北京四中九年级下册数学用函数观点看一元二次方程—知识讲解（基础）

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1、第 1 页 共 8 页 用函数观点看一元二次方程用函数观点看一元二次方程知识讲解知识讲解（基础）（基础） 【学习目标】【学习目标】 1. .会用图象法求一元二次方程的近似解；掌握二次函数与一元二次方程的关系； 2.会求抛物线与 x 轴交点的坐标，掌握二次函数与不等式之间的联系； 3.经历探索验证二次函数 2 (0)yaxbxc a与一元二次方程的关系的过程， 学会用函数的观点去看 方程和用数形结合的思想去解决问题 【要点梳理】【要点梳理】 要点一、要点一、二次函数与一元二次方程的关系二次函数与一元二次方程的关系 1.1.二次函数图象与二次函数图象与 x x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况

2、轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 求二次函数 2 yaxbxc(a0)的图象与 x 轴的交点坐标，就是令 y0，求 2 0axbxc中 x 的值的问题此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与 x 轴 的交点的个数，它们的关系如下表： 判别式 2 4bac 二次函数 2 (0)yaxbxc a 一元二次方程 2 0(0)axbxca 图象 与 x 轴的交点坐标 根的情况 0 0a 抛物线 2 (0)yaxbxc a与 x 轴交于 1 ( ,0)x， 2 (,0)x 12 ()xx两 点，且 2 1,2 4 2 bbac x a ， 此时称抛物线与 x 轴相交

3、一元二次方程 2 0(0)axbxca 有两个不相等的实数根 2 1,2 4 2 bbac x a 0a 0 0a 抛物线 2 (0)yaxbxc a与 x 轴交切于,0 2 b a 这一点，此时称 抛物线与 x 轴相切 一元二次方程 2 0(0)axbxca 有 两 个 相 等 的 实 数 根 12 2 b xx a 0a 0 0a 抛物线 2 (0)yaxbxc a与 x 轴无交点，此时称抛物线与 x 轴相离 一元二次方程 2 0(0)axbxca 在实数范围内无解 （或称 无实数根） 0a 第 2 页 共 8 页 要点诠释：要点诠释： 二次函数图象与 x 轴的交点的个数由的值来确定的.

4、(1)当二次函数的图象与 x 轴有两个交点时，方程有两个不相等的实根； (2)当二次函数的图象与 x 轴有且只有一个交点时，方程有两个相等的实根； (3)当二次函数的图象与 x 轴没有交点时，方程没有实根. 2.2.抛物线抛物线与直线的交点问题与直线的交点问题 抛物线与 x 轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题我们把它延伸到求抛物线 2 yaxbxc(a0)与 y 轴交点和二次函数与一次函数 1 ykxb(0)k 的交点问题 抛物线 2 yaxbxc(a0)与 y 轴的交点是(0，c) 抛物线 2 yaxbxc(a0)与一次函数 1 ykxb(k0)的交点个数由方程组 1 2 ,y

5、kxb yaxbxc 的解的个数决定 当方程组有两组不同的解时两函数图象有两个交点； 当方程组有两组相同的解时两函数图象只有一个交点； 当方程组无解时两函数图象没有交点 总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题 要点诠释：要点诠释： 求两函数图象交点的问题主要运用转化思想， 即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求 方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题 要点二、要点二、利用二次函数图象求一元二次方程的近似解利用二次函数图象求一元二次方程的近似解 用图象法解一元二次方程的步骤： 1.作二次函数的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数； 2. 确定一元

6、二次方程的根的取值范围即确定抛物线 与 x 轴交点的横坐标的大致范围； 3. 在(2)确定的范围内，用计算器进行探索.即在(2)确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用 表格的形式求出相应的 y 值 4.确定一元二次方程的近似根 在(3)中最接近 0 的 y 值所对应的 x 值即是一元 二次方的近似根 要点诠释：要点诠释： 求一元二次方程的近似解的方法（图象法）： 第 3 页 共 8 页 (1)直接作出函数的图象，则图象与 x 轴交点的横坐标就是方程的 根； (2)先将方程变为再在同一坐标系中画出抛物线和直线图象交点 的横坐标就是方程的根； (3)将方程化为，移项后得，设和，在同一坐 标系

7、中画出抛物线和直线的图象，图象交点的横坐标即为方程的 根. 要点三、要点三、抛物线与抛物线与 x x 轴的两个交点之间的距离公式轴的两个交点之间的距离公式 当0 时，设抛物线 2 yaxbxc与 x 轴的两个交点为 A( 1 x，0)，B( 2 x，0)，则 1 x、 2 x是一 元二次方程 2 =0axbxc的两个根由根与系数的关系得 12 b xx a ， 12 c x x a 2 2121 | |()ABxxxx 2 121 2 ()4xxx x 2 4 bc aa 2 2 4bac a 2 4 | bac a 即 | | AB a （0） 要点四、要点四、抛物线与不等式的关系抛物线与不

8、等式的关系 二次函数 2 yaxbxc(a0)与一元二次不等式 2 0axbxc(a0)及 2 0axbxc(a 0)之间的关系如下 12 ()xx： 判别式 0a 抛物线 2 yaxbxc与 x 轴的交点 不等式 2 0axbxc的解集 不等式 2 0axbxc的解 集 0 1 xx或 2 xx 12 xxx 0 1 xx（或 2 xx） 无解 第 4 页 共 8 页 0 全体实数 无解 注：a0 的情况请同学们自己完成 要点诠释：要点诠释： 抛物线 2 yaxbxc在 x 轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的 x 的所有值就是不等式 2 0axbxc的解集；在 x 轴下方的部分点的纵坐标

9、都为负，所对应的 x 的所有值就是不等式 2 0axbxc的解集不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号 【典型典型例题】例题】 类型一、二次函数图象与坐标轴交点类型一、二次函数图象与坐标轴交点 1 已知二次函数 y=(m-2)x 2+2mx+m+1， 其中 m 为常数， 且满足-10. 抛物线与 x 轴有两个不同的交点. 【总结升华】此题目也可以用数形结合方法来判断抛物线与 x 轴有两个不同交点(用抛物线与 y 轴的交 点 C 在 x 轴上方，开口向下，必与 x 轴有两个不同交点). 举一反三：举一反三： 【变式】变式】二次函数 y=mx 2+(2m-1)x+m+1 的图象总在 x 轴的上

10、方，求 m 的取值范围。 【答案】据题意，列 01412 0 2 mmm m 1 m. 8 类型二、利用图象法求一元二次方程的解类型二、利用图象法求一元二次方程的解 第 5 页 共 8 页 2用图象法求一元二次方程 2 21yxx的近似解(精确到 0.1) 【答案与解析】 解法解法 1 1： 22 21(1)2yxxx ，即对称轴为 x1，顶点坐标为(1，-2) 列表如下： x 1 2 2.5 3 2 (1)2yx -2 -1 0.25 2 描点连线，画出图象在对称轴右边的部分，利用对称性画出图象在对称轴左边的部分，即得函数图 象如图所示由图象知，当 x-0.4 或 x2.4 时，y0因此方程

11、 2 210xx 的解的近似值为 -0.4 或 2.4 解法解法 2 2：将方程 2 210xx 变形得 2 21xx在同一坐标系中画出函数 2 yx与 y2x+1 的 图象如图所示抛物线 2 yx与直线 y2x+1 交于 A、B，过 A、B 分别作 x 轴的垂线，垂足横坐标 分别约为-0.4 或 2.4，所以方程 2 210xx 的近似解为 x1-0.4，x22.4 【总结升华】本题的第一种解法是先求出对称轴及顶点坐标，利用其对称性作出整个函数的图象，从而 观察得方程的近似解第二种解法是把其转化为两个函数图象的交点，由于函数 2 yx与 y 2x+1 的图象简单易作，这种解法很有新意，同学们

12、要注意从不同的角度去分析，培养多向思维 的能力可画出函数 2 21yxx的图象，观察其与 x 轴的交点坐标，也可转化为求直线 y 2x+1 与抛物线 2 yx的交点的横坐标 类型三、二次函数与一元二次方程的综合运用类型三、二次函数与一元二次方程的综合运用 第 6 页 共 8 页 3已知二次函数 2 1 yx 与一次函数 2 34yx 交于 A、B 两点 (1)求 A、B 两点的坐标；(2)求AOB 的面积；(3)判断当 x 为何值时，y1y2. 【答案与解析】 (1)依题意可得一元二次方程 2 34xx 整理得 2 340xx，解得 x1-1，x24 把 x1-1 代入 y-3x-4 中得 y

13、1-1 把 x24 代入 y-3x-4 中得 y2-16 A、B 两点的坐标分别为 A(-1，-1)和 B(4，-16) (2)直线 AB 与 y 轴交于点 P(0，-4)，由图可知， 11 | 22 AOBAOPBOPAB SSSOPxOPx 11 (|)4 (14)10 22 AB OPxx (3)由图象可知，当 x-1 或 x4 时，函数 2 1 yx 的图象在直线 y23x+4 的下方，此时，y1y2 【总结升华】解这类题目一般先利用一元二次方程求出直线与抛物线交点的坐标，然后把要求的图形分 割成以已知坐标为底和高的三角形来求面积比较函数大小，可通过观察图象去求解 (1)联 立方程组可

14、求 A、B 两点的坐标；(2)把AOB 分割成AOP 和BOP，利用已知点的坐标可求它 们的面积；(3)求 y1y2时的 x 的取值范围时，可结合图象求解，不需要解不等式 举一反三：举一反三： 【变式】变式】已知点 A（-1，-1）在抛物线 22 (1)2(2)1ykxkx上,点 B 与点 A 关于抛物线的对称轴 对称, （1）求k的值和点 B 的坐标； （2）是否存在与此抛物线仅有一个公共点 B 的直线? 【答案】 （1）据题意,将x1, y1, 代入抛物线的解析式, 得 1112211 2 2 kk 解得 12 1,3.kk 2 10k , 3k . 抛物线的解析式是 2 8101yxx,

15、 对称轴为直线 8 5 x. 第 7 页 共 8 页 点B和点A(1,1) 关于直线 8 5 x对称, 1, 4 1 B. （2）存在这样的直线，理由如下： 设经过点B的直线的解析式是y mxn , 将B点坐标代入得44mn. 又要使直线与抛物线只有一个公共点, 只要使方程 2 8101mxnxx有两个相等的实数根, 方程 2 8101mxnxx整理得, 2 8(10)10xm xn , 得= 2 (10)32(1)0.mn 将代，解出， 1 6, 2 mn,它的解析式是 1 6 2 yx. 又有过点 B 平行于y轴的直线与抛物线仅有一个公共点,即 1 4 x . 答：直线的解析式是 1 6

16、2 yx或 1 4 x . 4已知：如图所示，一次函数 1 1 2 yx的图象与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B；二次函数 2 1 2 yxbxc的图象与一次函数 1 1 2 yx的图象交于 B、C 两点，与 x 轴交于 D、E 两点，且 D 点 坐标为（1，0） (1)求二次函数的解析式； (2)求四边形 BDEC 的面积 S 【答案与解析】 (1)将 B(0，1)，D(1，0)的坐标代入 2 1 2 yxbxc得 1, 1 0, 2 c bc 解之 3 , 2 1. b c 第 8 页 共 8 页 所以抛物线的解析式为 2 13 1 22 yxx (2)设 C( 0 x， 0 y)，则有 00 2 000 1 1, 2 13 1, 22 yx yxx 解得 0 0 4, 3. x y C(4，3) 由图可知： ACEABD SSS 又由抛物线的对称轴为 3 2 x 可知 E(2，0) 0 11119 AE4 33 1 22222 SyAD OB . 【总结升华】由图象知，抛物线经过点 B(0，1)，D(1，0)将 B、D 两点坐标代入抛物线的解析式中求 出 b、c 的值再联立方程组求出点 C 的坐标由抛物线对称性求出点 E 的坐标由 ACEABD SSS ，求出面积 S