北京四中九年级下册数学圆》全章复习与巩固—知识讲解（基础）

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1、 第 1 页 共 11 页 圆全章复习与巩固圆全章复习与巩固知识讲解知识讲解（基础）（基础） 【学习目标】【学习目标】 1理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系； 2.探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所 对的圆周角的特征； 3了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆 的切线，会过圆上一点画圆的切线； 4了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆； 5了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、 圆锥的侧面积及全面积； 6结合相关图

2、形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的 表达能力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力. 【知识网络】【知识网络】 【要点梳理】【要点梳理】 要要点一点一、圆的定义、性质及与圆有关的角圆的定义、性质及与圆有关的角 1 1圆的定义圆的定义 (1)线段 OA 绕着它的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的封闭曲线，叫做圆. (2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合. 要点诠释：要点诠释： 圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可； 圆是一条封闭曲线. 2 2圆的性质圆的性

3、质 (1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形， 对称中心是圆心. 在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等， 第 2 页 共 11 页 那么它所对应的其他各组分别相等. (2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴. (3)垂径定理及推论： 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧. 平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦. 平行弦夹的弧相等. 要点诠释：要点诠释：

4、在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧， 在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意： “过圆心、平分弦”作为题设时，平 分的弦不能是直径） 3 3两圆的性质两圆的性质 (1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线. (2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点. 4 4与圆有关的角与圆有关的角 (1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角. 圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数. (2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角. 圆周角的性质： 圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半. 同弧或等弧所对

5、的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. 90的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角. 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角. 要点诠释：要点诠释： (1)圆周角必须满足两个条件：顶点在圆上；角的两边都和圆相交. (2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中. 要要点二点二、与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系 1 1判定一个点判定一个点 P P 是否在是否在O O 上上 设O 的半径为，OP=，则有 点 P 在O 外； 点 P 在O 上；点 P 在O 内. 要点诠释：要点诠释： 点和圆的

6、位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知 道数量关系也可以确定位置关系. 2 2判定几个点判定几个点 12n AAA、 在同一个圆上的方法在同一个圆上的方法 当时，在O 上. 3 3直线和圆的位置关系直线和圆的位置关系 设O 半径为 R，点 O 到直线 的距离为. (1)直线 和O 没有公共点直线和圆相离. (2)直线 和O 有唯一公共点直线 和O 相切. (3)直线 和O 有两个公共点直线 和O 相交. 4 4切线的判定、性质切线的判定、性质 (1)切线的判定： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的

7、切线. 第 3 页 共 11 页 (2)切线的性质： 圆的切线垂直于过切点的半径. 经过圆心作圆的切线的垂线经过切点. 经过切点作切线的垂线经过圆心. (3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长. (4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条 切线的夹角. 5 5圆和圆的位置关系圆和圆的位置关系 设的半径为，圆心距. (1)和没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外离 . (2)和没有公共点，且的每一个点都在内部内含 (3)和有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部外切 . (4)和有唯一公共点

8、，除这个点外，的每个点都在内部内切 . (5)和有两个公共点相交. 两圆的五种位置关系可以概括为三类： 要要点三点三、三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形 1 1三角形的内心、外心、重心、垂心三角形的内心、外心、重心、垂心 (1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它 到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示. (2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三 角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶

9、点的距离相等，通常用 O 表示. (3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的 2 倍，通常用 G 表示. (4)垂心：是三角形三边高线的交点. 要点诠释：要点诠释： (1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形； (2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积 的一半，即(S 为三角形的面积，P 为三角形的周长，r 为内切圆的半径). (3) 三角形的外心与内心的区别： 名称 确定方法 图形 性质 第 4 页 共 11 页 外心(三角形 外接圆的圆 心) 三角形三边中垂线的

10、 交点 (1)OA=OB=OC；(2)外心不一 定在三角形内部 内心(三角形 内切圆的圆 心) 三角形三条角平分线 的交点 (1)到三角形三边距离相等； (2)OA、OB、OC 分别平分 BAC、ABC、ACB； (3)内 心在三角形内部. 2 2圆内接四边形和外切四边形圆内接四边形和外切四边形 (1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角. (2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等. 要要点四点四、圆中有关计算圆中有关计算 1 1圆中有关计算圆中有关计算 圆的面积公式：，周长. 圆心角为、半径为 R 的弧长. 圆心角为，半径为

11、 R，弧长为 的扇形的面积. 弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算. 圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为 R，母线长为 的圆柱的体积为，侧面积为，全 面积为. 圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为 R，母线长为 ，高为的圆锥的侧面积为，全面积为 ，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有. 要点诠释：要点诠释： (1)对 于 扇形 面 积公 式 ， 关键 要 理解 圆心 角 是 1 的 扇形 面积 是 圆 面积 的， 即 ； (2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积 S、扇形半径 R、扇形的圆心角，知道其中的两个量 就可以求出第三个量. (3)扇形面积公式， 可根据题目条件灵活选择使用

12、， 它与三角形面积公式有点 类似，可类比记忆； (4)扇形两个面积公式之间的联系：. 【典型典型例题】例题】 类型一、圆的类型一、圆的有关概念及性质有关概念及性质 1如图所示，ABC的三个顶点的坐标分别为A(1，3)、B (2，2)、C (4，2)，则ABC 第 5 页 共 11 页 外接圆半径的长度为 【答案】13； 【解析】由已知得 BCx 轴，则 BC 中垂线为 24 1 2 x 那么，ABC 外接圆圆心在直线 x=1 上， 设外接圆圆心 P(1,a)，则由 PA=PB=r 得到：PA 2=PB2 即(1+1) 2+(a-3)2=(1+2)2+(a+2)2 化简得 4+a 2-6a+9=

13、9+a2+4a+4 解得 a=0 即ABC 外接圆圆心为 P(1,0) 则 22 (1 1)(03)13rPA 【总结升华】 三角形的外心是三边中垂线的交点，由 B、C 的坐标知：圆心 P（设ABC 的外心为 P）必 在直线 x=1 上；由图知：BC 的垂直平分线正好经过（1，0），由此可得到 P（1，0）；连接 PA、PB，由勾股定理即可求得P 的半径长 类型二、弧、弦、圆心角、圆周角的关系及垂径定理类型二、弧、弦、圆心角、圆周角的关系及垂径定理 2如图所示，O 的直径 AB 和弦 CD 相交于点 E，已知 AE1cm，EB5cm，DEB60， 求 CD 的长 【思路点拨】 作 OFCD 于

14、 F，构造 RtOEF，求半径和 OF 的长；连接 OD，构造 RtOFD，求 CD 的长 【答案与解析】 作 OFCD 于 F，连接 OD AE1，EB5， AB6 3 2 AB OA ， OEOA-AE3-12 在 RtOEF 中， DEB60， EOF30， 1 1 2 EFOE， 22 3OFOEEF 第 6 页 共 11 页 在 RtDFO 中，OF3，ODOA3， 2222 3( 3)6DFODOF(cm) OFCD， DFCF， CD2DF2 6cm 【总结升华】因为垂径定理涉及垂直关系，所以常常可以利用弦心距（圆心到弦的距离） 、半径和半弦 组成一个直角三角形，用勾股定理来解决

15、问题，因而，在圆中常作弦心距或连接半径作为辅助 线，然后用垂弦定理来解题 举一反三：举一反三： 【变式变式】 如图， AB、 AC 都是圆 O 的弦， OMAB， ONAC， 垂足分别为 M、 N， 如果 MN3， 那么 BC 【答案】 由 OMAB， ONAC， 得 M、 N 分别为 AB、 AC 的中点 （垂径定理） ， 则 MN 是ABC 的中位线， BC=2MN=6. 3如图，以原点 O 为圆心的圆交 x 轴于点 A、B 两点，交 y 轴的正半轴于点 C，D 为第一象限内O 上的一点，若DAB = 20，则OCD = 【答案】65. 【解析】连结 OD，则DOB = 40，设圆交 y

16、轴负半轴于 E，得DOE= 130，OCD =65. y x O A B D C （第（第 3 题）题） N M O C BA 第 7 页 共 11 页 【总结升华】根据同弧所对圆周角与圆心角的关系可求. 举一反三：举一反三： 【变式】如图所示，ABC 内接于O，点 D 是 CA 延长线上一点，若BOC=120，BAD 等于( ) A.30 B.60 C.75 D.90 【答案】本题可先求出BAC 的度数，BAC 所对的弧是优弧，则该弧所对的圆心角度数 为 360-120=240，所以，因此，. 故选 B. 类型三、类型三、与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系 4如图，在矩形 ABCD 中，点

17、 O 在对角线 AC 上，以 OA 的长为半径的圆 O 与 AD、AC 分别交于点 E、 F，且ACB=DCE请判断直线 CE 与O 的位置关系，并证明你的结论. 【答案与解析】 直线 CE 与O 相切 理由：连接 OE OE=OA OEA=OAE 四边形 ABCD 是矩形 第 8 页 共 11 页 B=D=BAD=90，BCAD,CD=AB DCE+DEC=90, ACB=DAC 又DCE=ACB DEC+DAC=90 OE=OA OEA=DAC DEC+OEA=90 OEC=90 OEEC 直线 CE 与O 相切. 【总结升华】本题考查了切线的判定：经过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切

18、线 举一反三：举一反三： 【变式变式】如图，P 为正比例函数图象上的一个动点，的半径为 3，设点 P 的坐标为(x、y). (1)求与直线相切时点 P 的坐标. (2)请直接写出与直线相交、相离时 x 的取值范围. 【答案】(1)过作直线的垂线，垂足为. 当点在直线右侧时，得， (5，7.5). 当点在直线左侧时，得， (，). 当与直线相切时， 点的坐标为(5，7.5)或(，). (2)当时，与直线相交. 当或时，与直线相离. 类型四、类型四、圆中有关的计算圆中有关的计算 5如图所示，已知正方形的边长为 a，求阴影部分的面积 【思路点拨】 第 9 页 共 11 页 叶形的总面积可看做四个半圆

19、面积减去正方形面积， 则 2 222 11 44 222 a SSSaaa 阴影正方形半圆 【答案与解析】 ( (几何方法几何方法) ) 正方形边长为 a， 2 Sa 正方形 ， 2 22 111 2228 a SRa 半圆 2 2SSS 正方形半圆个空白处， 2222 2 11 2 84 Saaaa 个空白处 22 42 1 22 2 SSaa 个空白处个空白处 22222 4 11 2 22 SSSaaaaa 阴影正方形个空白处 阴影部分的总面积为 22 1 2 aa ( (代数解法代数解法) ) 观察图形，可知 2 个“叶瓣”与 1 个空白组成 1 个半圆；4 个“叶瓣”与 4 个空白组

20、成一个正方形 设每个“叶瓣”面积为 x，每个空白面积为 y，则 2 2 2 2, 2 44, a xy xya 由4-，得 22 1 4 2 xaa，即为阴影部分的总面积 【总结升华】比较以上两种方法，代数解法更加简捷，在运用此法时，不需把两个未知数求出来，只要 求出表示阴影部分面积的代数式的值即可叶形的总面积可看做四个半圆面积减去正方形面 积，则 2 222 11 44 222 a SSSaaa 阴影正方形半圆 也可以用正方形面积减去四个空白处面积以上均为几何方法，还可以设每个“叶瓣”面积为 x，每个空白面积为 y，列方程组解答 类型五、类型五、圆与其他知识的综合运用圆与其他知识的综合运用

21、6 如图(1)是某学校存放学生自行车的车棚示意图(尺寸如图(1)， 车棚顶部是圆柱侧面的一部分， 其展开图是矩形图(2)是车棚顶部截面的示意图，AB所在圆的圆心为 O车棚顶部用一种帆布覆盖， 第 10 页 共 11 页 求覆盖棚顶的帆布的面积(不考虑接缝等因素，计算结果保留 ) 【思路点拨】 求覆盖棚顶的帆布的面积，就是求以AB为底面的圆柱的侧面积根据题意，应先求出AB所对的 圆心角度数以及所在圆的半径，才能求AB的长 【答案与解析】 连接 OB，过点 O 作 OEAB，垂足为 E，交AB于点 F，如图(2) 由垂径定理，可知 E 是 AB 中点，F 是AB的中点， 1 2 3 2 AEAB，

22、EF2 设半径为 R 米，则 OE(R-2)m 在 RtAOE 中，由勾股定理，得 222 (2)(2 3)RR 解得 R4 OE2， 1 2 OEAO， AOE60， AOB120 AB的长为120 4 8 1803 (m) 帆布的面积为 8 60160 3 (m 2) 【总结升华】本题以学生校园生活中的常见车棚为命题背景，使考生在考场上能有一种亲切的感觉，这 也体现了中考命题贴近学生生活实际的原则 举一反三：举一反三： 【变式变式】某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半 径，如图所示是水平放置的破裂管道有水部分的截面. 请你补全这个输水管道的圆形截面图； 若这个输水管道有水部分的水面宽 AB=16cm，水最深的地方的高度为 4cm，求这个圆形截 面 的半径. 第 11 页 共 11 页 【答案】作法略.如图所示. 如图所示，过 O 作 OCAB 于 D，交于 C， OCAB， . 由题意可知，CD=4cm. 设半径为 x cm，则. 在 RtBOD 中，由勾股定理得： . . 即这个圆形截面的半径为 10cm.