北京四中七年级上册数学勾股定理的逆定理 （提高）知识讲解

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1、第 1 页 共 5 页 勾股定理勾股定理的的逆定理（逆定理（提高提高） 【学习目标】【学习目标】 1. 理解勾股定理的逆定理，并能与勾股定理相区别； 2. 能运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形； 3. 理解勾股数的含义； 4. 通过探索直角三角形的判定条件的过程，培养动手操作能力和逻辑推理能力. 【要点梳理】【要点梳理】 要要点一、勾股定理的逆定理点一、勾股定理的逆定理 如果三角形的三条边长abc， ，满足 222 abc，那么这个三角形是直角三角形. 要点诠释：要点诠释： （1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“

2、形” ，是通过计算来判定一个三角 形是否为直角三角形. 要要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1） 首先确定最大边（如c）. （2） 验证 2 c与 22 ab是否具有相等关系.若 222 cab，则ABC 是C90的 直角三角形；若 222 cab，则ABC 不是直角三角形. 要点诠释：要点诠释：当 222 abc时，此三角形为钝角三角形；当 222 abc时，此三角形 为锐角三角形，其中c为三角形的最大边. 要要点点三三、勾股数、勾股数 满足不定方程 222 xyz的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数） ， 显然，以xyz、

3、、为三边长的三角形一定是直角三角形. 熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助： 3、4、5； 5、12、13；8、15、17；7、24、25；9、40、41 如果abc、 、是勾股数，当t为正整数时，以atbtct、 、为三角形的三边长，此三角形 必为直角三角形. 要点诠释：要点诠释： （1） 22 1 21nnn， ，（1,nn是自然数）是直角三角形的三条边长； （2） 22 22 , 21, 221nnnnn（n是自然数）是直角三角形的三条边 长； （3） 2222 ,2mnmnmn （,mn mn、是自然数）是直角三角形的三 条边长； 【典型例题】【典型例题】 类型类型一一、勾股定理勾股定理的

4、的逆定理逆定理 1、已知：在 ABC 中，CDAB 于 D，且 CD2=ADBD求证： ABC 总是直角三 角形 第 2 页 共 5 页 【思路点拨思路点拨】通过已知条件，建立起 ABC 三边的关系式，根据勾股定理逆定理解答. 【答案与解析】【答案与解析】 证明：CDAB ADC=BDC AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2 AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2 又CD2=ADBD AC2+BC2=AD2+2ADBD+BD2 =（AD+BD）2 =AB2 ACB=90 ABC 总是直角三角形 【总结升华总结升华】判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆

5、 定理加以判断即可 2、如图，点 D 是 ABC 内一点，把 ABD 绕点 B 顺时针方向旋转 60得到 CBE， 若 AD=4，BD=3，CD=5 （1）判断 DEC 的形状，并说明理由； （2）求ADB 的度数 【思路点拨思路点拨】把 ABD 绕点 B 顺时针方向旋转 60，注意旋转只是三角形的位置变了，三 角形的边长和角度并没有变，并且旋转的角度 60，因此出现等边 BDE，从而才能更有 利的判断三角形的形状和求ADB 的度数 【答案与解析】【答案与解析】 解： （1）根据图形的旋转不变性， AD=EC，BD=BE， 又DBE=ABC=60， ABC 和 DBE 均为等边三角形， 于是

6、DE=BD=3，EC=AD=4， 又CD=5， DE2+EC2=32+42=52=CD2； 故 DEC 为直角三角形 第 3 页 共 5 页 （2） DEC 为直角三角形， DEC=90， 又 BDE 为等边三角形， BED=60， BEC=90+60=150， 即ADB=150 【总结升华总结升华】此题考查了旋转后图形的不变性、全等三角形的性质、等边三角形的性质、勾 股定理的逆定理等知识，综合性较强，是一道好题解答（2）时要注意运用（1）的结论 举一反三：举一反三： 【变式】如图所示，在ABC 中，已知ACB90，ACBC，P 是ABC 内一点，且 PA3， PB1，PCCD2，CDCP，求

7、BPC 的度数 【答案】【答案】 解：连接 BD CDCP，且 CDCP2， CPD 为等腰直角三角形，即CPD45 ACP+BCPBCP+BCD90， ACPBCD CACB， CAPCBD(SAS)， DBPA3 在 RtCPD 中， 22222 228DPCPCD 又 PB1，则 2 1PB 2 9DB ， 22 8 19DBDPPB ， DPB 为直角三角形，且DPB90， CPBCPD+DPB45+90135 类型类型二二、勾股定理逆定理的应用勾股定理逆定理的应用 3、已知 a、b、c 是 ABC 的三边，且满足 438 324 abc ，且 a+b+c=12，请 你探索 ABC 的

8、形状 【答案与解析】【答案与解析】 解：令 438 324 abc =k 第 4 页 共 5 页 a+4=3k，b+3=2k，c+8=4k， a=3k4，b=2k3，c=4k8 又a+b+c=12， （3k4）+（2k3）+（4k8）=12， k=3 a=5，b=3，c=4 ABC 是直角三角形 【总结升华总结升华】此题借用设比例系数 k 的方法，进一步求得三角形的三边长，根据勾股定理的 逆定理判定三角形的形状 举一反三：举一反三： 【变式】如图所示，在 ABC 中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长为 36cm，点 P 从点 A 开始沿 AB 边向 B 点以每秒 1cm 的速度移动； 点

9、Q 从点 B 沿 BC 边向点 C 以每秒 2cm 的速 度移动，如果同时出发，则过 3 秒时， BPQ 的面积为 cm2 【答案【答案】18 解：设 AB 为 3xcm，BC 为 4xcm，AC 为 5xcm， 周长为 36cm， AB+BC+AC=36cm， 3x+4x+5x=36， 得 x=3， AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm， AB2+BC2=AC2， ABC 是直角三角形， 过 3 秒时，BP=931=6（cm） ，BQ=23=6（cm） ， S PBQ= BPBQ= 66=18（cm2） 4、如图所示，MN 以左为我国领海，以右为公海，上午 9 时 50 分我国缉私艇

10、 A 发现在 其正东方向有一走私艇 C 并以每小时 13 海里的速度偷偷向我国领海开来，便立即通知距其 5 海里，并在 MN 线上巡逻的缉私艇 B 密切注意，并告知 A 和 C 两艇的距离是 13 海里，缉私 艇 B 测得 C 与其距离为 12 海里，若走私艇 C 的速度不变，最早在什么时间进入我国海域？ 第 5 页 共 5 页 【答案与解析】【答案与解析】 解： 222222 51216913ABBCAC， ABC 为直角三角形 ABC90 又 BDAC，可设 CDx， 222 222 12 , (13)5 , xBD xBD 得 22 16926119xxx， 解得 144 13 x 144 144 13 13169 0.85(h)51(分) 所以走私艇最早在 10 时 41 分进入我国领海 【总结升华总结升华】 （1）本题用勾股定理作相等关系列方程解决问题， （2）用勾股定理的逆定理判 定直角三角形，为勾股定理的运用提供了条件