， 再把所得的幂相乘. 要点诠释：要点诠释： （1）公式的推广：() nnnn abcabc (n为正整数). （2）逆用公式： n nn a bab逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其 是遇到底数互为倒数时， 计算更简便.如： 1010 10 11 221. 22 要点四、要点四、注注意事项意事项 （1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式. （2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为 1，计算时不要 遗漏. （3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加. （4）积的乘方运算

4、时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方. （5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. （6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯. 第 2 页 共 3 页 【典型例题】【典型例题】 类型一、同底数幂的乘法性质类型一、同底数幂的乘法性质 1、计算： (1) 35 (2)(2)(2)bbb； (2) 23 (2 )(2)xyyx 【答案与解析】【答案与解析】 解： （1） 353 5 19 (2)(2)(2)(2)(2)bbbbb （2） 23235 (2 )(2)(2 ) (2 ) (2 )xyyxxyxyxy 【总结升华总结升华】 （1）同底数幂相乘时，底数

5、可以是多项式，也可以是单项式 （2）在幂的运算中，经常用到以下变形： () () (), n n n an a an 为偶数 , 为奇数 () () () () () n n n ban ab ban 为偶数 为奇数 类型二、幂的乘方法则类型二、幂的乘方法则 2、计算： （1） 2 3 () ab； （2） 3 22 35 ()()2yyyy； （3） 22 41 2 ()() mm xx ； （4） 3 23 4 ()()xx 【答案与解析】【答案与解析】 解： （1） 2 3 () ab 2 36 ()()abab （2） 3 22 35 ()()2yyyy 66666 2220yyyyy

6、 （3） 22 41 2 ()() mm xx 4(22)2(1)8822106mmmmm xxxxx （4） 3 23 4 ()()xx 61218 xxx 【总结升华总结升华】 （1）运用幂的乘方法则进行计算时要注意符号的计算及处理，一定不要将幂的 乘方与同底数幂的乘法混淆 （2）幂的乘方的法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可 以是单项式或多项式 3、已知84 m ，85 n ，求 32 8 mn 的值 【思路点拨】【思路点拨】由于已知8 , 8 mn 的值，所以逆用同底数幂的乘法和幂的乘方把 32 8 mn 变成 3232 88(8 )(8 ) mnmn ，再代入计算. 【答案与解析

7、】【答案与解析】 第 3 页 共 3 页 解：因为 333 8(8 )464 mm , 222 8(8 )525 nn . 所以 3232 88864 251600 mnmn . 【总结升华总结升华】运用整体的观念看待数学问题，是一种重要的数学思维方法.把8 ,8 mn当成一 个整体问题就会迎刃而解.同时看到灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. 举一反三：举一反三： 【变式】已知 32 2,3 mm ab，则 363 22 m mmm aba bb 【答案】【答案】5； 提示：原式 2322 3232mmmm abab 原式 2322 23235. 类型三、积的乘方法则类型三、积的乘

8、方法则 4、计算： （1） 2 4 (2)xy （2） 243 3 3 () aa b 【思路点拨】【思路点拨】利用积的乘方的运算性质进行计算. 【答案与解析】【答案与解析】 解： （1） 2 4442 448 (2)( 1) 2()16xyxyx y （2） 243 3 3 () aa b 2 3129 3636274227 ()()()aa baaba b 【总结升华总结升华】 （1）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘 方 （2）注意系数及系数符号，对系数1 不可忽略 举一反三：举一反三： 【变式】下列等式正确的个数是( ) 3 2369 26x yx y 3 26mm aa 3 69 33aa 5735 5 107 1035 10 100100 101 0.520.5 22 A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 【答案】【答案】A； 提示：只有正确； 3 2369 28x yx y ； 3 26mm aa ； 3 618 327aa； 571213 5 107 1035 103.5 10