北京四中七年级上册数学二元一次方程（组）与一次函数（提高）知识讲解

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1、 第 1 页 共 6 页 二元一次方程（组）与一次函数（提高）二元一次方程（组）与一次函数（提高） 【学习目标】【学习目标】 1.理解二元一次方程与一次函数的关系； 2.能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解； 3.能利用二元一次方程组确定一次函数的表达式. 【要点梳理】【要点梳理】 要点一、二元一次方程与一次函数的关系要点一、二元一次方程与一次函数的关系 1. 任 何 一 个 二 元 一 次 方 程(0,)axbyc abc、为常数都 可 以 变 形 为 -(0,) ac yxabc bb 、为常数即为一个一次函数， 所以每个二元一次方程都对应一个一 次函数. 2.我们知道每个二元一次

2、方程都有无数组解， 例如： 方程5xy我们列举出它的几组 整数解有 0, 5; x y 5, 0; x y 2, 3 x y ，我们发现以这些整数解为坐标的点（0，5） ， （5，0） ， （2， 3）恰好在一次函数y5x的图像上，反过来，在一次函数xy 5的图像上任取一 点，它的坐标也适合方程5xy. 要点诠释：要点诠释： 1.以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图像上； 2.一次函数图像上的点的坐标都适合相应的二元一次方程； 3.以二元一次方程的解为坐标的所有点组成的图像与相应一次函数的图像相同. 要点二、二元一次方程组与一次函数要点二、二元一次方程组与一次函数 1. 1. 二元一次

3、方程组与一次函数二元一次方程组与一次函数 每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看， 解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形” 的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 要点诠释：要点诠释： 1.两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是： 在同一直角坐标系中， 两 个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的 解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数5yx与21yx 图象的交点为(2，3)，则 2 3 x y 就是二元一次方程组 5 21 xy x

4、y 的解. 2.当二元一次方程组无解时， 方程组中两方程未知数的系数对应成比例， 相应的两个一 次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个 一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.如二元一次方程组无 解，则一次函数35yx与31yx的图象就平行，反之也成立. 3.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合， 第 2 页 共 6 页 反之也成立. 2. 2. 图像法解二元一次方程组图像法解二元一次方程组 求二元一次方程组的解，可以转化为求两条直线的交点的横纵坐标（即二元一次方程 组的图像解法.）所以，解二元一次方程组的方

5、法有：代入消元法、加减消元法和图像法三 种. 要点诠释：要点诠释： 利用图像法求二元一次方程组的解是近似解，要得到准确解，一般还是用代入消元法 和加减消元法解方程组.相反，求两条直线的交点坐标可以转化为求这两条直线对应的函数 表达式联立的二元一次方程组的解. 要点三、要点三、用二元一次方程组确定一次函数表达式用二元一次方程组确定一次函数表达式 待定系数法：先设出函数表达式，再根据所给的条件确定表达式中未知数的系数，从而 得到函数表达式的方法，叫做待定系数法. 利用待定系数法解决问题的步骤： 1.确定所求问题含有待定系数解析式. 2.根据所给条件, 列出一组含有待定系数的方程. 3.解方程组或者

6、消去待定系数，从而使问题得到解决. 【典型例题】【典型例题】 类型一、类型一、二元一次方程与二元一次方程与一次函数一次函数 1、已知关系 x，y 的二元一次方程 3ax+2by=0 和 5ax3by=19 化成的两个一次函数的 图象的交点坐标为（1，1） ，则 a= _ ，b= _ 【答案】【答案】2；3； 【解析】【解析】解：两个一次函数的图象的交点坐标为（1，1） 则 x=1，y=1 同时满足两个方程，代入得：3a2b=0，5a+3b=19； 联立两式则有：， 解得：； 所以 a=2，b=3 【总结升华总结升华】一般地，每个二元一次方程组都对应着两个一次函数，也就是两条直线从 “数”的角度

7、看，解方程组就是求使两个函数值相等的自变量的值以及此时的函数值从 “形”的角度看，解方程组就是相当于确定两条直线的交点坐标 类型二、类型二、二元一次方程组与二元一次方程组与一次函数一次函数 2、用图象法解方程组： 20 21 xy yx ， 【思路点拨】【思路点拨】画出图象，两条直线的交点就是方程组的解. 【答案与解析】【答案与解析】 解法一：将方程组化为 2 21 yx yx ， ； 在坐标系中画出直线2yx和21yx 列表： 1234-1-2-3-4 -1 -2 -3 -4 -5 1 2 3 4 x y y=x-2 y=2x-1 第 3 页 共 6 页 x 0 2 2yx 2 0 x 0

8、0.5 21yx 1 0 由图象知 ，它们的交点坐标为（1，3） ，并进行验证 ； 可得原方程组的解为 1 3 x y ， 解法二：令21 (2)yxx ，即1yx 因为直线1yx与x轴（直线y0）的交点为（1，0） ， 所以方程组 20 21 xy yx ， 中1x，进而3y 【总结升华总结升华】一般地，若两条直线 11 yk xb和 22 yk xb的交点坐标为（m，n） ，则 方程组 11 22 yk xb yk xb ， ； 的解为 xm yn ， ； 其中 12 0k k 举一反三：举一反三： 【变式】如图所示，两条直线 l1与 l2的交点坐标可以看作方程组 _ 的解 【答案】【答案

9、】； 3、如图，已知函数2yxb和3yax的图象交于点 P（2，5） ，根据图象可 得方程23xbax的解是_. 第 4 页 共 6 页 【答案】【答案】2x； 【解析】【解析】把点 P（2，5） ，分别代入2yxb和3yax，可求出a，b的值，将其 代入方程23xbax并求解也可直接利用函数图象求解：方程的解是交点的横坐标. 【总结升华总结升华】解答此题的关键是利用函数图象上点的坐标的特征，交点的横坐标就是方程 23xbax的解. 类型三、用二元一次方程组确定一次函数表达式类型三、用二元一次方程组确定一次函数表达式 4、小聪和小明沿同一条路同时从学校出发到图书馆查阅资料，学校与图书馆的路程是

10、 4 千米小聪骑自行车，小明步行，当小聪从原路回到学校时，小明刚好到达图书 馆，图中折线 OABC 和线段 OD 分别表示两人离学校的路程s（千米）与所经 过的时间t（分钟）之间的函数关系，请根据图象回答下列问题： (1)小聪在图书馆查阅资料的时间为_分钟， 小聪返回学校的速度为_千米/分钟； (2)请你求出小明离开学校的路程s(千米)与历经过的时间t(分钟)之间的函数关系式； (3)当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是多少千米? 【思路点拨】【思路点拨】 （1）图象所示 AB 段为查阅资料时间.线段 BC 表示小聪返校时的图象.（2）s 是 t 的正比例函数，可设 skt，将（45,4

11、）代入求出 k 即可.（3）先求出直线 BC 的解析 式，再求出 BC 与 OD 的交点. 【答案与解析】【答案与解析】 解：(1)15 ； 4 15 ； (2)由图象可知，s是t的正比例函数 设所求函数的解析式为：(0)skt k 代入(45，4)得：445k解得 4 45 k 第 5 页 共 6 页 s与t的函数关系式为 4 (045) 45 stt (3)由图象可知，小聪在 30t45 的时段内与小明相遇 s是t的一次函数，设函数解析式为(0)smtn m， 代入（30，4） ， （45，0）得 304 450 mn mn 解得： 4 15 12 m n 4 12(3045) 15 st

12、t ，令 44 12 1545 tt， 解得 135 4 t 当 135 4 t 时， 4135 3 454 s 答：当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是 3 千米 【总结升华总结升华】 本题主要考查函数图象的识图与一次函数图象关系式的解法， 求函数关系式的 一般方法是待定系数法，函数问题是中考的必考知识点，应引起足够重视 举一反三：举一反三： 【变式】甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度 y（m）与挖掘时间 x （h）之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题： （1）描述乙队在 06（h）内所挖河渠的长度变化情况； （2）请你求出：乙队在 2x6 的时段内

13、，y 与 x 之间的函数关系式； （3）当 x 为何值时，甲队在施工过程中所挖河渠的长度 y 的值在 30 和 50 之间变化？ 【答案】【答案】 解： （1）如图，乙队从挖河渠开始至 2 时，长度由 0 米增加到 30 米，从第 2 时至 6 时，长 度由 30 米增加到 60 米 （2）设乙队在 2x6 的时段内 y 与 x 之间的函数关系式为 y=kx+b， 由图可知，函数图象过点（2，30） 、 （6，50） ， ，解得， y=5x+20； （7 分） （3）设甲队在 0x6 的时段内 y 与 x 之间的函数关系式 y=kx， 由图可知，函数图象过点（6，60） ， 6k=60，解得 k=10， y=10x 当 y=30 时，x=3； 第 6 页 共 6 页 当 y=50 时，x=5 当 3x5 时，甲队所挖河渠的长度 y 的值在 30 和 50 之间变化