北京四中七年级上册数学勾股定理全章复习与巩固(提高)知识讲解
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1、第 1 页 共 8 页 勾股定理勾股定理全章复习与巩固(全章复习与巩固(提高提高) 【学习目标】【学习目标】 1.了解勾股定理的历史,掌握勾股定理的证明方法; 2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容; 3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题. 【知识网络】【知识网络】 【要点梳理】【要点梳理】 要要点一、勾股定理点一、勾股定理 1.1.勾股定理:勾股定理: 直角三角形两直角边ab、的平方和等于斜边c的平方.(即: 222 abc) 2.2.勾股定理的应用勾股定理的应用 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系, 是直角三角形的重要性质之一, 其主要 应用是: (1)已知直角三角形的两边,求第
2、三边; (2)利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题; (3)解决与勾股定理有关的面积计算; (4)勾股定理在实际生活中的应用 要要点二、勾股定理的逆定理点二、勾股定理的逆定理 1 1. .勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长abc、 、,满足 222 abc,那么这个三角形是直角三角形. 要点诠释:要点诠释: 应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤: (1)首先确定最大边,不妨设最大边长为c; (2)验证: 22 ab与 2 c是否具有相等关系: 若 222 abc,则ABC 是以C 为 90的直角三角形; 若 222 abc时,ABC 是锐角三角形
3、; 若 222 abc时,ABC 是钝角三角形 第 2 页 共 8 页 2 2. .勾股数勾股数 满足不定方程 222 xyz的三个正整数,称为勾股数(又称为高数或毕达哥拉斯数) , 显然,以xyz、 、为三边长的三角形一定是直角三角形. 要点诠释:要点诠释: 常见的勾股数:3、4、5; 5、12、13;8、15、17;7、24、25;9、40、41. 如果(abc、 、)是勾股数,当 t 为正整数时,以atbtct、 、为三角形的三边长,此三 角形必为直角三角形. 观察上面的、四组勾股数,它们具有以下特征: 1.较小的直角边为连续奇数; 2.较长的直角边与对应斜边相差 1. 3.假设三个数分
4、别为abc、 、,且abc,那么存在 2 abc成立.(例如中存 在 2 72425、 2 94041 等) 要要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 区别:勾股定理是直角三角形的性质定理,而其逆定理是判定定理; 联系: 勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反, 两者互为逆定理, 都与直角三角形有关. 【典型例题】【典型例题】 类型一、勾股定理及逆定理的应用类型一、勾股定理及逆定理的应用 1、如图所示,等腰直角ABC 中,ACB90,E、F 为 AB 上两点(E 左 F 右),且 ECF45,求证: 222 AEBFEF . 【思路点拨】【思路点
5、拨】由于ACB90,ECF45,所以ACEBCF45,若将ACE 和 BCF 合在一起则为一特殊角 45, 于是想到将ACE 旋转到BCF 的右外侧合并, 或将BCF 绕 C 点旋转到ACE 的左外侧合并,旋转后的 BF 边与 AE 边组成一个直角,联想勾股定理即 可证明 【答案【答案与解析与解析】 解:(1) 222 AEBFEF,理由如下: 将BCF 绕点 C 旋转得ACF,使BCF 的 BC 与 AC 边重合, 即ACFBCF, 在ABC 中,ACB90,ACBC, CAFB45, EAF90 ECF45, ACEBCF45 ACFBCF, ECF45 在ECF 和ECF中 第 3 页
6、共 8 页 45 CECE ECFECF CFCF ECFECF(SAS), EFEF 在 RtAEF中, 222 AEFAFE, 222 AEBFEF 【总结升华总结升华】若一个角的内部含有同顶点的半角,(如平角内含直角,90角内含 45角, 120角内含 60角),则常常利用旋转法将剩下的部分拼接在一起组成又一个半角,然后 利用角平分线、全等三角形等知识解决问题 举一反三:举一反三: 【变式】已知凸四边形 ABCD 中,ABC30,ADC60,ADDC, 求证: 222 BDABBC. 【答案】【答案】 解:将ABD 绕点 D 顺时针旋转 60 由于 DCAD,故点 A 转至点 C点 B
7、转至点 E,连结 BE BDDE,BDE60 BDE 为等边三角形,BEBD 易证DABDCE,A2,CEAB 四边形 ADCB 中ADC60,ABC30 A13606030270 121A270 3360(12)90 222 BCCEBE 222 BCABBD 2、 如图, 在ABC 中, ACB=90, AC=BC, P 是ABC 内的一点, 且 PB=1, PC=2, PA=3,求BPC 的度数 【答案【答案与解析与解析】 第 4 页 共 8 页 解:如图,做ECB=PCA,且使 CE=CP,连结 EP,EB 在APC 和BEC 中 PCAECB ACBC PCEC APCBEC PCE
8、 为等腰直角三角形 CPE=45,PE2=PC2+CE2=8 又PB2=1,BE2=9 PE2+ PB2= BE2 则BPE=90 BPC=135 【总结升华总结升华】本题考查了勾股定理的逆定理,通过观察所要求的角度,作出辅助线,把 PA、 PB、PC 的长度转化为一个三角形三条边,构造出直角三角形是解题的关键,当然此题也可 以利用旋转的思想来解,即将APC 绕点 C 旋转,使 CA 与 CB 重合即APCBEC. 类型二、勾股定理及逆定理的综合应用类型二、勾股定理及逆定理的综合应用 3、(1)已知:如图 1,求证: (2)运用(1)的结论可以证明下列命题: 已知:如图 2,设 M 是ABC
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