北京四中七年级上册数学基本平面图形全章复习与巩固（提高）知识讲解

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1、 第 1 页 共 10 页 基本平面图形基本平面图形全章复习与巩固（提高）全章复习与巩固（提高）知识讲解知识讲解 【学习目标】【学习目标】 1掌握直线、射线、线段、角这些基本图形的概念、性质、表示方法和画法； 2. 掌握圆、扇形及多边形的概念及相关计算； 3初步学会应用图形与几何的知识解释生活中的现象及解决简单的实际问题； 4逐步掌握学过的几何图形的表示方法，能根据语句画出相应的图形，会用语句描述简单 的图形 【知识网络知识网络】 【要点梳理】【要点梳理】 要点一、线段、射线、直线要点一、线段、射线、直线 1. .直线，射线与线段的区别与联系直线，射线与线段的区别与联系 第 2 页 共 10

2、页 2.2.基本性质基本性质 (1)(1)直线的性质直线的性质: :两点确定一条直线 (2)(2)线段的性质线段的性质: :两点之间，线段最短 要点诠释：要点诠释： 本知识点可用来解释很多生活中的现象. 如： 要在墙上固定一个木条， 只要两个钉子就可 以了，因为如果把木条看作一条直线，那么两点可确定一条直线. 连接两点间的线段的长度，叫做两点的距离. 3.3.画一条线段等于已知线段画一条线段等于已知线段 （1 1）度量法）度量法：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段. （2 2）用尺规作图法）用尺规作图法：用圆规在射线 AC 上截取 AB=，如下图： 4 4. .线段的线段的比

3、较与运算比较与运算 （1 1）线段的比较线段的比较： 比较两条线段的长短，常用两种方法，一种是度量法；一种是叠合法. （2 2）线段线段的和与差的和与差： 如下图，有 AB+BC=AC，或 AC=a+b；AD=AB-BD。 （3 3）线段的中点：）线段的中点： 把一条线段分成两条相等线段的点， 叫做线段的中点 如下图， 有： 1 2 AMMBAB D BA C B Ab a b a MBA 第 3 页 共 10 页 要点诠释：要点诠释： 线段中点的等价表述：如上图，点 M 在线段 AB 上，且有 1 2 AMAB，则点 M 为线段 AB 的中点. 除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的

4、三等分点、四等分点等.如下图， 点 M,N,P 均为线段 AB 的四等分点. PN MBA ABPBNPMNAM 4 1 要点二、角要点二、角 1 1. .角的角的度量度量 （1 1）角的角的定义定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这 两条射线是角的两条边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形. (2)(2)角的角的表示方法：表示方法：角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶 点的一个大写英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图： 要点诠释：要点诠释： 角的两种定义是从不同角度对角进行的定义； 当一个

5、角的顶点有多个角的时候，不能用顶点的一个大写字母来表示. （3 3）角度制及角度制及角度的换算角度的换算 1 周角=360，1 平角=180，1=60，1=60，以度、分、秒为单位的角的度量 制，叫做角度制. 要点诠释：要点诠释： 度、分、秒的换算是 60 进制，与时间中的小时分钟秒的换算相同. 度分秒之间的转化方法： 由度化为度分秒的形式(即从高级单位向低级单位转化)时用乘 法逐级进行；由度分秒的形式化成度(即低级单位向高级单位转化)时用除法逐级进行. 同种形式相加减：度加（减）度，分加（减）分，秒加（减）秒；超 60 进一，减一 成 60. （4 4）角的分类角的分类： 锐角 直角 钝角

6、平角 周角 范围范围 090 =90 90180 =180 =360 第 4 页 共 10 页 （5 5）画一个角等于已知角画一个角等于已知角 （1）借助三角尺能画出 15的倍数的角，在 0180之间共能画出 11 个角. （2）借助量角器能画出给定度数的角. （3）用尺规作图法. 2 2. .角的比较与运算角的比较与运算 （1 1）角的比较方法角的比较方法: : 度量法；叠合法. （2 2）角的平分线：）角的平分线： 从一个角的顶点出发， 把这个角分成相等的两个角的射线， 叫做这个角的平分线， 例如： 如下图，因为 OC 是AOB 的平分线，所以1=2= 1 2 AOB，或AOB=21=22

7、. 类似地，还有角的三等分线等. 3 3. .方位角方位角 以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角叫做方位角. 要点诠释：要点诠释： （1） 方位角还可以看成是将正北或正南的射线旋转一定角度而形成的.所以在应用中一要确 定其始边是正北还是正南.二要确定其旋转方向是向东还是向西， 三要确定旋转角度的大小. （2）北偏东 45通常叫做东北方向，北偏西 45通常叫做西北方向，南偏东 45通常叫 做东南方向，南偏西 45通常叫做西南方向. （3）方位角在航行、测绘等实际生活中的应用十分广泛. 要点三、多边形和圆的初步认识要点三、多边形和圆的初步认识 1.1.多边形及正多边形多边形

8、及正多边形： 多边形是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平 面图形其中，各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形如下图： 要点诠释：要点诠释： （1）n 边形有 n 个顶点、n 条边，对角线的条数为 (3) 2 n n （2）多边形按边数的不同可分为三角形、四边形、五边形、六边形等 第 5 页 共 10 页 2.2. 圆及扇形：圆及扇形： （1 1）圆：圆：如图，在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫做圆，固定的端点 O 叫做圆心，线段 OA 叫做半径. 以点 O 为圆心的圆， 记作“O” ，读作“圆 O” 要点诠释：要点诠释

9、：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小. （2 2）扇形：扇形：由一条弧 AB 和经过这条弧的端点的两条半径 OA，OB 所组成的图形叫做扇形. 如下图： 要点诠释：要点诠释： 扇形 OAB 的面积公式：； 扇形 OAB 的弧长公式： 180 n R l . 【典型例题】【典型例题】 类型类型一一、线段、射线线段、射线、直线、直线 1.下列判断错误的有( ) 延长射线 OA；直线比射线长，射线比线段长；如果线段 PAPB，则点 P 是线 段 AB 的中点；连接两点间的线段，叫做两点间的距离 A0 个 B2 个 C3 个 D4 个 【答案】D 【解析】由于射线向一方无限延伸，因此，不能延长射线；由

10、于直线向两方无限延伸， 射线向一方无限延伸，因此它们都是不能度量的，所以它们不存在相等或不相等的关系，而 线段是可以度量的，可以比较线段的长短；线段 PAPB，只有当点 P 在线段 AB 上时， 才是线段 AB 的中点，否则就不是；两点间的距离是表示大小的量，而线段是图形，二者 的本质属性不同 【总结升华】本题考查的是基本概念，要抓住概念间的本质区别 举一反三：举一反三： 【变式】平面上有五条直线，则这五条直线最多有_交点，最少有_个交点 【答案】10， 0 类型二、角类型二、角 第 6 页 共 10 页 2. (安徽芜湖)如图所示的 44 正方形网格中，1+2+3+4+5+6+7 等于 (

11、) A330 B315 C310 D320 【答案】B 【解析】通过网格的特征首先确定445由图形可知：l 与7 互余，2 与6 互 余，3 与5 互余，所以l+2+3+4+5+6+790+90+90+45315 【总结升华】互余的两个角只与数量有关，而与位置无关 举一反三：举一反三： 【变式】如图所示，AB 和 CD 都是直线，AOE90，3FOD，12720， 求2，3 【答案】 解：因为AOE90， 所以290-190-27206240 又AOD180-115240，3FOD 所以3 1 2 AOD7620 答：2 为 6240，3 为 7620 3. (山东潍坊)用 A、B、C 分别表

12、示学校、小明家、小红家，已知学校在小明家的南 偏东25，小红家在小明家正东，小红家在学校北偏东 35，则ACB 等于( ) A35 B55 C60 D84 【思路点拨】 这是生活中有关方位角问题， 解决这类问题， 只要分清方向， 正确地画出图形， 问题便会迎刃而解 【答案】B 【解析】根据题意画出图形如下： 第 7 页 共 10 页 ACB 与 35的和为 90，ACB=903555 【总结升华】解决有关方位角问题，只要分清方向，正确地画出图形，问题便迎刃而解 举一反三：举一反三： 【变式】(张家界模拟)考点办公室设在校园中心 O 点，带队老师休息室 A 位于 O 点的北偏 东 45，某考室

13、B 位于 O 点南偏东 60，请在图(1)中画出射线 OA、OB，并计算AOB 的度数 【答案】 解：如图(2)，以 O 为顶点，正北方向线为始边向东旋转 45，得 OA；以 O 为顶点，正南 方向线为始边向东旋转 60，得 OB，则AOB180-(45+60)75 4. 如图所示，时钟的时针由 3 点整的位置(顺时针方向)转过多少度时，与分针第一次 重合 【答案与解析】 解：设时针转过的度数为 x 时，与分针第一次重合，依题意有 12x90+x 解得 90 11 x 答：时针转过 90 11 时，与分针第一次重合 【总结升华】在相同时间里，分针转过的度数是时针的 12 倍，此外此问题可以转化

14、为追及 问题来解决 第 8 页 共 10 页 类型三、类型三、利用数学思想利用数学思想方法解决有关线段或角的计算方法解决有关线段或角的计算 1.1.方程的思想方法方程的思想方法 5. 如图所示，B、C 是线段 AD 上的两点，且 3 2 CDAB，AC35cm，BD44cm， 求线段 AD 的长 【答案与解析】 解：设 ABx cm，则 3 cm 2 CDx (35)cmBCx或 3 (44)cm 2 x 于是列方程，得 3 3544 2 xx 解得：x18，即 AB18(cm) 所以 BC35-x35-1817(cm) 33 1827 22 CDx(cm) 所以 ADAB+BC+CD18+1

15、7+2762(cm) 【总结升华】根据题中的线段关系，巧设未知数，列方程求解 2 2. .分类的思想方法分类的思想方法 6. 同一直线上有 A、B、C、D 四点，已知 AD 5 9 DB，AC 9 5 CB，且 CD4cm， 求 AB 的长 【思路点拨】先根据题意画出图形，再从图上直观的看出各线段的关系及大小 【答案与解析】 解：利用条件中的 AD 5 9 DB，AC 9 5 CB，设 DB9x，CB5y， 则 AD5x，AC9y，分类讨论： （1）当点 D，C 均在线段 AB 上时，如图所示： ABAD+DB14x，ABAC+CB14y， xy CDACAD9y5x4x4， x1， AB14

16、x14(cm) （2）当点 D，C 均不在线段 AB 上时，如图所示：方法同上，解得 8 7 AB (cm) （3）如图所示，当点 D 在线段 AB 上而点 C 不在线段 AB 上时，方法同上，解得 第 9 页 共 10 页 112 53 AB (cm) （4）如图所示，当点 C 在线段 AB 上而点 D 不在线段 AB 上时，方法同上，解得 112 53 AB (cm) 综上可得：AB 的长为 14cm， 8 7 cm， 112 53 cm 【总结升华】解决没有图形的题目时，一要注意满足条件下的图形的多样性；二要注意解决 的方法，注意方程法在解决图形问题中的应用. 在正确答案中，(3)与(4

17、)的答案虽然相同， 但作为图形上的差别应了解 类型类型四、多边形和圆四、多边形和圆 7.（1）操作与证明：如图所示，O 是边长为 a 的正方形 ABCD 的中心，将一块半径 足够长，圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在 O 处，并将纸板绕 O 点旋转，求证：正方形 ABCD 的边被纸板覆盖部分的总长度为定值 a （2）尝试与思考：如图 a、b 所示，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心角放在边长为 a 的正三角形或边长为 a 的正五边形的中心点处，并将纸板绕 O 旋转，当扇形纸板的圆心角 为_时，正三角形边被纸板覆盖部分的总长度为定值 a；当扇形纸板的圆心角为 _时，正五边形的边长被纸板覆盖部分的总长

18、度也为定值 a D E C B A O (a) (b) 【答案与解析】 解： （1）如图所示，不妨设扇形纸板的两边与正方形的边 AB、AD分别交于点 M、N，连 结 OA、OD 四边形 ABCD 是正方形 第 10 页 共 10 页 OAOD，AOD90，MAONDO45， 又MON=90，AOM=DON. AMO 与DNO 形状完全相同. AMDN AM+ANDN+ANADa （2）360120 3 ，所以当扇形纸板的圆心角为 120时，正三角形边被纸板覆盖部分的总 长度为定值 a；同理可得，当扇形纸板的圆心角为 72时，正五边形的边长被纸板覆盖部分 的总长度也为定值 a 【总结升华】 一般地， 将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为 a 的正 n 边形的中心 O 点处，若将纸板绕 O 点旋转，当扇形纸板的圆心角为 360 n 时，正 n 边形的边被纸板覆盖 部分的总长度为定值 a.