北京四中七年级上册数学丰富的图形世界（提高）知识讲解

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1、 第 1 页 共 6 页 丰富的图形世界丰富的图形世界（提高）（提高）知识讲解知识讲解 【学习目标】【学习目标】 1认识常见几何体的基本特征，能对这些几何体进行正确的识别和简单的分类，并能从组 合图形中分离出基本几何体； 2认识点、线、面、体的基本含义，了解点、线、面、体之间的关系； 3能辨认和画出从不同方向观察立方体及其简单组合体得到的形状图； 4了解直棱柱、圆柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图想象和制作立体模型 【要点梳理】【要点梳理】 要点一、立体图形要点一、立体图形 1 1 定义：定义： 图形的各部分不都在同一平面内，这样的图形就是立体图形，如长方体、圆柱、圆锥、 球等棱柱、棱锥也是常

2、见的立体图形 要点诠释：要点诠释： 常见的立体图形有两种分类方法： 2 2 棱柱的相关概念棱柱的相关概念： 在棱柱中，相邻两个面的交线叫做棱棱，相邻两个侧面的交线叫做侧棱侧棱 通常根据 底面图形的边数将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱它们底面图形的形状 分别为三角形、四边形、五边形、六边形（如下图） 要点诠释：要点诠释： （1）棱柱所有侧棱长都相等棱柱的上、下底面的形状相同，侧面的形状都是平 行四边形 （2）长方体、正方体都是四棱柱 （3）棱柱可分为直棱柱和斜棱柱直棱柱的侧面是长方形，斜棱柱的侧面是平行 四边形 3 3点、线、面、体点、线、面、体： 长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、

3、棱锥等都是几何体,几何体也简称体；包围 第 2 页 共 6 页 着体的是面,面有平的面和曲的面两种；面和面相交的地方形成线，线也分为直线和曲线两 种； 线和线相交的地方形成点 从上面的描述中我们可以看出点、 线、 面、 体之间的关系 此 外，从运动的观点看：点动成线，线动成面，面动成体 要点二、展开与折叠要点二、展开与折叠 有些立体图形是由一些平面图形围成，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形， 这样的平面图形称为相应立体图形的展开图 要点诠释：要点诠释：(1)不是所有的立体图形都可以展成平面图形例如，球便不能展成平面图形 (2)不同的立体图形可展成不同的平面图形； 同一个立体图形， 沿不

4、同的棱剪开， 也可得到不同的平面图 要点三、截一个几何体要点三、截一个几何体 用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面截面的形状可能是三角形、四边形、 五边形、六边形或圆等等 要点四、要点四、从从三个方向三个方向看看物体的形状物体的形状 一般是从以下三个方向：(1)从正面看；(2)从左面看；(3)从上面看从这三个方向看 到的图形分别称为正视图(也称主视图)、左视图、俯视图 （如下图） 【典型例题】【典型例题】 类型一、类型一、立体立体图形图形 1将图中的几何体进行分类，并说明理由 【思路点拨】首先要确定分类标准，可以按组成几何体的面的平或曲来划分，也可以按柱、 锥、球来划分 【答案与解析】

5、解：若按形状划分：(1)(2)(6)(7)是一类，组成它的各面全是平面；(3)(4)(5)是一类，组 成它的面至少有一个是曲面 若按构成划分：(1)(2)(4)(7)是一类，是柱体；(5)(6)是一类，即锥体；(3)是球体 【总结升华】先根据立体图形的底面的个数，确定它是柱体、锥体还是球体，再根据其侧面 是否为多边形来判断它是圆柱(锥)还是棱柱(锥) 第 3 页 共 6 页 类型二、类型二、点、线、面、体点、线、面、体 2. 18 世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存 在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问 题：

6、 (1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格： 你发现顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的关系式是_ _； (2)一个多面体的面数比顶点数大 8，且有 30 条棱，则这个多面体的面数是_； (3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而 成，且有 24 个顶点，每个顶点处都有 3 条棱设该多面体外表面三角形的个数为 x 个，八 边形的个数为 y 个，求 x+y 的值 【思路点拨】根据四面体、长方体、正八面体，正十二面体的顶点数、面数和棱数，总结出 顶点数（v） 、面数（F） 、棱数（E）之间存在的关系式，再用这个关系式解答后面的问题 【答案与解析】

7、 解：(1)6， 6， V+F-E2； (2)20； (3)这个多面体的面数为 x+y，棱数为 24 3 36 2 条， 根据 V+F-E2 可得 24+(x+y)-362， x+y14 【总结升华】欧拉公式：V（顶点数）+F（面数）-E（棱数）2 3将如右图所示的两个平面图形绕轴旋转一周，对其所得的立体图形，下列说法正确 的是（ ） A从正面看相同 B从左面看相同 C从上面看相同 D三个方向都不相同 第 4 页 共 6 页 【答案】D 【解析】 首先考虑三角形和长方形旋转后所得几何体的形状， 然后再根据两种几何体从不同 方向看所得到的图形做出判断 【总结升华】 “面动成体” ，要充分发挥空间

8、想象能力判断立体图形的形状 举一反三：举一反三： 【变式】如图把一个圆绕虚线旋转一周，得到的立体图形是（ ） A B C D 【答案】B 类型三、展开类型三、展开与折叠与折叠 4右下图是一个正方体的表面展开图，则这个正方体是( ) 【答案】D 【解析】 最直接的方法是做一个如图所示的正方体的表面展开图， 然后再折叠后进行对照即 可也可用排除法，观察正方体的表面展开图，可发现分成 4 块的面中的 4 个小正方形中有 3 块的颜色是阴影，这就可排除 A，再想象折叠的图形，可知正方体被分成 4 块的面的对面 应是阴影，这就可排除 B 、C，所以选 D 【总结升华】培养空间想想能力的方法有两种，一是通

9、过动手操作来解决；二是通过想象进 行确定正方体沿着棱展开，把各种展开图分类，可以总结为如下 11 种情况 举一反三：举一反三： 【变式】宜黄素有“华南虎之乡”的美誉将“华南虎之乡美”六个字填写在一个正方体的 六个面上，其平面展开图如图所示，那么在该正方体中，和“虎”相对的字是_ 第 5 页 共 6 页 【答案】 “美” 类型四、截一个几何体类型四、截一个几何体 5用一个平面去截一个正方体，如果截去的几何体是一个三棱锥，请回答下列问题： （1）截面一定是什么图形？ （2）剩下的几何体可能有几个顶点？ 【思路点拨】当截面截取由三个顶点组成的面时可以得到三角形，剩下的几何体有 7 个点， 当截面截取

10、一棱的一点和两底点组成的面时可剩下几何体有 8 个点，当截面截取由 2 条棱 中点和一顶点组成的面时剩下几何体有 9 个顶点当截面截取由三棱中点组成的面时，剩 余几何体有 10 个顶点 【答案与解析】 （1）如果截去的几何体是一个三棱锥，那么截面一定是一个三角形； （2）剩下的几何体可能有 7 个顶点、或 8 个顶点、或 9 个顶点、或 10 个顶点，如图所示 【总结升华】截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关 类型类型五五、从、从三个方三个方向看向看物体的形状物体的形状 6有一个正方体，在它的各个面上分别标有 1，2，3，4，5，6甲、乙、丙三名同 学从三个不同的角度去观察

11、此正方体， 观察结果如图所示， 问这个正方体各组对面上的数字 分别是几? 【答案与解析】 解：由图(1)(2)可知，1 号面与 2、3、4、6 相邻，所以与 1 号面相对的面是 5 号面；由图 (2)(3)可知，3 号面与 1、2、4、5 相邻，所以与 3 号面相对的面是 6 号面；由图(1)(3)可 知，4 号面与 1、3、5、6 相邻，所以与 4 号面相对的是 2 号面 所以，1 号面与 5 号面相对，2 号面与 4 号面相对，3 号面与 6 号面相对 【总结升华】找各面之间的相对位置关系 举一反三：举一反三： 【变式】用小立方块搭一个几何体，使得它的主视图和俯视图如图所示，这样的几何体只有 一种吗？它最少需要多少个小立方块？最多需要多少个小立方块？ 第 6 页 共 6 页 【答案】几何体的形状不唯一， 最少需要小方块的个数： 3 222 1 10 ， 最多需要小方块的个数： 3 3 2 3 1 16 主视图 俯视图