北京四中七年级上册数学乘法公式（基础）知识讲解

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1、 第 1 页 共 4 页 乘法公式（基础）乘法公式（基础） 【学习目标】【学习目标】 1. 掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义； 2. 学会运用平方差公式、 完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义， 能利用公式进行乘 法运算； 3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算. 【要点梳理】【要点梳理】 要要点一、平方差公式点一、平方差公式 平方差公式： 22 ()()ab abab 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 要点诠释：要点诠释：在这里，ba,既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍

2、然是把握平方差公式的典型特征： 既有相同项，又有“相反项” ，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变 式有以下类型： （1）位置变化：如()()abba 利用加法交换律可以转化为公式的标准型 （2）系数变化：如(35 )(35 )xyxy （3）指数变化：如 3232 ()()mnmn （4）符号变化：如()()ab ab （5）增项变化：如()()mnp mnp （6）增因式变化：如 2244 ()()()()ab ab abab 要要点二、完全平方公式点二、完全平方公式 完全平方公式： 2 22 2abaabb 222 2)(bababa 两数和 (差)的平方等于这两数的平

3、方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 要点诠释：要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两 数的平方和加（或减）这两数之积的 2 倍.以下是常见的变形： 2 22 2ababab 2 2abab 22 4ababab 要要点三、添括号法则点三、添括号法则 添括号时， 如果括号前面是正号， 括到括号里的各项都不变符号； 如果括号前面是负号， 括到括号里的各项都改变符号. 要点诠释：要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查 第 2 页 共 4 页 添括号是否正确. 要要点四、补充公式点四、补充公式 2 ()()()xp xqxpq

4、xpq； 2233 ()()ab aabbab； 33223 ()33abaa babb； 2222 ()222abcabcabacbc . 【典型例题】【典型例题】 类型一、平方差公式的应用类型一、平方差公式的应用 1、下列两个多项式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能?能用平方差公式计算的， 写出计算结果 (1)2332abba； (2) 2323abab； (3) 2323abab； (4) 2323abab； (5) 2323abab； (6) 2323abab 【思路点拨】【思路点拨】两个多项式因式中，如果一项相同，另一项互为相反数就可以用平方差公式. 【答案与解析】【答案与解析】 解

5、：(2)、(3)、(4)、(5)可以用平方差公式计算，(1)、(6)不能用平方差公式计算 (2) 2323abab 2 3b 2 2a 22 94ba (3) 2323abab 2 2a 2 3b 22 49ab (4) 2323abab 2 2a 2 3b 22 49ab (5) 2323abab 2 3b 2 2a 22 94ba 【总结升华总结升华】利用平方差公式进行乘法运算，一定要注意找准相同项和相反项（系数为相反 数的同类项） 举一反三：举一反三： 【变式】计算： （1） 33 2222 xx yy ； （2）( 2)( 2)xx ； （3）( 32 )(23 )xyyx 【答案】【

6、答案】 解： （1）原式 22 2 2 39 2244 xx yy （2）原式 222 ( 2)4xx 第 3 页 共 4 页 （3）原式 22 (32 )(23 )(32 )(32 )94xyyxxyxyxy 2、计算： (1)59.960.1； (2)10298 【答案【答案与解析与解析】 解：(1)59.960.1(600.1)(600.1) 22 600.136000.013599.99 (2)10298(1002)(1002) 22 10021000049996 【总结升华总结升华】 用构造平方差公式计算的方法是快速计算有些有理数乘法的好方法， 构造时可 利用两数的平均数，通过两式(

7、两数)的平均值，可以把原式写成两数和差之积的形式这样 可顺利地利用平方差公式来计算 举一反三：举一反三： 【变式】用简便方法计算： (1)8999011； (2)9910110001； (3) 2 200520062004； 【答案】【答案】 解：(1)原式(9001)(9001)1 22 90011810000 (2)原式(1001)(1001)10001 2 100110001 (100001)(100001)100000000199999999 (3)原式 2 2005(20051)(20051) 2 2005( 2 2005 2 1)1 类型二、完全平方公式的应用类型二、完全平方公式的

8、应用 3、计算： (1) 2 3ab； (2) 2 32a ； (3) 2 2xy； (4) 2 23xy 【思路点拨】【思路点拨】此题都可以用完全平方公式计算，区别在于是选“和”还是“差”的完全平方 公式. 【答案与解析】【答案与解析】 解：(1) 22 222 332 396abaa bbaabb (2) 222 22 322322 2334129aaaaaa (3) 22 222 222244xyxxyyxxyy (4) 2222 22 232322 2334129xyxyxxyyxxyy 第 4 页 共 4 页 【总结升华总结升华】 (1)在运用完全平方公式时要注意运用以下规律： 当所

9、给的二项式符号相同时， 结果中三项的符号都为正，当所给的二项式符号相反时，结果中两平方项为正，乘积项的符 号为负(2)注意 22 abab 之间的转化 4、计算：(1) 2 2002；(2) 2 1999(3) 2 999.9 【答案与解析】【答案与解析】 解：(1) 2 222 20022000220002 2000 22 4000000800044008004 (2) 2 222 19992000 120002 2000 1 1 4000000400013996001 (3) 2 222 999.910000.110002 1000 0.1 0.1 10000002000.01999800

10、.01 【总结升华总结升华】构造完全平方公式计算的方法适合求接近整数的数的平方 5、已知7ab，ab12求下列各式的值： (1) 22 aabb；(2) 2 ()ab 【答案与解析】【答案与解析】 解：(1) 22 aabb 22 abab 2 ab3ab 2 731213 (2) 2 ab 2 ab4ab 2 74121. 【总结升华总结升华】由乘方公式常见的变形： 2 ab 2 ab4ab； 22 ab 2 ab 2ab 2 ab2ab解答本题关键是不求出, a b的值，主要利用完全平方公式的整体 变换求代数式的值 举一反三：举一反三： 【变式】已知 2 ()7ab， 2 ()4ab，求 22 ab和ab的值 【答案】【答案】 解：由 2 ()7ab，得 22 27aabb； 由 2 ()4ab，得 22 24aabb 得 22 2()11ab， 22 11 2 ab 得43ab， 3 4 ab