北京四中七年级上册数学变量与函数--知识讲解

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1、第 1 页 共 5 页 变量与函数变量与函数 【学习目标】【学习目标】 1知道现实生活中存在变量和常量，变量在变化的过程中有其固有的范围（即变量的取值 范围） ； 2能初步理解函数的概念；能初步掌握确定常见简单函数的自变量取值范围的基本方法； 给出自变量的一个值，会求出相应的函数值；对函数关系的表示法（如列表法、关系式 法、图象法）有初步认识； 3. 理解函数图象上的点的坐标与其关系式之间的关系， 会判断一个点是否在函数的图象上， 明确交点坐标反映到函数上的含义；初步理解函数的图象的概念，掌握用“描点法”画 一个函数的图象的一般步骤，对已知图象能读图、识图，从图象解释函数变化的关系 【要点梳理

2、】【要点梳理】 要点一、要点一、变量、常量的概念变量、常量的概念 在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量.数值保持不变的量叫做常量. 要点诠释：要点诠释：一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化 过程而言的.例如，60st，速度 60 千米/时是常量，时间t和里程s为变量. 要点二、要点二、函数的定义函数的定义 一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值， y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x是自变量，y是x的函数. 要点诠释：要点诠释：对于函数的定义，应从以下几个方面去理解： （1）函数的实质，揭示了两个变量之间

3、的对应关系； （2）对于自变量x的取值，必须要使代数式有实际意义； （3）判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于x允许取的每一个值，y是否 都有唯一确定的值与它相对应. （4）两个函数是同一函数至少具备两个条件： 函数关系式相同（或变形后相同）； 自变量x的取值范围相同. 否则， 就不是相同的函数.而其中函数关系式相同与否比较容易注意到， 自变 量x的取值范围有时容易忽视，这点应注意. 要点三、要点三、函数值函数值 对于自变量在可取值范围内的一个确定的值 a,函数有唯一确定的对应值，这个对应值 称为当自变量等于 a 时的函数值. 要点诠释：要点诠释：对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但

4、反过来，可以不唯一，即一个函 数值对应的自变量可以是多个.比如： 2 yx中，当函数值为 4 时，自变量x的值为2. 要点四、要点四、自变量取值范围的确定自变量取值范围的确定 使函数有意义的自变量的取值的全体实数叫自变量的取值范围. 要点诠释：要点诠释：自变量的取值范围的确定方法： 首先，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义： （1）当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数； （2）当解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数； （3）当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数； （4）当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的底数 不为

5、零； 第 2 页 共 5 页 （5）当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义. 要点五、要点五、函数的几种表达方式函数的几种表达方式 表示函数的方法一般有以下三种： （1）列表法：函数关系用一个表格表达出来的方法. （2）关系式法：用来表示函数关系的等式叫做函数关系式，也称函数的解析式. （3）图象法：用图象表达两个变量之间的关系. 要点诠释：要点诠释：函数的三种表示方法各有不同的长处. 关系式法能揭示出变量之间的内在联系， 但较抽象， 不是所有的函数都能列出关系式； 列表法可以清楚地列出一些自变量和函数值的 对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平

6、方表等；图象 法可以直观形象地反映函数的变化趋势， 而且对于一些无法用解析式表达的函数， 图象可以 充当重要角色. 要点六、要点六、函数的图象函数的图象 对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标 平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象. 要点诠释：要点诠释：由函数解析式画出图象的一般步骤：列表、描点、连线.列表时，自变量的取值 范围应注意兼顾原则， 既要使自变量的取值有一定的代表性， 又不至于使自变量或对应的函 数值太大或太小，以便于描点和全面反映图象情况. 【典型例题】【典型例题】 类型一、类型一、变量与函数变量与函数 1、下列等式中，y是x的函数有

7、（ ） 22 320,1,|,|xyxyyxyxxy A .1 个 B.2 个 C. 3 个 D.4 个 【答案【答案】C； 【解析【解析】要判断是否为函数，需判断两个变量是否满足函数的定义.对于 22 1,xy 当x 取 2，y有两个值3和它对应，对于|xy，当x取 2，y有两个值2 和它 对应，所以这两个式子不满足函数的定义的要求：y都有唯一确定的值与x对应， 所以不是函数，其余三个式子满足函数的定义，故选 C. 【总结升华总结升华】在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值， y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.抓住函数定义中 的关键

8、词语“y都有唯一确定的值” ，x与y之间的对应，可以是“一对一” ，也可以是“多 对一” ，不能是“一对多”. 举一反三：举一反三： 【变式】下列函数中与xy 表示同一函数的是（ ） A.xy B. x x y 2 C. 2 )( xy D. 33 xy 【答案】【答案】D； 提示：表示同一函数，自变量的取值要相同，化简后的解析式要相同. 第 3 页 共 5 页 2、如图所示，下列各曲线中表示y是x的函数的有( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【答案】【答案】 C； 【解析】【解析】这是一道函数识别题，从函数概念出发，领悟其内涵，此题不难得到答案，不构 成函数关系 【总结升华总结升

9、华】在函数概念中注意两点：有两个变量，其中一个变量每取一个确定的值，另一 个变量就有唯一的一个值与其对应 类型二、类型二、函数函数关系关系式式 3、求出下列函数中自变量x的取值范围 （1）5 2 xxy （2） 4 23 x y x （3）23yx （4） 21 x y x （5） 3 1 2yx （6） 3 2 x y x 【思路点拨】【思路点拨】自变量的范围，是使函数有意义的x的值，大致是开平方时，被开方数是非负 数，分式的分母不为零等等. 【答案与解析】【答案与解析】 解： （1）5 2 xxy ，x为任何实数，函数都有意义； （2） 4 23 x y x ，要使函数有意义，需 2x30

10、，即x 3 2 ； （3）23yx，要使函数有意义，需 2x30，即 3 2 x ； （4） 21 x y x ，要使函数有意义，需 2x10，即 1 2 x ； （5） 3 1 2yx，x为任何实数，函数都有意义； （6） 3 2 x y x ，要使函数有意义，需 30 20 x x ，即x3 且x2. 【总结升华总结升华】自变量的取值范围必须使整个解析式有意义. 4、如图所示，在ABC 中，C90，AC6，BC10，设 P 为 BC 上任一点，点 P 第 4 页 共 5 页 不与点 B、C 重合，且 CPx若y表示APB 的面积 (1)求y与x之间的函数关系式； (2)求自变量x的取值范围

11、 【答案与解析】【答案与解析】 解： (1)因为 AC6，C90，BC10， 所以 11 6 1030 22 ABC SACBC 又 11 63 22 APC SACPCxx ， 所以303 APBABCAPC ySSSx ，即303yx (2)因为点 P 不与点 B、C 重合，BC10，所以 0x10 【总结升华总结升华】利用三角形面积公式找到函数关系式，要把握点 P 是一动点这个规律，结合图 形观察到点 P 移动到特殊点，便可求出自变量的取值范围 举一反三：举一反三： 【变式】 小明在劳动技术课中要制作一个周长为 80cm的等腰三角形请你写出底边长 y(cm)与腰长x(cm)的函数关系式，

12、并求自变量x的取值范围 【答案】【答案】 解：由题意得，2xy80, 所以802yx， 由于三角形两边之和大于第三边，且边长大于 0， 所以 0 8020 2802 x yx xx ，解得20 40x 所以802 , 2040yxx. 类型三、类型三、函数值函数值 5、 若y与x的关系式为306yx，当x 1 3 时，y的值为（ ） A5 B10 C4 D4 【思路点拨】【思路点拨】把 1 3 x 代入关系式可求得函数值. 【答案】【答案】C； 第 5 页 共 5 页 【解析】【解析】 1 3061064 3 y . 【总结升华总结升华】y是x的函数， 如果当xa时yb， 那么b叫做当自变量为

13、a时的函数值. 类型四、类型四、函数的图象函数的图象 6、星期日晚饭后，小红从家里出去散步，如图所示，描述了她散步过程中离家的距离 s（m）与散步所用的时间t（min）之间的函数关系，该图象反映的过程是：小红从 家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会报后，继续向前走了一段，在邮亭买了一本杂 志，然后回家了依据图象回答下列问题 （1）公共阅报栏离小红家有_米，小红从家走到公共阅报栏用了_分钟； （2）小红在公共阅报栏看新闻一共用了_分钟； （3）邮亭离公共阅报栏有_米，小红从公共阅报栏到邮亭用了_分钟； （4）小红从邮亭走回家用了_分钟，平均速度是_米分钟 【答案【答案】 （1）300，4； （2

14、）6； （3）200，3； （4）5，100. 【解析】解析】由图象可知，0 到 4 分钟，小红从家走到离家 300 米的报栏，4 到 10 分钟，在公共 报栏看新闻， 10 到 13 分钟从报栏走到 200 米外的邮亭， 13 到 18 分钟， 从离家 500 米的邮亭返回家里. 【总结升华总结升华】这个函数图象是由几条线段组成的折线，其中每条线段代表一个阶段的活动. 这条线段左右端点的横坐标的差，对应相应活动所用的时间. 举一反三：举一反三： 【变式】 一列货运火车从南京站出发， 匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶， 过了一段时间， 火车到达下一个车站停下，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次开始 匀速行驶，可以近似地刻画出火车在这段时间内的速度变化情况的是( ) 【答案】【答案】B；