北京四中九年级下册数学直线与圆、圆与圆的位置关系—知识讲解（基础）

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1、第 1 页 共 6 页 直线与圆、圆与圆的位置关系直线与圆、圆与圆的位置关系知识讲解（基础）知识讲解（基础） 【学习目标】【学习目标】 1.理解并掌握直线与圆、圆与圆的各种位置关系； 2.理解切线的判定定理、性质定理和切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念，并熟练 掌握以上内容解决一些实际问题； 3.了解两个圆相离(外离、内含)，两个圆相切(外切、内切)，两圆相交，圆心距等概念理解两圆的位 置关系与 d、r1、r2数量关系的等价条件并灵活应用它们解题 【要点梳理】【要点梳理】 要要点点一一、直线和圆的位置关系直线和圆的位置关系 1 1直线和圆的三种位置关系：直线和圆的三种位置关系：

2、 (1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交这时直线叫做圆的割线 (2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点 叫做切点 (3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离 2 2直线与圆的位置关系的判定和性质直线与圆的位置关系的判定和性质 直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？ 由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和 点(圆心)的位置关系下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径； 图(3)中直线与圆心的距离大于半径 如

3、果O 的半径为 r，圆心 O 到直线 的距离为 d，那么 要点诠释：要点诠释： 这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质； 从右边到左边则是直线与圆的位 置关系的判定 要要点点二二、切线的判定定理切线的判定定理、性质定理性质定理和切线长定理和切线长定理 1 1切线的判定定理：切线的判定定理： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 要点诠释：要点诠释： 切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可. 2 2切线的性质定理：切线的性质定理： 圆的切线垂直于过切点的半径. 第 2 页 共 6 页 3 3切线长：切线长： 经过圆

4、外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长. 要点诠释：要点诠释： 切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 4 4切线长定理：切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 要点诠释：要点诠释： 切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等. 5 5三角形的内切圆：三角形的内切圆： 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 6 6三角形的内心：三角形的内心： 三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心到三边的距 离都相等. 要点诠释：要点

5、诠释： (1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形； (2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积 的一半，即(S 为三角形的面积，P 为三角形的周长，r 为内切圆的半径). (3) 三角形的外心与内心的区别： 名称 确定方法 图形 性质 外心(三角形 外接圆的圆 心) 三角形三边中垂线的 交点 (1) 到三角形三个顶点的距 离相等，即 OA=OB=OC；(2) 外心不一定在三角形内部 内心(三角形 内切圆的圆 心) 三角形三条角平分线 的交点 (1)到三角形三边距离相等； (2)OA、OB、OC 分别平分 BAC

6、、ABC、ACB； (3)内 心在三角形内部. 要要点点三三、圆和圆的位置关系、圆和圆的位置关系 1 1圆与圆的五种位置关系的定义圆与圆的五种位置关系的定义 两圆外离：两个圆没有公共点，且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离. 两圆外切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时， 叫做这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点. 两圆相交：两个圆有两个公共点时，叫做这两圆相交. 两圆内切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时， 叫做这两个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点. 两圆内含：两个圆没有公共点，且一个圆上的

7、点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含. 第 3 页 共 6 页 2 2两圆的位置与两圆的半径、圆心距间的数量关系：两圆的位置与两圆的半径、圆心距间的数量关系： 设O1的半径为 r1，O2半径为 r2， 两圆心 O1O2的距离为 d，则： 两圆外离 dr1+r2 两圆外切 d=r1+r2 两圆相交 r1-r2dr1+r2 (r1r2) 两圆内切 d=r1-r2 (r1r2) 两圆内含 dr1-r2 (r1r2) 要点诠释：要点诠释： (1) 圆与圆的位置关系，既考虑它们公共点的个数，又注意到位置的不同，若以两圆的公共点个数 分类，又可以分为：相离(含外离、内含)、相切(含内切、外切)、相交；

8、 (2) 内切、外切统称为相切，唯一的公共点叫作切点； (3) 具有内切或内含关系的两个圆的半径不可能相等，否则两圆重合. 【典型典型例题】例题】 类型一、类型一、直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 1在 RtABC 中，C=90，AC=3 厘米，BC=4 厘米，以 C 为圆心，r 为半径的圆与 AB 有怎样的 位置关系？为什么？ (1)r=2 厘米； (2)r=2.4 厘米； (3)r=3 厘米 【答案与解析】 过 C 点作 CDAB 于 D， 在 RtABC 中，C=90， AC=3，BC=4，得 AB=5， 第 4 页 共 6 页 ，ABCD=ACBC， AC BC34 CD=2.4

9、AB5 (cm)， （1）当 r =2cm 时 CDr，圆 C 与 AB 相离； （2）当 r= 2.4cm 时，CD=r，圆 C 与 AB 相切； (3）当 r=3cm 时，CDr，圆 C 与 AB 相交 【总结升华】欲判定C 与直线 AB 的关系，只需先求出圆心 C 到直线 AB 的距离 CD 的长，然后再与 r 比 较即可 举一反三：举一反三： 【变式】【变式】如图，P 点是AOB 的平分线 OC 上一点，PEOA 于 E，以 P 为圆心，PE 为半径作P .求证： P 与 OB 相切。 【答案】作 PFOB 于 F，则可证明OEPOFP，所以 PF=PE，即 F 在圆 P 上，故P 与

10、 OB 相切. 2如图所示，在 RtABC 中，B90，A 的平分线交 BC 于 D，以 D 为圆心，DB 长为半径作 D求证：AC 是D 的切线 【思路点拨】作垂直，证半径 第 5 页 共 6 页 【答案与解析】 过 D 作 DFAC 于 F B90， DBAB 又 AD 平分BAC， DFBD半径 AC 与D 相切 【总结升华】如果已知条件中不知道直线与圆有公共点，其证法是过圆心作直线的垂线段，再证明垂线 段的长等于半径的长即可 类型类型二二、圆与圆的位置关系、圆与圆的位置关系 3(1)已知两圆的半径分别为 3cm，5cm，且其圆心距为 7cm，则这两圆的位置关系是( ) A外切 B内切

11、C相交 D相离 (2)已知O1与O2相切，O1的半径为 3cm，O2的半径为 2cm，则 O1O2的长是( ) A1cm B5cm C1cm 或 5cm D0.5cm 或 2.5cm 【答案】 （1）C ； （2）C. 【解析】(1)由于圆心距 d7cm，R+r5+38(cm)，R-r5-32(cm) R-rdR+r，故这两圆的位置关系是相交 (2)两圆相切包括外切和内切，当O1与O2外切时，dO1O2R+r3+25(cm)； 当O1与O2内切时，dO1O2R-r3-21(cm) 【总结升华】由数量确定位置或由位置确定数量的依据是：两圆外离dR+r；两圆外切d R+r；两圆相交R-rdR+r；

12、两圆内切dR-r；两圆内含dR-r 4已知： 如图， O1与O2外切于 A 点， 直线 l 与O1、 O2分别切于 B， C 点， 若O1的半径 r1=2cm， O2的半径 r2=3cm求 BC 的长 【思路点拨】首先连接 O1B，O2C，O1O2，过点 O1作 O1DO2C 于 D，由直线 l 与O1、O2分别切于 B，C 点，可得四边形 O1BCD 是矩形，即可知 CD=O1B=r1=2cm，BC=O1D，然后在 RtO2DO1中，利用勾股定理即可 求得 O1D 的长，即可得 BC 的长 第 6 页 共 6 页 【答案与解析】 解：连接 O1B，O2C，O1O2，过点 O1作 O1DO2C

13、 于 D， 直线 l 与O1、O2分别切于 B，C 点， O1BBC，O2CBC， 四边形 O1BCD 是矩形， CD=O1B=r1=2cm，BC=O1D， O2D=O2C-CD=3-2=1（cm）， ，O1与O2外切于 A 点， 在 RtO2DO1中，O2O1=r1+r2=2+3=5（cm）， O1D=26（cm）， BC=26cm 【总结升华】此题考查了相切两圆的性质、切线的性质、矩形的判定与性质以及勾股定理此题难度适 中，解题的关键是准确作出辅助线，掌握相切两圆的性质 举一反三：举一反三： 【变式】【变式】如图所示，在ABC 中，ABBC2，以 AB 为直径的O 与 BC 相切于点 B，则 AC 等于( ) A2 B3 C2 2 D2 3 【答案】因为以 AB 为直径的O 与 BC 相切于点 B，所以ABC90，在 RtABC 中， 2222 222 2ACABBC，故选 C